2024-2025学年湖北省十堰市郧阳中学高二上学期9月月考数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年湖北省十堰市郧阳中学高二上学期9月月考数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 344.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-13 19:56:36 | ||
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文档简介
2024-2025学年湖北省十堰市郧阳中学高二上学期9月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.向量，，，若，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.已知直线，，若，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
4.将一枚均匀的骰子抛掷次，事件“没有出现点”，事件“出现一次点”，事件“两次抛出的点数之和是”，事件“两次掷出的点数相等”，则下列结论中正确的是( )
A. 事件与事件是对立事件 B. 事件与事件是相互独立事件
C. 事件与事件是互斥事件 D. 事件包含于事件
5.已知点是直线上一点，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知在矩形中，，，将矩形沿对角线折起，使平面与平面垂直，则( )
A. B. C. D.
7.在棱长为的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
8.古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势如下图的“曲池”是上下底面均为半圆形的柱体若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，，，，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的方差是
B. 已知点，，若过的直线与线段不相交，则直线的斜率
C. 若样本数据，，，的标准差为，则，，，的标准差为
D. 在四棱柱中，
10.铁蒺藜在古代能抵挡敌人骑兵的进攻，有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图，也可由正方体切割而成，如图，在如图所示的“蒺藜形多面体”中，若，则( )
A. 该几何体的表面积为 B. 该几何体的体积为
C. 直线与直线所成的角为 D. 二面角的余弦值为
11.已知正方体的棱长为，点满足，其中，，为棱的中点，则下列说法正确的有( )
A. 若平面，则点的轨迹的长度为
B. 当时，的面积为定值
C. 当时，三棱锥的体积为定值
D. 当时，存在点使得平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知事件与相互独立，，，则 ．
13.已知直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则此直线的方程为 ．
14.已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，平行六面体中，底面是边长为的正方形，，设，，．
试用，，表示向量、
若，求点到直线的距离．
16.本小题分
已知直线
证明无论为何值，直线与直线总相交
求点到直线距离的最大值
若为坐标原点，直线与，轴的正半轴分别交于，两点，求面积的最小值．
17.本小题分
某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有人，按年龄从小到大分成组，得到如图所示频率分布直方图，已知第一组有人．
根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第百分位数结果用小数表示
现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取人，担任本市的“中国梦”宣传使者．
(ⅰ)若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率
(ⅱ)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差．
18.本小题分
如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点．
求证：平面；
求二面角的正弦值；
在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且．
求；
若，设点为的费马点，求；
设点为的费马点，，求实数的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：由向量的加减运算法则知，在正方形中，．
连接，在平行六面体中，．
由题意知，，，，，
，
，
所以点到直线的距离：
．
16.证明：直线的方程可化为．
令解得故直线经过定点．
因为是直线上一点，经检验，直线与直线不重合，
所以无论为何值，直线与直线总相交．
解：因为直线恒过定点，
点与定点间的距离，就是所求点到直线的距离的最大值，
即；
解：由可知，直线经过定点，且与，轴的正半轴分别交于，两点，
不妨令的方程为，，
则，．
的面积．
因为，所以，当且仅当时，等号成立．
故面积的最小值为．
17.解：设这人的平均年龄为，则
岁．
设第百分位数为，
由，解得．
由题意得，第四组应抽取人，记为，，，甲，第五组抽取人，记为，乙．
对应的样本空间为：
，，，甲，，乙，，，，甲，，乙，，，甲，，乙，，甲，乙，甲，，乙，，共个样本点．
设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则
，甲，，乙，，甲，，乙，，甲，，乙，甲，乙，甲，，乙，，共有个样本点．
所以，．
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为．
则，
．
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为．
据此，可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为．
18.证明：因为四边形为矩形，所以为的中点，连接，
在中，分别为的中点，
所以，因为平面，平面，
所以平面．
易知两两垂直，如图以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系．
则，
所以，，
设平面的法向量为，
则
即，解得
令，得
所以平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
，
即
令，则
则平面的一个法向量为，
则，
于是．
故二面角的正弦值为．
存在一点，使得与平面所成角的大小为．
设存在点满足条件，由，
则，
设，整理得，
则．
因为直线与平面所成角的大小为，
所以，
解得，由，知，
即点与重合，故在线段上存在一点，且．
19.解：由已知中，
即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，；
由，所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，由得：
，整理得，
则
；
点为的费马点，则，
设，
则由得，
由余弦定理得，
，
，
故由得，
则，而，故，
当且仅当，结合，解得时等号成立，
又，即有，解得或舍去，
故实数的最小值为．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.向量，，，若，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.已知直线，，若，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
4.将一枚均匀的骰子抛掷次，事件“没有出现点”，事件“出现一次点”，事件“两次抛出的点数之和是”，事件“两次掷出的点数相等”，则下列结论中正确的是( )
A. 事件与事件是对立事件 B. 事件与事件是相互独立事件
C. 事件与事件是互斥事件 D. 事件包含于事件
5.已知点是直线上一点，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知在矩形中，，，将矩形沿对角线折起，使平面与平面垂直，则( )
