2024-2025学年山东省日照市校际联考高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省日照市校际联考高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的图象的大致形状是( )
A. B.
C. D.
3.的内角，，的对边分别为，，若的面积为，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知是边长为的等边三角形，点是的中点，点是线段上一点，满足，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则图像有如下性质( )
A. 关于点中心对称 B. 关于直线轴对称
C. 关于点中心对称 D. 关于点中心对称
8.设，，且，则的最小值等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，为两个随机事件，以下命题正确的是( )
A. 若与对立，则
B. 若与互斥，，则
C. 若，且，则与相互独立
D. 若与相互独立，，则
10.已知函数的最大值为，其部分图象如图所示，则( )
A.
B. 函数为偶函数
C. 满足条件的正实数存在且唯一
D. 是周期函数，且最小正周期为
11.如图，正方体棱长为，点是其侧面上的动点含边界，点是线段上的动点，下列结论正确的是( )
A. 存在点，，使得平面与平面平行
B. 当点为中点时，过，，点的平面截该正方体所得的截面是梯形
C. 当点是线段的中点时，不存在点使直线垂直平面
D. 当为棱的中点且时，点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若幂函数的图像过点，则______．
13.已知扇形的半径为，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，已知，，则弧的中点的坐标为______．
14.若存在实数，使得对于任意的，不等式恒成立，则取得最大值时， ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，满足．
求的大小；
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是．
求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由．
17.本小题分
在四棱锥中，平面平面，，，，，．
证明：平面；
若为等边三角形，求点到平面的距离．
18.本小题分
设为常数，函数．
当时，求函数的值域；
若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围；
当时，设为正整数，在区间上恰有个零点，求所有可能的正整数的值．
19.本小题分
给定正整数，设集合，，，，，，对于集合中的任意元素，，定义，．
当时，若，，求所有满足条件的；
当时，，，，均为中的元素，且，求的最大值；
当时，若，，，均为中的元素，其中，，且满足，求的最小值．
参考答案
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15.解：因为，
所以，
由余弦定理得，，
由正弦定理得，
因为，所以，所以，即，
又，所以．
因为，所以，
由余弦定理得，，
因为，所以，解得，
所以的周长为．
16.解：设盒中红球、黄球、蓝球个数分别为，，，从中任取一球，得到红球或黄球为事件，得到黄球或蓝球为事件，
则，
由已知得，解得，
所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是，，；
由知红球、黄球、蓝球个数分别为个，个，个，
用，表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，
表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，
则样本空间，，，，，，，，，，，，，，，．
可得，
记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，
则，所以，
所以，
因为，所以此游戏不公平．
17.解：证明：因为，，，所以，
又因为，所以，则．
因为平面平面，且平面平面， 平面，
所以平面．
在面内过点作，因为平面平面，且平面平面，
所以平面，如下图所示：
因为，
由知平面，根据线面垂直的性质有，
在中，，而，
．
设点到平面的距离为，
由得，解得，
所以点到平面的距离为．
18.解：由题意，
令，，则，
当时，，
所以当时，取最大值；
当时，取最小值，
所以的值域为；
由题意函数在区间上有两个不同的零点，
即函数在上仅有一个零点，因为，
由零点存在性定理，只需，得；
所以实数的取值范围为．
因为，所以有两个零点，，
又，不妨，
当时，得，即或；
由三角函数图象性质可知在为正整数内零点个数为，在内零点个数为，
因为，所以；
当时，在为正整数内零点个数为，
在内零点个数为，若，此时不存在；
当时，则，，在为正整数内零点个数为，
因为，所以；
综上的所有可能值为，．
19.解：令，
由题意知，，，，
解得或或．
表示，之间至少有个分量不相等，
中的元素总情况：
、、、、、、、，
对上述所有元素分析，最大为，此时只有、符合要求；
当时，通过列举知满足的有、、、共四个元素，
同理可知满足条件的元素还可以是：
、、、共四个元素，
综上可得的最大值为．
由，，知，．
而条件的含义是，在序列，，，，中，任意一对相邻的向量，都恰有个分量不相等，
根据题意已有．
法一：
若，则，，因为，
所以，恰有个分量不相等，即中恰有个，又中含个，
所以，中恰有个分量不相等，所以．
因为，所以，与矛盾．
这就表明不成立，故．
当，，，时满足全部条件，
此时上述，，，的选取不唯一．
所以的最小值是．
法二：
若，时，，，且，恰有个分量不相等，，恰有个分量不相等．
换言之，，恰有个分量相等，即中有个，个；
，恰有个分量相等．即中有个，个，矛盾．
故时，不成立．，同理可知不成立．
这就表明．
当，，，
时满足全部条件，此时上述，，，的选取不唯一．
所以的最小值是．
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