【核心素养目标】3.1.1 勾股定理 教学设计 苏科版八年级数学上册

数学八年级上册苏科版教学设计
3.1.1勾股定理
备课人：
一、教材分析
勾股定理是苏科版八年级上册第三章第一节所要探究的课题。也是三角形三边关系的第一课时的内容。它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，它是解决直角三角形的主要依据之一，在实际生活中用途很大。教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和观察分析问题的能力；通过实际分析、画图等活动，使学生获得较为直观的印象；通过联系比较，理解勾股定理，以便于正确的进行运用。由直观到抽象，提高学生的逻辑思维能力。
二、学情分析
学生在已经学会了完全平方公式，具备一定的独立计算能力，为本节课的学习做好了铺垫。八年级学生的思维较为活跃，求知欲望强烈，具有浓郁的好奇心，同时具有较强的推理能力，能够通过测量和猜想提出假设，对于勾股定理探究有一定的助力作用。因此在教学素材的选取和呈现方式以及学习活动的安排上要设计学生可以动手操作并且具有一定挑战性的内容，才能帮助学生更好的掌握所学知识。
三、教学目标
（一）核心素养目标
1.主要核心素养
（1）掌握并熟练运用勾股定理，求解具体直角三角形中发展运算能力；
（2）在具体实际生活问题中，利用观察和归纳总结抽取出数量和图形之间的关系，发展数学抽象能力；
2.次要核心素养
（1）学生动手实践操作中发现和验证勾股定理的过程中，培养学生良好的数学思维习惯，发展逻辑推理能力；
（2）利用教材和实际生活中的案例进行自主探究过程中，发展应用意识；
（二）四基目标
1.知识与技能目标
（1）了解关于勾股定理的相关文化历史背景，经历勾股定理的探究过程，会用面积法来证明勾股定理；
（2）了解利用画图来验证勾股定理的方法，理解勾股定理，会用勾股定理进行简单计算；
2.数学思想目标
（1）在具体动手操作中，体验勾股定理的发现和证明过程，将抽象的数学语言和直观图形结合，在“以形助数”中感受数形结合的思想；
（2）在实际生活中应用勾股定理，通过从中抽取勾股定理，将未知转化为已知，体会化繁为简的数学转化思想；
（3）在求解问题过程中，感受将问题中的条件转化为数学模型方程，体会数学方程思想；
3.基本活动经验目标
在合作探究中积累勾股定理计算的经验
（三）四能目标
1.发现和提出问题的目标
能用数学的眼光发现和提出现实生活中与勾股定理有关的实际应用案例。
2.分析和解决问题的目标
能用数学的思维分析和解决与勾股定理相关的实际生活问题。
（四）品格与价值观目标
（1）通过动手实际操作探索新知的过程，激发求知欲，培养良好的数学思维习惯，增强学好数学的信心；
（2）在合作讨论学习中，培养学生不怕困难的学习品质，发展合作意识和严谨的科学精神；
（3）在学习勾股定理过程中，通过对比我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，激发民族自豪感，培养学生的爱国情感；
四、教学重点
勾股定理的证明及应用。
五、教学难点
勾股定理在生活中的应用。
六、教学方法
教学方法：小组合作探究法、演示法、目标教学法、讲授法；
（一）教法分析
基于本节课内容的特点和八年级学生的心理特征，我选择自主探索、交流讨论的学习模式，由浅到深，由特殊到一般的提出问题，教师采用设置疑问的方式，让学生逐步进行自主探究学习。同时营造合作交流的课堂氛围，培养学生动口、动手和动脑的习惯，让学生真正成为学习的主人。
（二）学法分析
教学过程是师生交往互动共同发展的过程，教师起引导作用，学生在教师的启发下充分发挥主体性作用。八年级的学生，从认识的特点来看，学生爱问好动、求知欲强，想象力丰富，对实际操作活动有着浓厚的兴趣，对直观的事物感知欲强，是形象思维逐步过渡的阶段，他们希望得到充分的展示和表现。因此，在学习上，应充分发挥学生在教学中的主体能动作用，让学生自己通过观察与类比、猜想与验证、归纳与总结，进行小组间的讨论和交流、利用课件和实物自主探索等方式，激发学习兴趣，培养应用意识和发散思维。
七、教学过程
（一）复习回顾
同学们在之前的学习中我们已经研究了一般的三角形的边和角的性质，本节课我们将继续研究特殊的三角形——直角三角形。
我们研究过直角三角形的性质，那么直角三角形的三边之间有着怎样的等量关系呢？我们从特殊的直角三角形——等腰直角三角形开始研究。
【设计意图】通过带领学生回顾三角形的知识体系，从而入手构建研究路径，体现知识之间的上下位关系，唤醒学生头脑中已有的相关知识，直接引入课题，使学生明确学习目标。
（二）课堂导入
1.问题1：相传在2500年前,毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系。同学们我们来观察以下地面的图案，看看能从中发现什么数量关系？