A. B. C. D.
7.在棱长为的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
8.古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势如下图的“曲池”是上下底面均为半圆形的柱体若垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，，，，为弧的中点，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的方差是
B. 已知点，，若过的直线与线段不相交，则直线的斜率
C. 若样本数据，，，的标准差为，则，，，的标准差为
D. 在四棱柱中，
10.铁蒺藜在古代能抵挡敌人骑兵的进攻，有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图，也可由正方体切割而成，如图，在如图所示的“蒺藜形多面体”中，若，则( )
A. 该几何体的表面积为 B. 该几何体的体积为
C. 直线与直线所成的角为 D. 二面角的余弦值为
11.已知正方体的棱长为，点满足，其中，，为棱的中点，则下列说法正确的有( )
A. 若平面，则点的轨迹的长度为
B. 当时，的面积为定值
C. 当时，三棱锥的体积为定值
D. 当时，存在点使得平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知事件与相互独立，，，则 ．
13.已知直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则此直线的方程为 ．
14.已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，平行六面体中，底面是边长为的正方形，，设，，．
试用，，表示向量、
若，求点到直线的距离．
16.本小题分
已知直线
证明无论为何值，直线与直线总相交
求点到直线距离的最大值
若为坐标原点，直线与，轴的正半轴分别交于，两点，求面积的最小值．
17.本小题分
某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有人，按年龄从小到大分成组，得到如图所示频率分布直方图，已知第一组有人．
根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第百分位数结果用小数表示
现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取人，担任本市的“中国梦”宣传使者．
(ⅰ)若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率
(ⅱ)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差．
18.本小题分
如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点．
求证：平面；
求二面角的正弦值；
在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且．
求；
若，设点为的费马点，求；
设点为的费马点，，求实数的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：由向量的加减运算法则知，在正方形中，．
连接，在平行六面体中，．
由题意知，，，，，
，
，
所以点到直线的距离：
．
16.证明：直线的方程可化为．
令解得故直线经过定点．
因为是直线上一点，经检验，直线与直线不重合，
所以无论为何值，直线与直线总相交．
解：因为直线恒过定点，
点与定点间的距离，就是所求点到直线的距离的最大值，
即；
解：由可知，直线经过定点，且与，轴的正半轴分别交于，两点，
不妨令的方程为，，
则，．
的面积．
因为，所以，当且仅当时，等号成立．
故面积的最小值为．
17.解：设这人的平均年龄为，则
岁．
设第百分位数为，
由，解得．
由题意得，第四组应抽取人，记为，，，甲，第五组抽取人，记为，乙．
对应的样本空间为：
，，，甲，，乙，，，，甲，，乙，，，甲，，乙，，甲，乙，甲，，乙，，共个样本点．
设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则
，甲，，乙，，甲，，乙，，甲，，乙，甲，乙，甲，，乙，，共有个样本点．
所以，．
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为．
则，
．
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为．
据此，可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为．
18.证明：因为四边形为矩形，所以为的中点，连接，
在中，分别为的中点，
所以，因为平面，平面，
所以平面．
易知两两垂直，如图以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系．
则，
所以，，
设平面的法向量为，
则
即，解得
令，得
所以平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
，
即
令，则
则平面的一个法向量为，
则，
于是．
故二面角的正弦值为．
存在一点，使得与平面所成角的大小为．
设存在点满足条件，由，
则，
设，整理得，
则．
因为直线与平面所成角的大小为，
所以，
解得，由，知，
即点与重合，故在线段上存在一点，且．
19.解：由已知中，
即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，；
由，所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，由得：
，整理得，
则
；
点为的费马点，则，
设，
则由得，
由余弦定理得，
，
，
故由得，
则，而，故，
当且仅当，结合，解得时等号成立，
又，即有，解得或舍去，
故实数的最小值为．
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