2024-2025学年湖南省株洲二中高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省株洲二中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则中元素的个数为( )
A. B. C. D.
2.已知直线：与直线：互相垂直，垂足为，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知内角，，所对边的长分别为，，，，则形状一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形
4.设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为( )
若，，则，为异面直线 若，，则
若，，，则 若，，，则
若，，，则
A. B. C. D.
5.已知点关于直线对称的点在圆：上，则( )
A. B. C. D.
6.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模性感染的标志为“连续天，每天新增疑似病例不超过人”根据过去天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的城市是( )
A. 甲：中位数为，众数为 B. 乙：总体均值为，中位数为
C. 丙：总体均值为，总体方差为 D. 丁：总体均值为，总体方差大于
7.如图，在棱长为的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是( )
A. 直线与所成的角不可能是
B. 当时，点到平面的距离为
C. 当时，
D. 若，则二面角的平面角的正弦值为
8.在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是( )
A. 函数的对称中心为
B. 若，则的最大值为
C. 若，且，则圆心角为，半径为的扇形的面积为
D. 若，则
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题中，是真命题的是( )
A. 且，
B. ，使得
C. 若，，
D. 若，则的最小值为
10.设复数的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题错误的是( )
A.
B. 若，则在复平面内对应的点位于第二象限
C. 是纯虚数
D. 若，则的最大值是
11.设为正实数，定义在上的函数满足，且对任意的，，都有则成立，则( )
A. 或 B. 关于直线对称
C. 为奇函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在校园乒乓球比赛中，甲、乙进入决赛，赛制为“三局两胜”若在每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则乙获得冠军的概率为______．
13.已知圆锥的母线长为，其外接球表面积为，则圆锥的高为______．
14.规定：设函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点为圆上的一点，圆心坐标为，且过点的直线被圆截得的弦长为．
求圆的方程；
求直线的方程．
16.本小题分
年月日，巴黎奥运会在法国巴黎成功举行闭幕式组委会抽取名观众进行了奥运会知识竞赛并记录得分满分：，所有人的成绩都在内，根据得分将他们的成绩分成，，，，，六组，制成如图所示的频率分布直方图．
求图中的值；
估计这人竞赛成绩的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值为代表、众数及中位数．
17.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，，．
证明：；
若直线与平面所成角的正弦值为，点为线段上一点，求点到平面的距离．
18.本小题分
已知函数，对，有
求的值及的单调递增区间：
在中，已知，，其面积为，求；
将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，若，求实数的取值范围
19.本小题分
已知集合，，且中元素的个数为若存在，得为的正整数指数幂，则称为的弱子集；若对任意的，，均为的正整数指则称为的强子集．
Ⅰ请判断集合和是否为的弱子集，并说明理由；
Ⅱ是否存在的强子集？若存在，请写出一个例子；若不存在，请说明理由；
Ⅲ若，且的任意一个元素个数为的子集都是的弱子集，求的最小值．
参考答案
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15.解：设圆的半径为，
则，
则圆的方程为；
因为圆的半径为，
所以当直线与圆相交所得的弦长为时，圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线：，此时圆心到直线的距离为，满足题意．
当直线的斜率存在时，设直线：，即，
则，
解得，
代入得：，
综上，直线的方程为或．
16.解：由题意知，
即，得．
由频率分布直方图可知这人竞赛成绩的平均数约为分，
众数约为分，
前组的频率为，
前组的频率为，
所以中位数为分．
17.证明：因为，，
所以，所以，
因为为直四棱柱，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为，所以平面，
因为平面，所以；
解：由及题意知，，，两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，设，
所以，，，，，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则由，，有，
令，则，可得，
设直线与平面所成的角为，
则，
解得，所以，
所以点到平面的距离，
因为，所以，
因为平面，所以平面，
因为在线段上，
所以点到平面的距离等价于点到平面 的距离，
故点到平面的距离为．
18.解：，
对，有，故，
所以，解得，
因为，故只有当时，满足要求，故，
，令，
解得，
所以的单调递增区间为；
，
因为，所以，即，解得，
，即，解得，
由余弦定理得，
解得；
图象上的所有点，向右平移个单位后，得到，
再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到，
，
即，，
令 ，则，
则，
故，
其中，当时，取得最小值，最小值为，
所以，解得或，
所以实数的取值范围是．
19.解：Ⅰ是的弱子集，不是的弱子集．
理由如下：，中存在两个元素的和是的正整数指数幂，所以是的弱子集．
，，，中任意两个元素的和都不是的正整数指数幂，所以不是的弱子集．
Ⅱ不存在的强子集．
理由如下：假设存在的强子集，不妨设，，，为正整数，
，，，则，，，为正整数，，
则，，代入中，所以，
所以，与为正整数矛盾，所以不存在的强子集．
Ⅲ设，，，，，，，
若不是的弱子集，则最多能包含，，，中的一个元素以及，，中的元素，一共个元素，
令，中任意两个元素的和都不是的正整数指数幂，所以不是的弱子集，
当时，的任意一个元素个数为的子集都不是的弱子集，
当时，，，，中至少有一个集合是的子集，此时中一定存在两数之和为的正整数幂，
即的任意一个元素个数为的子集都是的弱子集，所以的最小值为．
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