2.问题2：同学们在生活中是否仔细观察过建筑工人在建筑工地上的施工细节，建筑工人通常对于屋顶的倾斜角度和房间的对角线长度等这种比较难以实地测量的数据，一般会将它们放在一个直角三角形中去求，你们知道是为什么吗？
3.课程思政点：
同学们，其实生活中有不少场景都有运用到今天即将所要学习的直角三角形勾股定理，例如，刚刚提到的测量屋顶的倾斜角度和房间的对角线长度等，这就是今天即将要学习的勾股定理的实际运用。通过这种联系，我们可以更好地理解数学知识的实际意义，数学其实与我们的实际生活密切相关。
【设计意图】问题1运用数学故事引入，激发学生的学习兴趣。问题2通过生活中的实例，逐渐引导学生从生活实际中发现直角三角形三边存在的等量关系。目的在于提高学生发现问题、提出问题的能力，学会用数学的眼光观察现实世界，激发学生探索的求知欲，同时加强数学学科与生活的联系，使得学生感受数学源自于生活。
（三）新知讲授
环节一：探究等腰直角三角形的三边关系
1.同学们还记得我们刚刚提到的毕达哥拉斯朋友家的地面图案嘛？我们现在来一起研究。
如图，在等腰三角形ABC中，∠C=90°，以AC为边作正方形P，以BC为边作正方形Q，以斜边AB为边作正方形R。请同学们以小组为单位思考，观察图形思考下列问题：
（1）三个正方形的面积之间有什么关系？
（2）等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系？
2.学生以小组为单位合作探究上述两个问题，并请学生代表回答。
如果学生能答出正确答案，教师再追问:你是如何想到的？如果学生不能答出正确答案，教师再追问:这三个正方形的面积有怎样的等量关系？
3.教师引导学生归纳发现：
（1）以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和，等于以斜边为大正方形的面积；
（2）等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
4.课程思政点：
同学们，这些平时看似平淡无奇的现象是不是有的时候却蕴含着深刻的道理呀！作为青少年的我们也要有一颗善于发现问题的眼睛，在生活中对于平时的现象要勤于思考，积极主动探索里面的奥秘，学会观察和记录生活中的细微变化，其实知识就在我们身边！
【设计意图】在探究活动中提高学生学习的积极性，学生充分发挥主体作用，引导学生去观察归纳发现等腰直角三角形三边的等量关系。
环节二：探究一般直角三角形的三边等量关系
1.等腰直角三角形的三边之间具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”这一性质，那么一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？
请同学们试着表示出在下面网格中直角三角形三边衍生的正方形的面积之间的关系，看看三个正方形的面积有着怎样的等量关系。
2.引导学生观察图形，提示学生在计算正方形的面积时，学会使用“割”和“补”两种常见处理面积的方法来求正方形a的面积。
3.请同学们拿出手中的方格纸，试着在方格纸中再画出几个一般形状的直角三角形，用类似于上面研究方法，小组合作一起探究一般性的直角三角形三边之间的等量关系。
教师引导学生发现并归纳直角三角形三边衍生的正方形的面积之间的关系：
4.根据上面的例子，教师引导学生对于一般性的直角三角形三边之间的等量关系进行猜想。
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么有。
【设计意图】类比等腰直角三角形的研究方法，从特殊到一般，借助网格，由直角三角形三边衍生的正方形面积关系表示三边之间的等量关系，体会研究问题的思路和方法。运用割补法求以直角三角形斜边为边长的正方形面积是本环节的难点。教师引导学生通过“割”形或者“补”形求正方形面积，培养学生的几何直观和运算能力；引导学生归纳并合理地用数学语言提出猜想，渗透转化思想，使学生学会用数学的语言表达现实世界。
环节三：勾股定理的证明
1.对于上面同学们和老师一起提出的猜想，同学们是否能对其进行合理规范的证明呢？
2.那么接下来我们一起来看看我国古人赵爽是如何证明的：
赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（橙色）可以如图围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（蓝色）。
（1）一个小直角三角形的面积为 ;
（2）图1的面积为 ；
（3）图2的面积为 ；
（4）图1和图2的面积是否相等？你知道它们是通过何种变换得到的吗？
3.组织学生自主探究并完成填空，教师播放几何画板演示动画辅助学生进一步加深理解。
