北师大版2024-2025学年八年级数学上册强化提分系列专题2.5二次根式的乘除【八大题型】(学生版+解析)

专题2.5 二次根式的乘除【八大题型】
【北师大版】
【题型1 二次根式乘除法法则成立的条件】 1
【题型2 二次根式乘除法混合运算】 3
【题型3 最简二次根式的辨别】 6
【题型4 化为最简二次根式】 8
【题型5 由最简二次根式的概念求值】 9
【题型6 将根号外的因式（数）移到根号内】 10
【题型7 由积的算术平方根的性质进行化简】 12
【题型8 二次根式的乘除运算的实际应用】 14
知识点1：二次根式的乘除
①二次根式的乘法法则：；
②积的算术平方根：；
③二次根式的除法法则：；
④商的算术平方根：.
【题型1 二次根式乘除法法则成立的条件】
【例1】（23-24·四川绵阳·八年级期末）若等式成立，则字母应满足条件（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）若在实数范围内成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）当时，下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（23-24八年级下·山东日照·期中）要使等式成立的的值为 ．
【题型2 二次根式乘除法混合运算】
【例2】（23-24八年级下·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)．
(3)．
【变式2-1】（23-24八年级下·辽宁大连·期中）计算：
(1)；
(2)．
【变式2-2】（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）化简：
【变式2-3】（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
知识点2： 最简二次根式
我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【题型3 最简二次根式的辨别】
【例3】（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3-1】（23-24八年级下·河南新乡·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（23-24八年级下·山西吕梁·期中）请写出一个被开方数不大于5的最简二次根式是 ．
【变式3-3】（23-24八年级上·上海青浦·期中）在、、、中最简二次根式是 ．
【题型4 化为最简二次根式】
【例4】（23-24八年级上·河南鹤壁·期中）将化为最简二次根式，其结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（23-24八年级下·山东烟台·期中）将 化为最简二次根式为 ．
【变式4-2】（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若，则二次根式 化为最简二次根式为 ．
【变式4-3】（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）当时，化为最简二次根式的结果是（ ）
A． B． C． D．
【题型5 由最简二次根式的概念求值】
【例5】（2019·山东聊城·八年级期末）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a的最小值为（　　）
A．23 B．21 C．15 D．5
【变式5-1】（23-24八年级上·河南南阳·期末）若是最简二次根式，则的值可以是 ．（写出一个即可）
【变式5-2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式， .
【变式5-3】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若和都是最简二次根式，则 ．
【题型6 将根号外的因式（数）移到根号内】
【例6】（23-24八年级下·山东聊城·期中）把化成最简二次根式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（23-24八年级·全国·假期作业）把4根号外的因式移进根号内，结果等于（　　）
A． B． C． D．
【变式6-2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）将 中的a移到根号内，结果是（　　）
A． B． C． D．
【变式6-3】（23-24八年级下·江苏·课后作业）把下列根号外的因式移到根号内.
【实践与计算】
（2）若一个摆钟的摆线长为，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，学习兴趣小组的2名同学数该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数，其余成员计算摆钟1分钟发出“滴答”声次数，再对照是否一致．请你也计算该摆钟1分钟发出多少次“滴答”声；
（3）对于一个确定的摆钟，其内部的机械结构决定了它每来回摆动一次记录的时间是一定的，如一个准确的摆钟的摆球的摆动周期为1s，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，秒针就会走1格，显示的时间1s，求该摆钟的摆线长．
【变式8-1】（23-24·云南昆明·三模）无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某矩形的长为，宽为，则这个矩形面积的值大约在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【变式8-2】（23-24八年级下·广西南宁·期中）安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，）
(1)求从高空抛物到落地的时间；
(2)已知高空拋物动能（单位：）（单位：）物体质量（单位）高度（单位：），某质量为的玩具在高空被抛出后经过后落在地上，根据以上信息，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确．（注：伤害无防护人体只需要的动能）
【变式8-3】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）秦九韶（年年），南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是，记，那么三角形的面积．
(1)在三角形中，，用上面的公式计算三角形的面积；
(2)一个三角形的三边长分别为，求的值．
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专题2.5 二次根式的乘除【八大题型】
【北师大版】
【题型1 二次根式乘除法法则成立的条件】 1
【题型2 二次根式乘除法混合运算】 3
【题型3 最简二次根式的辨别】 6
【题型4 化为最简二次根式】 8
【题型5 由最简二次根式的概念求值】 9
【题型6 将根号外的因式（数）移到根号内】 10
【题型7 由积的算术平方根的性质进行化简】 12
【题型8 二次根式的乘除运算的实际应用】 14
知识点1：二次根式的乘除
①二次根式的乘法法则：；
②积的算术平方根：；
③二次根式的除法法则：；
④商的算术平方根：.
