2024-2025学年江苏省赣榆高级中学高二(上)开学数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.某工厂生产,,,种不同型号的产品,产量之比为::现用分层抽样的方法抽取个容量为的样本,若样本中种型号的产品有件,则样本容量( )
A. B. C. D.
2.复数,则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知,表示直线,,,表示平面,则下列推理正确的是( )
A. ,
B. ,且
C. ,,,
D. ,,
4.已知点在角的终边上,则( )
A. B. C. D.
5.在正三棱柱中,,为棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.的内角,,的对边分别为,,若,,,则的面积为( )
A. B. C. D.
7.平面向量,,,两两的夹角相等,且,,,则( )
A. B. 或 C. 或 D. 或
8.在中,角,,所对的边分别为,,,已知,,,则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共15分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.抛掷一枚质地均匀的骰子一次,事件“出现点数为偶数”,事件“出现点数为”,事件“出现点数为的倍数”,事件“出现点数为奇数”,则以下选项正确的是( )
A. 与互斥 B. 与互为对立事件
C. D.
10.在中,角,,所对的边分别为,,,下列说法正确的有( )
A.
B. 若,则为锐角三角形
C. 若,则
D. 若,则为钝角三角形
11.如图,正方体的棱长为,是线段上的动点,则下列结论正确的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 的最小值为
C. 平面
D. 直线与所成的角的取值范围是
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.某人上楼梯,每步上阶的概率为,每步上阶的概率为,设该人从第阶台阶出发,到达第阶台阶的概率为 .
13.已知向量,,若,则实数的值为______.
14.已知中,,,对应边分别是,,,若,则 ______.
四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知,,且,其中是第二象限角.
求的值
若,求的值.
16.本小题分
某校举办“喜迎二十大,奋进新征程”知识能力测评,共有名学生参加,随机抽取了名学生,记录他们的分数,将数据分成组:,,,,并整理得到如图频率分布直方图:
用分层随机抽样的方法从,两个区间共抽取出名学生,则每个区间分别应抽取多少人;
根据样本频率分布直方图估计样本的平均数;
现需根据学生成绩制定评价标准,评定成绩较高的前的学生为良好,请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线精确到
17.本小题分
甲和乙进行多轮答题比赛,每轮由甲和乙各回答一个问题,已知甲每轮答对的概率为,乙每轮答对的概率为在每轮比赛中,甲和乙答对与否互不影响,各轮结果也互不影响.
求两人在两轮比赛中都答对的概率;
求两人在两轮比赛中至少答对道题的概率;
求两人在三轮比赛中,甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为的概率.
18.本小题分
如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,,,,,,点在棱上,平面平面.
证明:;
若平面,求三棱锥的体积;
若二面角的平面角为,求.
19.本小题分
类比高中函数的定义,引入虚数单位,自变量为复数的函数称之为复变函数.
已知复变函数,,.
当时,解关于的方程:;
当时,
若,求的最小值;
若存在实部不为的虚数和实数,使得成立,求的取值范围.
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解:因为已知,,且,
所以;
又因为是第二象限角所以,
所以;
由可知,则.
因为,
所以,
所以.
16.解:依题意,设区间中应抽人,区间中应抽人,得:
成绩在区间样本中的学生人数为:;
成绩在区间样本中的学生人数为:;
所以,解得,,
所以区间中应抽人,区间中应抽人.
根据样本频率分布直方图估计样本的平均数为:
.
由频率分布直方图易得,的频率为,的频率为,
所以成绩良好的最低分数线落在区间中,不妨记为,
故,解得,
所以成绩良好的最低分数线为.
17.解:根据题意,甲每轮答对的概率为,
乙每轮答对的概率为,甲和乙答对与否互不影响,各轮结果也互不影响,
则两人在两轮比赛中都答对的概率为;
设事件表示“甲第一轮答对”,事件表示“乙第一轮答对”,事件表示“甲第二轮答对”,
事件表示“乙第二轮答对”,事件表示“两人在两轮活动中至少答对道题”,
则,
两人在两轮比赛中至少答对道题的概率为:
.
设事件,分别表示甲三轮答对个,个题目,,表示乙三轮答对个,个题目,
则,
,
,
,
设事件表示“两人在三轮比赛中,甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为”,
则,且,,,相互独立,
两人在三轮比赛中,甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为的概率为:
.
18.解:面面,面面,,面,
面,
又面,
面,面,面面,
,可知为中点,
由题意知面,过点作平行线交于点,
面,再作为垂足,
为二面角的平面角,,
不妨设,,且,,
.
19.解:由题意得,整理得,
;
当时,,设,
因为,所以,
,
当且仅当时,取等号,所以的最小值为;
设,
则
,
因为存在实数,使得成立,
所以为实数,所以,
因为,,所以,
当时,,符合题意,
此时,则,
所以的取值范围为.
第1页,共1页