课件14张PPT。第四章 因式分解1 因式分解
用简便方法计算：（1） 736×95+736×5
解 ：736×95+736×5=736×（95+5）
=736×100=73600
（2）-2.67× 132+25×2.67+7×2.67
解：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67
=2.67×（-132+25+7）=2.67×（-100）=-267-2.67× 132+25×2.67+7×2.67= 993-99能被100整除吗?小明是这样想的:
993-99=99×992-99 ×1
=99 ×(992-1)
=99 (99+1)(99-1)
= 99×100×98
所以, 993-99能被100整除.
你知道每一步的根据吗?
想一想: 993-99还能被哪些整数整除?答： 98， 99探究将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?用a表示任意一个大于1的整数，则： 上面式子化成了几个整式积的形式思考：因式分解与整式乘法有什么关系？ 因式分解定义把一个多项式化成____________的形式,这种变形叫做把这个多项式 分解因式与整式乘法是互 为逆运算关系.多项式的分解因式与整式乘法是方向相反的恒等式.几个整式的积分解因式，也叫因式分解。做一做计算下列个式:
3x(x-1)= _____
(m+4)(m-4)= ____
(y-3)2= _______根据左面的算式填空:
3x2-3x=_______
m2-16=__________
(3) y2-6y+9=______
(4)ma+mb+mc
= m(a+b+c)3x2-3xma+mb+mcm2-16y2-6y+93x(x-1) (m+4)(m-4) (y-3)2 （4） m(a+b+c) =_________ 左边式子的变形与右边式子的变形是互为逆运算变形过程.注意：
下列变形是因式分解吗？为什么？
（1）a+b=b+a （2）4x y–8xy +1=4xy(x–y)+1
（3）a(a–b)=a –ab （4）2a –2b =2(a–b)22 2222答：第（4）式是因式分解，其余都不是。
（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；
（2）分解因式的结果要以积的形式表示；
（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；
（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止．
辩一辩.的值求时，１当acabcba-===386.1,386.2,14.3解: ab-ac=a(b-c)
当a=3.14, b=2.386, c=1.386时,
原式=3.14×(2.386-1.386)
=3.14能力提升 拓展应用 2. 20082+2009能被2008整除吗?
解: ∵20082+2009=2008(2008+1)
=2008 ×2009
∴ 20082+2009能被2009整除３．（随堂练习p94１、２）体会.分享 能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？规律总结
对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变形.
整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，特征是向着积化和差的形式发展；
多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，特征是向着和差化积的形式发展.
分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式.
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
作业：
1. 书94页3,4,5
2. 数学练习册
课件20张PPT。第四章 因式分解2 提公因式法（一）温故知新一、因式分解的概念 把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.温故知新二、整式乘法与分解因式之间的关系互为逆运算计算：问：你是用什么方法计算的？这个式子的各项有相同的因数吗？ 解： 如图：两个长和宽分别为a和m，b和m的长方形，合并成一个较大的长方形，求这个新长方形的面积？ 认真观察等式两边各有什么特点？多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。公因式想一想多项式 ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式 x +4x呢？
多项式mb +nb–b呢？ 议一议中各项的公因式是什么？ ①多项式②你能尝试将多项式因式分解吗？③多项式 中各项的公因式是什么？
你认为怎样确定一个多项式的公因式？结论：（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；
（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；
（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式． 例: 找 2 x 2 + 6 x 的公因式。定系数2定字母x 定指数23 如果一个多项式的各项含有公因式，那么
就可以把这个公因式提出来，从而将多项式
化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的
方法叫做提公因式法。 （1）把 3a2-9ab分解因式.例1解：原式 =3a?a-3a?3b
=3a(a-3b) 例2 把 9x2– 6xy+3xz 分解因式.=3x·3x - 3x·2y + 3x·z 解：=3x (3x-2y+z)9x2 – 6 x y + 3x z 例3（2）把 -24x3 –12x2 +28x 分解因式.当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。
解：原式==小颖解的有误吗？
把 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab分解因式.解：8 a3b2 –12ab3c + ab
= ab·8a2b - ab·12b2 c +ab·1
= ab(8a2b - 12b2c) 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。错误议一议提公因式法分解因式正确的找出多项式各项的公因式。注意：1 多项式是几项，提公因式后也剩几项。
2 当多项式的某一项和公因式相同时提公因式后剩余的项是1。
3、当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。
?
