2024-2025学年湖南省邵阳二中高二（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省邵阳二中高二（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的实部和虚部分别是( )
A. ， B. ， C. D.
2.已知向量，，，若，则( )
A. B. C. D.
3.如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
4.已知向量，则在方向上的投影数量为( )
A. B. C. D.
5.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( )
A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减
C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减
6.已知，若方程在区间上恰有个实根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.九章算术是我国古代的数学专著，是“算经十书”汉唐之间出现的十部古算书中非常重要的一部在九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是( )
A. B. C. D.
8.已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件：甲骰子点数为奇数，事件：乙骰子点数为偶数，事件：甲、乙骰子点数相同下列说法正确的有( )
A. 事件与事件对立 B. 事件与事件相互独立
C. 事件与事件相互独立 D.
10.在中，角，，的对边分别为，，，，，为的外心，则( )
A. 若有两个解，则
B. 的取值范围为
C. 的最大值为
D. 若，为平面上的定点，则点的轨迹长度为
11.，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论正确的是( )
A. 当直线与成角时，与成角
B. 当直线与成角时，与成角
C. 直线与所成角的最小值为
D. 直线与所成角的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为，，，与的夹角为，且，与的夹角为若，则 ．
13.已知直四棱柱的棱长均为，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 ．
14.已知函数，若函数，当恰有个零点时，求的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某地区对初中名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成组：，，，，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图．
求第七组的频率；
用样本数据估计该地的名学生这次考试成绩的平均分同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
现从名学生中利用分层抽样的方法从，的两组中抽取个人进一步做调查问卷，再从这个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率．
16.本小题分
如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．
证明：；
求直线与平面所成的角的正弦值．
17.本小题分
记内角，，的对边分别为，，已知，点在边上，C.
证明：
若，求．
18.本小题分
如图，四棱锥中，为矩形，平面平面．
求证：；
若，，，问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，作：，当不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定．
分别根据下列已知条件求；
，；
，；
若向量，求证：；
记，，，且满足，，，求的最大值．
参考答案
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15.解：由频率分布直方图得第七组的频率为：
；
用样本数据估计该地名学生这次考试成绩的平均分为：
分；
由频率分布直方图可知的频数为，的频数为，所以两组人数比值为：，
按照分层抽样抽取人，则在，分别抽取人和人，
记这组三人的编号为，，，这组两人的编号为，，
故从人随机抽取名，共种情况，为：
，，，，，，，，，
设事件“从个人中随机抽取两人，抽取到的两人不在同一组”
则，，，，，，共种情况．
故，
即从这个人中随机抽取两人，则抽取到的两人不在同一组的概率为．
16.证明：以为原点，，所在直线分别为，轴，在平面内作，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
，，
，即．
解：由可知，，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，，
设直线与平面所成的角为，则，，
故直线与平面所成的角的正弦值为．
17.解：证明：由正弦定理知，，
，，
，
，
即，
．
；
由知，
，
，，
在中，由余弦定理知，，
在中，由余弦定理知，，
，
，
即，
得，
，
，
或，
在中，由余弦定理知，，
当时，舍；
当时，；
综上所述，．
18.解：在四棱锥中，为矩形，，
又平面平面，平面平面，平面，平面，
又平面，．
过点作，
平面平面，平面平面，平面，平面，
又平面，，
作，交于，连接，
又，，平面，
平面，
又平面，，
，，，
，
，
，
设，则，故，
故，
当，即时，，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，
，，
设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
由，取，得
由，取，得．
，，
由图可知，二面角的平面角为锐角，
二面角的平面角的余弦值为．
19.解：因为，，所以；
因为，，所以．
因为，，且，
所以，所以，
同理，所以．
设，因为，所以或，
当时，
，
当，即时，取得最大值；
当时，
，
当时，取到最大值．
所以取得最大值．
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