2024-2025学年河南省安阳市林州一中高二（上）月考数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年河南省安阳市林州一中高二（上）8月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，在区间上为增函数的是( )
A. B. C. D.
3.某校文艺部有名学生，其中高一、高二年级各名．从这名学生中随机选名组织校文艺汇演，则这名学生来自不同年级的概率为( )
A. B. C. D.
4.八卦是中国文化的基本学概念，图是八卦模型图，其平面图形为图所示的正八边，其中给出下列结论，其中正确的结论为( )
A. 与的夹角为
B.
C.
D. 在上的投影向量为其中为与同向的单位向量
5.如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，过点，，作一截面，该截面将正方体分成上、下两部分，则分成的上、下两部分几何体的体积比为( )
A. B. C. D.
6.已知，，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知平面向量满足，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知平面向量，，且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.假设，且，当时，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：，分别为轴，轴正方向上的单位向量，若，则记为，那么下列说法中正确的是( )
A. 设，则
B. 设，，若，则
C. 设，，若，则
D. 设，，若与的夹角为，则
10.如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点则下列结论正确的是( )
A. 直线与是平行直线
B. 直线与所成的角为
C. 平面与平面所成二面角的平面角为
D. 平面截正方体所得的截面面积为
11.已知是定义域为的奇函数，且为偶函数．当时，，下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数在区间上单调递增，且对任意的恒成立，则的取值范围是______．
13.如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点现测得米，在点处测得碑顶的仰角为，则该同学通过测量计算出纪念碑高为 米保留根号
14.截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
若与的夹角为，求实数的值；
若，求向量在向量上的投影向量．
16.本小题分
如图，已知为圆的直径，为线段上一点，且，为圆上一点，且，平面，．
求；
求证：；
求三棱锥的体积．
17.本小题分
已知函数的最小正周期．
求函数的单调递增区间；
当时，讨论方程根的个数．
18.本小题分
漳州古城有着上千年的建城史，是国家级闽南文化生态保护区的重要组成部分，并人选首批“中国历史文化街区”五一假期来漳州古城旅游的人数创新高，单日客流峰值达万人次为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值，并估计名游客满意度分值的众数和中位数结果保留整数；
已知满意度分值落在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差．
19.本小题分
已知函数的定义域为，且，．
若，求与；
证明：函数是偶函数；
证明函数是周期函数；
若的周期为，在上是减函数，记的正的零点从小到大依次为，，，，证明在区间上有个零点，且．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：因为，，
所以，，，
若与的夹角为，则且，
可得，解得或舍去，
所以实数的值为；
若，则，解得，
可得，，，
所以向量在向量上的投影向量为．
16.解：由已知为圆的直径，为圆上一点，可得，
又由为线段上一点，且，可得，，则，
因为，可得，即，解得，，
在直角中，可得，
由余弦定理得，
所以．
证明：由知，
可得，所以，
因为平面，且平面，所以，
又因为，且，平面，所以平面，
因为平面，所以．
连接，在中，，
可得，可得，
所以，
又由平面，且，
所以三棱锥的体积为：．
17.依题意：，
由，，得，，
由，，
解得，
所以函数的单调递增区间为．
当时，，
余弦函数在上单调递减，在上单调递增，
则函数在上单调递减，函数值从减小到；
在上单调递增，函数值从增大到，
方程，
因此方程的根即直线与函数在上的图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象，
观察图象知，当或，
即或时，
直线与函数在上的图象无交点；
当或，即或时，
直线与函数在上的图象有个交点；
当，即时，直线与函数在上的图象有个交点，
所以当或时，方程根的个数为；
当或时，方程根的个数为；
当时，方程根的个数为．
18.解：由频率分布直方图可得，，
解得，
由频率分布直方图可估计众数为，
满意度分值在的频率为，
在的频率为，
所以中位数落在区间内，
所以中位数为；
由频率分布直方图得，满意度分值在的频率为，人数为，
在的频率为，人数为，
所以满意度分值在的平均数，
满意度分值在的方差．
19.解：因为，
令，，可得，
因为，所以，
所以，得．
由，得，
即，
解得．
因为，所以，
所以，
则，
所以；
证明：由得，，
中，令，可得，
即，所以函数为偶函数；
证明：令，
得，
即有，
从而可知，，
故，
即．
所以函数是一个周期为的周期函数．
证明：由得，，
在中，
令，
可得，
因为，所以，
所以，
又因为在上是减函数，
所以在上有且仅有一个零点．
在中，
令，得．
所以在区间上有且仅有一个零点，
又因为是偶函数，
所以在上有且仅有一个零点，
即在一个周期内有且仅有个零点．
，
所以在内的零点为和．
，，．
因此，对任意，在上有且仅有两个零点：
，．
在上有个零点：
，，，，，，，
其中，．
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