?
③
④
把下列各式分解因式：看你能否过关？
a想一想 提公因式法分解因式与单项式
乘多项式有什么关系？提公因式法与单项式乘多项是
互为逆运算关系2、确定公因式的方法：小结与反思3、提公因式法分解因式：1、什么叫因式分解？第一步，找出公因式；
第二步，提公因式（ 把多项式化为两个因式的乘积）1)定系数 2)定字母 3)定指数1、 多项式是几项，提公因式后也剩几项。
2 、当多项式的某一项和公因式相同时提公因式后剩余的项是1。
3、当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。4、用提公因式法分解因式应注意的问题：1、习题4.2 1,2,3题小小数学家 今年是2006年，这儿有一道与2005有关的计算题。已知x3+x2+x+1=0，求1+x+x2+x3+…+x2006的值。聪明的同学，你能得到这个计算结果吗？（课余探索） 2. 思考：
公因式可能是多项式吗？如果可能，那又当如何分解因式呢？举例并尝试。作业再 见祝同学们：
天天快乐，
学业有成。课件14张PPT。第四章 因式分解2 提公因式法（二）1、多项式的第一项系数为负数时，先提
取“-”号，注意多项式的各项变号；复习：提公因式法2、 公因式的系数是多项式各项__________________; 3、 字母取多项式各项中都含有的____________; 4、 相同字母的指数取各项中最小的一个,即_________.
系数的最大公约数相同的字母最低次幂想一想：提公因式法分解因式与单项式 乘多项式有什么关系？把下列各式分解因式：(1) (2)(3) (4) 分解因式：思考：提公因式时，公因式可以是多项式吗？回忆搭桥公因式 是多项式形式，怎样运用提公因式法分解因式？找找上面各式的公因式，并尝试把他们因式分解例2:把（1）a(x-3)+2b(x-3)
（2） 分解因式解:（1） a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b)探索新知...=y(x+1)(1+xy+y)(2) 练一练：1、x(a+b)+y(a+b)2、3a(x-y)-(x-y)3、6(p+q)2-12(q+p)4、a(m-2)+b(2-m) 在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立： (a-b) =___(b-a); (2) (a-b)2 =___(b-a)2;(3) (a-b)3 =___(b-a)3;(4) (a-b)4 =___(b-a)4;(5) (a+b)5 =___(b+a)5;(6) (a+b)6 =___(b+a)6.+－－+++(7) (a+b) =___(-b-a);-(8) (a+b)2 =___(-a-b)2.+由此可知规律：(1)a-b 与 -a+b 互为相反数. (a-b)n = (b-a)n (n是偶数）
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇数）(2) a+b与b+a 互为相同数, (a+b)n = (b+a)n (n是整数） a+b 与 -a-b 互为相反数. (-a-b)n = (a+b)n (n是偶数）
(-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数）请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立.(1) 2-a= (a-2) (2) y-x= (x-y)(3) b+a= (a+b)－(6)-m-n= (m+n)(5) –s2+t2= (s2-t2)(4) (b-a)2= (a-b)2(7) (b-a)3= (a-b)3做一做－ ＋＋－－－开阔视野分解下列因式随堂练习p98小结 两个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判断方法:
(1)当相同字母前的符号相同时,
则两个多项式相等.
如: a-b 和 -b+a 即 a-b = -b+a
(2)当相同字母前的符号均相反时,
则两个多项式互为相反数.
