2024-2025学年四川省泸州市泸县五中高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省泸州市泸县五中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. 或 B.
C. D.
2.已知命题：，，则命题的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
4.“”是“函数在上单调递减”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知，则的值等于( )
A. B. C. D.
6.设点的坐标为，是坐标原点，向量绕着点顺时针旋转后得到，则的坐标为( )
A. B.
C. D.
7.已知向量，，则( )
A. B. 向量在向量上的投影向量是
C. D. 与向量共线的单位向量是
8.三棱锥中，是边长为的正三角形，，二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面是关于复数为虚数单位的命题，其中真命题为( )
A. B.
C. 的共轭复数为 D. 的虚部为
10.如图，的三个内角，，对应的三条边长分别是，，，为钝角，，，，，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. D. 的面积为
11.定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的是( )
A. B. 时，
C. D. 函数有对称轴
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数是幂函数且图象与轴无交点，则的值为______．
13.计算： ______．
14.函数的部分图象如图所示，若，，且，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求的值；
求的值．
16.本小题分
在中，，，分别为内角，，的对边，且．
Ⅰ求的大小；
Ⅱ求的最大值．
17.本小题分
如图，在四边形中，，，，为等边三角形，是的中点设，．
用，表示，；
求的余弦值．
18.本小题分
三棱柱中，底面，且各棱长均相等，为的中点．

Ⅰ证明：平面；
Ⅱ证明：平面平面；
Ⅲ求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知且，函数．
求的定义域及其零点；
讨论并证明函数在定义域上的单调性；
设，当时，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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11.
12.
13.
14.
15.解：已知，
，
．
，
求得，或舍去，
综上，．
16.解：Ⅰ设
则，，
方程两边同乘以
整理得
由余弦定理得
故，
Ⅱ由Ⅰ得：
故当时，取得最大值．
17.解：，，，，．
，，
为的中点，
．
根据题意，，，，
，
，
，
．
18.解：Ⅰ证明：连接，交于，连接，则是的中点，
为的中点，
，
又平面，平面，
平面D.
Ⅱ证明：平面，平面，
，
是等边三角形，是的中点，
，又，、平面，
平面，又平面，
平面平面．
Ⅲ解：过作交延长线于，连接，
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
为直线与平面所成角，
设三棱柱的棱长为，则，
即，故而．
．
19.解：由题意知，解得，
函数的定义域为，
令可得，解得，
故函数的零点为：；
设，是内的任意两个不相等的实数，且，
则，
，，，
当时，，
在上单调递减，
当时，，
在上单调递增；
若对任意，存在，使得成立，
只需，
由Ⅱ知当时，在上单调递增，则，
当时，，成立；
当时，在上单调递增，，
由，可解得，；
当时，在上单调递减，，
由，可解得，；
综上，满足条件的的范围是
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