2024-2025学年河南省新乡市原阳第一高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省新乡市原阳第一高级中学高二（上）开学
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.到轴距离与到轴距离之比等于的点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
2.若两条平行直线与之间的距离是，则( )
A. B. C. D.
3.如图，二面角的度数为，其棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，则线段的长为( )
A. B. C. D.
4.已知平面的一个法向量为，其中，，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
5.有个相同的球，分别标有数字，，，，，，从中有放回的随机取两次，每次取个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则( )
A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立
6.已知圆的方程为，直线：，点是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，当四边形的面积最小时，直线的方程为( )
A. B. C. D.
7.在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数为的定义域为，，且当时，，则下列结论中一定正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 已知直线过点，且在、轴上截距相等，则直线的方程为
B. 直线的倾斜角为
C. ，，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件
D. 若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为
10.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 已知两个向量，且，则
B. 已知，则在上的投影向量为
C. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
11.下列说法正确的是( )
A. 圆与圆的公共弦长为
B. 过点作圆：的切线，则切线的方程为
C. 圆与圆关于直线对称
D. 圆心为，半径为的圆的标准方程是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.假如，，且与相互独立，则 ______．
13.直线经过点，且直线的一个方向向量为，若直线与轴交于点，则 ______．
14.写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在空间四边形中，，点为的中点，设．
试用向量表示向量；
若，，求的值．
16.本小题分
已知的顶点，，且重心的坐标为．
求点坐标；
数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线求的欧拉线的一般式方程．
17.本小题分
在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知．
求的值；
若是的外接圆上一点与位于直线异侧，且，求四边形的面积．
18.本小题分
如图，平面，，，，，．
求直线与平面所成角的正弦值；
若二面角的余弦值为，求线段的长．
19.本小题分
中国古代数学名著九章算术中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广刍，草也甍，屋盖也”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱刍甍是茅草屋顶”现有一个刍甍如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，．
当点为线段的中点时，求证：直线平面；
当点在线段上时包含端点，求平面和平面的夹角的余弦值的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或或填一条即可
15.解：因为，，
所以，
所以，
因为点为的中点，
所以
．
因为，，
即，
则，，
所以
．
16.解：设，则由重心的坐标为，
则，
解得，，即，
所以点坐标为．
设的外心，则由外心性质可得在的中垂线上，即，
由，，，
则，即，解得，即．
又，故欧拉线的斜率为，
故的欧拉线的方程为，即．
17.解：在锐角中，
因为，由正弦定理可得：，
而，故，
因为是锐角，所以，
由余弦定理得，
又因为，所以，
整理的，
故；
在中，因为，
由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
所以四边形的面积为
．
18.解：因为平面，，在平面内，则，，又，
故以为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
故，，，
设为平面的法向量，
则，令，得，
设直线与平面所成角为，
则有，
直线与平面所成角的正弦值为；
设，则，则，
设为平面的法向量，
则，取，可得，
由题意：，解得，
线段的长为．
19.解：证明：因为点为线段的中点，且，
所以，
因为，且四边形为正方形，故AD，
所以，而，，平面，
故AD平面；
设正方形的中心为，分别取，，的中点为，，，
设点为线段的中点，由知，，，四点共面，且平面，
连接，平面，故AD，
又平面，故平面平面，
且平面平面，
由题意可知四边形为等腰梯形，故，
平面，故平面，
故以为坐标原点，为，，轴建立空间直角坐标系，
因为，则，，，，
又，故EF，
设到底面的距离为，
四边形，为两个全等的等腰梯形，且，
故E，，又，
故，，则，，
，
设，，
设平面的一个法向量为，
则，令，，
设平面的一个法向量为，
则，令，，
故，
令，则，
令，则，
令，则在上单调递增，
故当时，，当时，，
故，
即平面和平面的夹角的余弦值得取值范围为．
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