2024-2025学年湖南省衡阳市耒阳一中高一（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省衡阳市耒阳一中高一（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.耒阳一中开设了劳动教育课程小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等小明恰好选中“烹饪”的概率为( )
A. B. C. D.
2.每年的月日是“世界读书日”，某中学为了了解高一年级学生的读书情况，随机调查了名学生的册数，统计数据如表所示，则这名学生读书册数的众数、中位数是( )
册数
人数
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.如果一个多边形的内角和是它外角和的倍，那么这个多边形的边数为( )
A. B. C. D.
4.已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，平行四边形中，点、分别是、的中点，交于点，那么：的值为( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
6.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则的值是( )
A. B. C. D. 或
二、多选题：本题共2小题，共8分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
7.二次函数的图象为如图，则下面结论中正确的是( )
A. B.
C. D. 当时，或
8.已知集合，则下列表示正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
9.计算： ______．
10.若关于的分式方程无解，则的值为______．
11.已知二元一次方程组，则的值为______．
12.我们规定：若，则例如，则已知，当时，的值为______．
四、解答题：本题共4小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题分
分解因式：
；
．
14.本小题分
如图，是的直径，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，连接，求证：．
15.本小题分
如图，在同一坐标系中，直线：交轴于点，直线：过点．
求的值；
点、分别在直线，上，且关于原点对称，求点、的坐标．
16.本小题分
抛物线交轴于，两点，交轴于点，点为线段上的动点．
求抛物线的解析式；
求的最小值；
过点作交抛物线的第四象限部分于点，连接，，记与面积分别为，，设，求点坐标，使得最大，并求此最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.或
11.
12.或
13.解：；
．
14.证明：连接，，则有，
，是的两条切线，切点分别为，，则有，
且，易得，即，
所以直线是线段的垂直平分线，有．
15.解：在中，令，得，即点，
由直线：过点，得，所以．
由知，直线：，
设直线：上的点，则点关于原点对称点，
由点在直线：上，得，解得，
所以点，．
16.解：因为抛物线交轴于，两点，
设，将代入，得，解得，
所以，
所以抛物线的解析式为．
作点关于直线的对称点，连接、、、，
因为，，，
则垂直平分，垂直平分，
所以四边形是正方形，
所以，
在中，，，
，
因为，，
所以，
即点位于直线与交点时，有最小值．
如图，连接，过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
因为，，
所以，解得，
所以直线的解析式为，
因为，所以，
因为记与面积分别为，，设，
所以，
设，，则，
所以，
所以，
所以时，最大，
即时，有最大值．
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