4.赵爽所用的这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”。在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理。因此“赵爽弦图”这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。
5.课程思政点：
同学们我们古人赵爽利用“出入相补法”的原理证明出了勾股定理，体现了我国古代数学成就之高。纵观中国数学发展史，中国古代在数学方面的成就足以开一座陈列馆，体现出我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲。所以我们要以我国优秀的民族文化感到骄傲。在这个信息多元的时代依然要保持对我们中华优秀传统文化的自豪感。
5.由上面赵爽的证明思想证实了命题1的正确性，命题1与直角三角形的边有关，我国把它称作勾股定理。
勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为a和b，斜边长为c，那么。
符号语言：在Rt△ABC中
∵∠C=90°
∴
【设计意图】学生通过以上步骤了解分割、拼接图形的目的和原理，从而进行自然、合理的再发现活动。通过对比拼接前后的图形，使学生能够从中理解变换前后图形的面积总和保持不变，体会“出入相补法”的原理。通过对“赵爽弦图”巧妙的证法介绍，弘扬我国古代的数学成就，培养学生的民族自豪感。
（四）例题讲解
1.例1：设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c：
（1）已知a=6，c=10，求b;
（2）已知a=5，b=12，求c;
（3）已知c=25，b=15，求a;
分析：已知直角三角形的两个边的长度就可以根据勾股定理求出另外第三边的长度。此外在一些没有明确长度是斜边长还是直角边的时候要分类讨论。
解答：
（1）由勾股定理公式，已知a=6，c=10，代入公式得；
（2）由勾股定理公式，已知a=5，b=12，代入公式得；
（3）由勾股定理公式，已知a=5，b=12，代入公式得；
注意：同学们在平时做题时，要积累常见的勾股数，利于提高解题的速度。
常见的勾股数有（3，4，5）、（5，12，13）、（6，8，10）、（8，15，17）等。此外勾股数的倍数也是勾股数。
2.例2：如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形。已知正方形A，B，C，D的边长分别12，16，9，12，求最大正方形E的面积。
分析：在充分理解勾股定理探究过程的基础上，掌握直角三角形三边衍生出的正方形的数量关系
解答：
由正方形A和B的边长为12，16可知，正方形A的面积，正方形B的面积。
同理，由正方形C和D的边长为9，12可知，正方形C的面积，正方形B的面积。
由勾股定理探究过程可得，两个中等的正方形面积分别为400和225；由此得出最大正方形E的面积为400+225=625.
【设计意图】通过例题，帮助学生在题目中运用新知，培养学生分析问题与解决问题的能力，并培养他们解题的规范性。
（五）巩固练习
课本p28的练习1-3题
学生独立完成，并请学生上黑板板演，教师帮助学生一起纠正错误；组织同桌之间相互批改查阅，小组讨论错误之处。
【设计意图】设置不同层次的练习题，帮助学生巩固所学的新知，同时使得学生的思考能力得到提升。
（六）课堂小结
本节课你学了哪些内容：
1.在探究直角三角形三边关系时，得到有关三边延伸出的正方形面积的等量关系是什么？
2.勾股定理的内容是什么？几何语言怎么表示？
3.能说说“赵爽弦图”是如何证明勾股定理的吗？
【设计意图】让学生巩固基本知识，使知识结构更完善；检验学生掌握情况的同时，还可以帮助教师改进教学。
（七）课后作业
1.必做题：教材课后的练习题；查阅相关资料和书籍了解其他的有关勾股定理的证明；
2.选做题：练习册B组；
【设计意图】通过分层作业的布置，对不同学生的提出不同的要求，同时帮助学生对知识再巩固，再认识。
八、板书设计
1.直角三角形三边延伸出的正方形面积之间的等量关系： 3.1.1勾股定理 2.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a和b，斜边长为c，那么 几何语言：在Rt△ABC中 ∵∠C=90° ∴ 3.例：设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c：已知a=6，c=10，求b;
九、教学反思
本节课感知勾股定理，通过以学生为主体，鼓励动手在方格纸上画直角三角形，在过程中发现并验证勾股定理。在教学过程中还穿插数学文化的熏陶，激发学生的民族自豪感。在初中数学的课堂教学中，教师要充分的意识到提升学生的运算能力的重要性，并且可以结合实际情况，设计和制定适宜的教学方法，将学科核心素养教育真正地融入其中，从而不断地优化课堂教学。