2024-2025学年河南省新乡市封丘一中高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省新乡市封丘一中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知，是夹角为的单位向量，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.若直线的倾斜角为，则直线的一个法向量是( )
A. B. C. D.
5.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是( )
A. B. C. D.
6.幂函数在区间上单调递增，且，则的值( )
A. 恒大于 B. 恒小于 C. 等于 D. 无法判断
7.一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知点是直线上的动点，由点向圆：引切线，切点分别为，且，若满足以上条件的点有且只有一个，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则不可能使的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.锐角三角形中，角，，所对应的边分别是，，，下列结论一定成立的有( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
11.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法中正确的是( )
A. 与是互斥事件 B. 与是对立事件
C. D. 与是相互独立事件
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者人，现用分层抽样的方法分配三个年级的志愿者人数，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为：：，则应从高三年级抽取______名志愿者．
13.从，，，中任取两个不同的数字，分别记为，，则为整数的概率是______．
14.如图，在几何体中，四边形是边长为的正方形，，平面平面，中边上的高，则该几何体的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，．
求与的夹角；
求与．
16.本小题分
年月日是第个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图：
请估计这位市民的平均年龄同组数据用组中值代替；
现用分层抽样的方法从年龄在区间和两组市民中一共抽取人，再从这人中随机抽取人进行电话回访，求“抽取的人的年龄差大于岁”的概率．
17.本小题分
甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
求甲、乙各射击一次，至少击中目标一次的概率；
若乙在射击中出现连续次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击次后被终止射击的概率．
18.本小题分
在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
；
；
的面积为如多选，则按选择的第一个记分
问题：在中，角，，的对边分别为，，，且_____．
求角；
若，求面积的最大值；
在的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围．
19.本小题分
如图，在矩形中，，，是线段上的一动点，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段上．
当点与点重合时，
证明：平面；
求二面角的余弦值；
设直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值．
参考答案
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15.解：由，得，
即，
求得，
再由，可得．
；
．
16.解：这位市民的平均年龄为：，
即这位市民的平均年龄约为；
参与调查的为市民中年龄在区间内的人数为，年龄在区间内的人数为，
按照分层抽样的方法抽取人，则年龄在区间内的应抽取，设为，，，，
年龄在区间内的应抽取，设为，，
从这人中随机抽取人，所有可能出现的情况如下：，，，，，，，，，，，，，，，共种，
则人的年龄差大于的有，，，，，，，，共种，
所以所求概率为．
17.解：根据题意，设甲射击一次，击中目标为事件，乙射击一次，击中目标为事件，
甲、乙各射击一次，至少击中目标一次，即事件，
则有；
乙恰好射击次后被终止射击，则“第次击中，后两次未击中”，
即事件，
其概率．
18.解：若选：由正弦定理得，则，
，
，
，，
，
，
；
选：，
则，
由正弦定理得，，
即，，
，
；
若选：的面积为，
则，
由正弦定理得，
，
，
，
；
由余弦定理得，，
则，当且仅当时取等号，即，
，
则，当且仅当时取得最大值；
由正弦定理得，，即，，
则，
由于为锐角三角形，
则，，，，
．
19.解：证明：
当点与端点重合时，由可知，
由题意知平面，平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，可知，
，平面，平面，
所以平面．
过作于点，连接．
因为平面，平面，所以，
因为，，，所以平面，所以
所以为二面角的平面角，
且在四边形中，、、三点共线．
因为，由几何关系可得
所以在中，
即二面角的余弦值为．
过点作交于，
所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，
过作于点，连接．
由同理可得平面，平面，
所以平面平面，
作，垂足为，
由平面平面，平面，可得平面，
连接，是直线与平面所成的角，即，
因为∽，满足，
设，
所以，，，，
因为在中，斜边大于直角边，即，
所以，
所以，
，
在中由等面积，，
所以，
因为，，
所以是二面角平面角，
即，，
所以，当且仅当时“”成立，
故的最大值．
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