上海市虹口区2016届高三上学期期末教学质量诊断（一模）数学试题

虹口区2015学年度第一学期期终教学质量监控测试
高三数学　试卷 　　　 2016.1
考生注意：
1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟.
2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．函数的反函数
2．设全集则______.
3．若复数满足（为虚数单位），则复数______.
4．在二项式的展开式中，常数项的值为______.（结果用数字表示）
5．行列式的最大值为______.
6. 在等差数列中，
则数列的前10项的和等于___ __.
7．如图，已知双曲线C的右焦点为F，过它的右顶点A
作实轴的垂线，与其一条渐近线相交于点B ；若双曲线C的
焦距为4，为等边三角形（为坐标原点，即双曲线
C的中心），则双曲线C的方程为_________________.
8.已知数据的方差为16，则数据
的标准差为 .
9.已知抛物线的弦的中点的纵坐标为4 ，则
的最大值为__________.
10．如图所示，半径的球O中有一内接圆柱，当
圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于___________.
11. 锅中煮有肉馅、三鲜馅、菌菇馅的水 ( http: / / www.21cnjy.com )饺各5个，这三种水饺的外形完全相同. 从中任意舀取4个水饺，则每种水饺都至少取到1个的概率为___________.（结果用最简分数表示）
12. 设等比数列的前n项和为,若且
则
13．在由正整数构成的无穷数列中，对任意的且对任意的数列中恰有，则
14. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是___________.
二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.
15. 设为两个不同平面，若直线则 （ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
16 . 已知直线是函数图像的两条相邻的对称轴，则的值为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
17.已知均为单位向量，且若则的取值范围是 ( )
（A） （B） （C） （D）
18．设函数 若关于的方程有四个不同的解
且则的取值范围是 ( )
（A） （B） （C） （D）
三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.
19．(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分.
如图，在正三棱柱 中，已知它的底面边长为10，
高为20 .
求正三棱柱的表面积与体积；
若分别是的中点，求异面直线所
成角的大小（结果用反三角函数表示）.
20．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分.
已知的面积为S，且
求
若求的面积S .
21．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分， 第2小题8分.
对于函数定义已知偶函数的定义域为
（1）求并求出函数的解析式；
(2) 若存在实数使得函数上的值域为，求实数的取值范围.
22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题6分，第2小题4分，第2小题6分.
已知数列的前n项和为，且
（1） 计算 并求数列的通项公式；
（2） 若数列满足求证：数列是等比数列；
（3）由数列的项组成一个新数列：
. 设为数列的前n项和，试求的值.
23. (本题满分18分) 本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第2小题8分.
已知椭圆的左焦点为 短轴的两个端点分别为且为等边三角形 .
(1) 求椭圆的方程；
(2) 如图，点M在椭圆C上且位于第一象
限内，它关于坐标原点O的对称点为N； 过点
M 作 轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆
C交于另一点J，若，试求以线段NJ为直径的圆的方程；
（3）已知是过点的两条互相垂直的直线，直线与圆相交于两点，直线与椭圆交于另一点；求面积取最大值时，直线的方程.
虹口区2015学年度第一学期期终教学质量监控测试
高三数学 参考答案和评分标准 2016年1月
一、填空题（本大题共14题,每题4分,满分56分）
1． 2． 3. 2 4．28
5． 13 6. 80 7. 8． 8
9. 12 10． 11． 12.
13．63 14．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）
15. B 16. A 17. B 18. D
三、解答题（本大题共5题，满分74分）
19．(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分.
解：（1） ……(3分)
……(6分)
（2）连结则又
故等于异面直线所成角. ……(8分)
易得，故
于是异面直线所成角的大小为……(12分)
20．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分.
解：（1）由得
……(4分)
进而求得 ……(7分)
（2） ……(9分)
……(12分)
……(14分)
21．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分， 第2小题8分.
解：（1）因为
故对任意的
于是
由为偶函数，
. ……(6分)
(2) 由于的定义域为，
又
且 ……(8分)
函数的图像，如图所示. 由题意，有
……(10分)
故是方程的两个不相等的负实数根，即方程在上有
两个不相等的实根，于是
……(12分)
综合上述，得：实数的取值范围为 ……(14分)
注：若采用数形结合，得出直线与曲线有两个不同交点，并进行求解也可.
22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题6分，第2小题4分，第2小题6分.
解：（1）当时，由得 由得
当时，由得
当时，由得
猜想： ……(3分)
下面用数学归纳法证明：
① 当时， 结论显然成立；
② 假设当时，由条件知故
于是
故数列的通项公式为： ……(6分)
另解（1）：当时，由得 由得
当时，由得
当时，由得 ……(2分)
当时，由条件知故
于是 ……(4分)
故 于是数列的通项公式为：……(6分)
证：（2）当时， 当时，由条件得
从而 故数列是以1为首项，2为公比的等比数列. ……(10分)
解：（3）由题意，得
从而 ……(16分)
注：在解答第（3）小题时，可直接求出.
23. (本题满分18分) 本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第2小题8分.
解：（1）由题意，得 ……(2分)
故椭圆C的方程为 ……(4分)
（2）设则由条件，知
从而
于是由
再由点M在椭圆C上，得
所以 ……(6分)
进而求得直线NH的方程:
由 ……(8分)
进而
因此以线段NJ为直径的圆的方程为： ……(10分)
（3）当直线的斜率不存在时，直线与椭圆C相切于点A，不合题意；当直线的斜率为0时，可以求得 ……(12分)
当直线的斜率存在且不为0时，设其方程为则点O到直线的距离为从而由几何意义，得
由于故直线的方程为可求得它与椭圆C的交点R的坐标为于是
……(15分)
当且仅当 时，上式取等号.
因为故当时，；此时直线的方程为：
（也可写成 ） ……(18分)