2024-2025学年湖南省长沙市望城二中高二（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市望城二中高二（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.已知方程有一正根和一负根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知奇函数在上是增函数，若，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发绕着点逆时针旋转，在此过程中，记，射线经过的单位圆内阴影部分的面积为，则对函数说法正确的是( )
A. 当时，
B. ，使得
C. 对，都有
D. 对，都有
6.对任意的，都有，，且当时，，若关于的方程在区间内恰有个不等实根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知正实数满足：对于任意，均存在，，，使得，记的最小值为，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.年月至年月我国规模以上工业天然气产量保持平稳，日均产量亿立方米与当月增速当月增速如图所示，则( )
备注：日均产品产量是用当月公布的我国规模以上工业企业总产量除以该月日历天数计算得到的
A. 年月份我国规模以上工业天然气产量当月增速比上月放缓个百分点
B. 年月至年月我国规模以上工业天然气产量当月增速的极差为
C. 年月份我国规模以上工业天然气产量为亿立方米
D. 年月至年月我国规模以上工业天然气日均产量的分位数为亿立方米
10.中，角、、对边为、、，若，，则( )
A. B.
C. 的最大值为 D. 面积最大值为
11.已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点，下列结论正确的是( )
A. 与平面所成的角的正弦值为
B. 平面与平面所成的角是
C.
D. 平面平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为共线的两个向量，且，则 ______．
13.近年来，加强青少年体育锻炼，重视体质健康已经在社会形成高度共识年月，中华人民共和国体育法在颁布多年后迎来首次大修教育部发布的年工作要点中提出，实施学校体育和体教融合改革发展行动计划为了考察某校各班参加两项以上体育项目锻炼小组的人数，在全校随机抽取五个班级，把每个班级参加两项以上体育项目锻炼小组的人数作为样本数据已知样本平均数为，样本的标准差为，若样本数据各不相同，则样本数据的第百分位数是______．
14.设函数对任意实数满足，且当时，，若关于的方程有个不同的实数根，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
化简或计算下列各式：
；
已知，，用，表示；
已知，求的值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，，为的中点，．
求证：；
若与平面所成的角为，，求四棱锥的的体积．
17.本小题分
某跨国公司决定将某种智能产品大量投放中国市场，已知该产品年固定研发成本万元，每生产一台需另投入元，设该公司一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，．
写出年利润万元关于年产量万台的函数解析式利润销售收入成本；
当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ若点在角的终边上，求和的值；
Ⅱ求函数的最小正周期；
Ⅲ若，求函数的最小值．
19.本小题分
已知函数；
判断函数奇偶性，并说明理由；
求函数的反函数；
若函数的定义域为，值域为，并且在上为严格减函数，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：；
，
又因为，，
所以；
，
所以，
又因为，所以，
所以．
16.证明：连结，
，是的中点
．
又侧面底面，平面平面，平面，
平面，
平面，平面，
，，
又，平面，平面，，
平面，
平面，
，
又，平面，平面，，
平面，
平面，
．
解：取中点，连结，
，．
，平面平面，平面平面，平面，
平面，
为直线与平面所成的角．
，，
．
．
17.解：年利润．
当时，，
所以在上单调递增，
所以；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，此时，
因为，所以，，
故当年产量为万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为万元．
18.解：Ⅰ若点在角的终边上，
所以，，故，
所以．
．
Ⅱ由于函数．
所以函数的最小正周期为．
Ⅲ由于，所以，
所以当时，函数的最小值为．
19.解：由，解得或．
则定义域为，关于原点对称，
又，
所以为奇函数；
由，即有，
解得，
则有；
按题意，得，
，即，
又，
同样可得，．
，
因为函数在上是严格增函数，
而函数在上为严格减函数，则，
可得关于的方程在内有二不等实根、．
关于的二次方程在内有二异根、，
则有即有
故．
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