2024-2025学年湖南省长沙市长沙一中高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙一中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则中元素的个数为( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知是虚数单位，复数的虚部为( )
A. B. C. D.
4.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知，，，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.已知随机事件，，中，与相互独立，与对立，且，，则( )
A. B. C. D.
7.甲、乙、丙、丁四个人在一次比赛中只有一人得奖，在问到谁得奖时，四人的回答如下：
甲：乙得奖．
乙：丙得奖．
丙：乙说错了．
丁：我没得奖．
四人之中只有一人说的与事实相符，则得奖的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
8.设，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象
B. 直线是图象的一条对称轴
C. 在上单调递减
D. 的图象关于点对称
10.某学校高一年级学生有人，其中男生人，女生人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容量为的样本，经计算得男生样本的均值为，方差为，女生样本的均值为，方差为，则下列说法正确的是( )
参考公式：样本划分为层，各层的容量、平均数和方差分别为：，，；，，记样本平均数为，样本方差为，
A. 男生样本容量为 B. 每个女生被抽到的概率
C. 抽取的样本的均值为 D. 抽取的样本的方差为
11.如图，正方体的棱长为，是侧面上的一个动点含边界，点在棱上，且，则下列结论正确的有( )
A. 沿正方体的表面从点到点的最短距离为
B. 保持与垂直时，点的运动轨迹长度为
C. 若保持，则点的运动轨迹长度
D. 平面截正方体所得截面为等腰梯形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则的值为______．
13.如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在二面角两个半平面内，且垂直于，，，则 ______．
14.若三棱锥的棱长为，，，，，，其中，则的一个取值可以为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
现从某学校高三年级男生中随机抽取名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成组：第组，第组，，第组，得到如下频率分布直方图．
求的值并估计这名男生的身高的第百分位数；
求这名男生中身高在以上含的人数；
从这名男生身高在以上含的人中任意抽取人，求该人中身高恰有人在以上含的概率．
17.本小题分
如图，在底面为菱形的四棱锥中，平面，，，点，分别为棱，的中点，是线段上的一点．
若是直线与平面的交点，试确定的值；
若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知函数，称非零向量为的“特征向量”，为的“特征函数”．
设函数，求函数的“特征向量”；
若函数的“特征向量”为，求当且时的值；
若的“特征函数”为，且方程存在个不相等的实数根，求实数的取值范围．
19.本小题分
在空间直角坐标系中，已知向量，点若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为．
若平面：，平面：，直线为平面和平面的交线，求直线的一个方向向量；
已知集合，，，，，记集合中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，集合中所有点构成的几何体为．
(ⅰ)求和的值；
(ⅱ)求几何体的体积和相邻两个面有公共棱所成二面角的余弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.答案不唯一
15.解：因为，
由正弦定理可得，
在锐角中，可得，
可得，可得；
因为，，
解得，
由余弦定理可得，
即，
可得，
所以的周长为．
16.解：由频率分布直方图的性质可得，，
解得，
因为，，
所以第百分位数位于，设其为，
则，
解得，
即估计这名男生的身高的第百分位数为；
身高在以上含的频率为：，
所以这名男生中身高在以上含的人数为：人；
这名男生中身高在以上含的人数为人，
其中中有人，中有人，
从这名男生身高在以上含的人中任意抽取人，
基本事件总数，
该人中身高恰有人在含以上包含的基本事件个数，
该人中身高恰有人在含以上的概率为：．
17.解：因为四边形是菱形，，是中点，
所以是等边三角形，所以，又，平面，
所以在点处，，两两互相垂直，
则以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则依题意有，，，，，
则，，，设，
则，
因为是直线与平面的交点，所以，，共面，
所以存在实数，，使得，即，
所以，解得，
所以，即．
依题意有，
设到底面的距离为，
则，所以，
所以是中点，则，所以．
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：因为，
所以的“特征向量”为；
由题意知，
由，得，，
因为，，
所以，
所以；
，当时，，
由，得，
所以或，
由，即，而，解得或，
即在上有两个根，
因为方程在上存在个不相等的实数根，
所以当且仅当且在上有两个不等实根，
在同一坐标系内作出函数在上的图像和直线，
因为方程在上有两个不等实根，
即当且仅当函数在上的图像和直线有两个公共点，
由图像可知：或，
解得或，
所以实数的取值范围是，．
19.解：直线是两个平面与的交线，
所以直线上的点满足，
不妨设，则，，
不妨设，则，，
所以直线的一个方向向量为：；
记集合，中所有点构成的几何体的体积分别为，，
考虑集合的子集，，，，
即为三个坐标平面与围成的四面体，
四面体四个顶点分别为，，，，
此四面体的体积为，
由对称性知，
考虑到的子集构成的几何体为棱长为的正方体．
即，，，，，，，
所以为截去三棱锥所剩下的部分．的体积，
三棱锥的体积为，
所以的体积为，
所以由对称性知．
记集合中所有点构成的几何体为，如图．
其中，正方体即为集合所构成的区域，
构成了一个正四棱锥，其中到面的距离为，
，
所以的体积．
由题意知平面的方程为，由题干定义知其法向量为，
平面方程为，由题干定义知其法向量为，
所以，
由图知两个相邻面所成的角为钝角，
所以所成二面角的余弦值为：．
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