如: a-b 和 b-a 即 a-b = -（a-b） 某大学有三块草坪，第一块草坪面积为第二块草坪面积为
，第三块草坪面积为，求这三块草坪的总面积。问题解决：
布置作业：P98 1, 2
感悟点滴1. 提公因式法是最基本的分解因式的方法之一，其一般步骤是什么？2. 提公因式法的关键是什么？3. 检验分解因式正误的方法有那些？Goodbye课件18张PPT。第四章 因式分解3 公式法（一）填空：
（1）（x+5）（x-5） = ；
（2）（3x+y）（3x-y）= ；
（3）（3m+2n）（3m–2n）= ．
它们的结果有什么共同特征？复习回顾 尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积： （x+5）（x-5）
（3x+y）（3x-y）
（3m+2n）（3m–2n）
将多项式 进行因式分解因式分解整式乘法探究新知谈谈你的感受。整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。这种分解因式的方法称为运用公式法。（１）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。(2) 公式右边:（是分解因式的结果）★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。说一说 找特征下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的形式吗？如果能，请将其转化成（ ）２－（ ）２的形式。(1) m2 －81(2) 1 －16b2(3) 4m2+9(4) a2x2 －25y 2(5) －x2 －25y2= m2 －92= 12－(4b)2不能转化为平方差形式＝ (ax)2 －(5y)2不能转化为平方差形式试一试 写一写例1.分解因式：先确定a和b范例学习解：原式 解：原式1.判断正误：a2和b2的符号相反落实基础（ ）
（ ）
（ ）
（ ）√×××2.分解因式：分解因式需“彻底”！把括号看作一个整体能力提升例2.分解因式：解：原式 结论：
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。解：原式 方法：
先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用平方差公式分解因式。解：原式 结论：
分解因式的一般步骤：一提二套
多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。巩固练习1.把下列各式分解因式：2.简便计算：利用因式分解计算例3.如图，在一块长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长
为b的正方形．用a 与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，
b=0.8时的面积．
联系拓广解:a2-4b2
=(a+2b)(a-2b)cm2
当a=3.6，b=0.8时,
原式=(3.6+2×0.8) (3.6-2×0.8)
=5.2×2
=10.4cm2
如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是R cm和r cm，求它们所围成的环形的面积。如果R=8.45cm,r=3.45cm呢？
问题解决解: R2- r2
= (R+r)(R-r)cm2
当R=8.45，r=3.45时,
原式=(8.45+3.45) ×(8.45-3.45) ×3.14
=186.83cm2
自主小结 从今天的课程中，你学到了哪些知识？
掌握了哪些方法？ （1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；
（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；
（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；作业 完成课本习题
拓展作业：
你能尝试运用今天所学的知识解决下面的问题吗你知道992-1能否被100整除吗？
如图，在边长为6.8cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6cm的小正方形，求剩余部分的面积。再攀高峰课件17张PPT。第四章 因式分解3 公式法（二）现在我们把完全平方公式反过来，可得： 两个数的平方和，加上 这两个数的积的两倍，等于这两数和 的平方．完全平方公式：（或减去）（或者差）复习回顾 两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．形如 的多项式称为完全平方式.学习新知平方差公式法和完全平方公式法统称公式法。平方差公式法：适用于平方差形式的多项式完全平方公式法：适用于完全平方式完全平方式的特点：1．判别下列各式是不是完全平方式．不是是是不是是落实基础2.请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．例1.把下列完全平方式分解因式:找到完全平方式中的“头”和“尾”，确定中间项的符号。范例学习解:原式 解：原式 解:原式 解：原式 完全平方式中的“头”和“尾”，可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式。例2.把下列各式分解因式:若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再进一步分解因式。解:原式 解：原式 1.判别下列各式是不是完全平方式，若是说出
相应的 各表示什么？是不是不是是不是是随堂练习2. 把下列各式分解因式：1. 用简便方法计算：联系拓广2.将 再加上一个整式，使它成为完全平方式，你有几种方法？3.一天,小明在纸上写了一个算式为4x2 +8x+11,并对小刚说:“无论x取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?” 从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？
你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？
自主小结 由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法． （1）形如________________形式的多项式可以用完全平方公式分解因式。（3）因式分解要_________（2）因式分解通常先考虑______________方法。再考虑____________方法。提取公因式法彻底运用公式法课后作业 完成课后习题4.5中1、2题
拓展作业：
两个连续奇数的平方差能被8整除吗？
为什么？