【题型1 二次根式乘除法法则成立的条件】
【例1】（23-24·四川绵阳·八年级期末）若等式成立，则字母应满足条件（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的意义可以得知，构成不等式组就可以求出其的取值范围．
【详解】解：，
，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式有意义的条件及不等式组的解法，根据二次根式有意义的条件列出不等式组是解答关键．
【变式1-1】（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）若在实数范围内成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的除法法则，根据直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，，
解得：，
故选：D．
【变式1-2】（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）当时，下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质以及二次根式和分式的有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：A．当时，，故，选项错误；
B．当时，，故，选项错误；
C．当时，，，故，符合题意；
D．当时，，分母为0，根式无意义，选项错误，不符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
【变式1-3】（23-24八年级下·山东日照·期中）要使等式成立的的值为 ．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式有意义的条件列式求解即可．
【详解】解：二次根式有意义需满足：且，解得：
要使等式成立，则或，解得：或，
综上，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出的取值范围是解题关键．
【题型2 二次根式乘除法混合运算】
【例2】（23-24八年级下·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)．
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，
（1）根据二次根式的乘法运算即可求出答案．
（2）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
（3）根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
（3）
．
【变式2-1】（23-24八年级下·辽宁大连·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)9
(2)
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
（1）直接利用平方差公式进行计算即可；
（2）先化简，再计算乘除法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式2-2】（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）化简：
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的乘除混合运算．先利用二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解．
【详解】解：
．
【变式2-3】（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用二次根式的性质化简，再进行乘除运算即可；
（2）先计算括号内的二次根式的除法，再计算二次根式的乘法即可．
【详解】（1）解：
（2）
知识点2： 最简二次根式
我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【题型3 最简二次根式的辨别】
【例3】（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含开方开的尽的因式或因数，被开方数不含分母，进行判断即可．
【详解】解：在二次根式，，，，中，只有的被开方数不含分母，且不含能开方开的尽的因式或因数，是最简二次根式；
故选A．
【变式3-1】（23-24八年级下·河南新乡·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，解答的关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐个判断即可．
【详解】解：A、的被开方数中含有分母，不属于最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、的被开方数中有开得尽的因数4，不属于最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、是有理数，不属于最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、属于最简二次根式，故此选项符合题意，
故选：D．
【变式3-2】（23-24八年级下·山西吕梁·期中）请写出一个被开方数不大于5的最简二次根式是 ．
【答案】答案不唯一，如
【分析】本题考查的是最简二次根式的概念和二次根式的性质，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
根据二次根式的性质和最简二次根式的概念进行解答即可．
【详解】解：被开方数不大于5的最简二次根式，
可取，答案不唯一．
故答案为：．
【变式3-3】（23-24八年级上·上海青浦·期中）在、、、中最简二次根式是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．据此即可解答．
【详解】解：是最简二次根式，符合题意；
，不是最简二次根式，不符合题意；
，不是最简二次根式，不符合题意；
，不是最简二次根式，不符合题意；
综上：最简二次根式有，
故答案为：．
【题型4 化为最简二次根式】
【例4】（23-24八年级上·河南鹤壁·期中）将化为最简二次根式，其结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的化简方法即可得．
【详解】解：原式，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键．
【变式4-1】（23-24八年级下·山东烟台·期中）将 化为最简二次根式为 ．
【答案】/
【分析】本题考查最简二次根式，正确理解概念是解题的关键．
最简二次根式的概念：“（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”，依据概念化简即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式4-2】（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若，则二次根式 化为最简二次根式为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件、利用二次根式性质化简等知识，先由二次根式有意义的条件判断，再由二次根式性质化简即可得到答案，熟练掌握二次根式有意义的条件、二次根式性质是解决问题的关键．
【详解】解：二次根式中，，
，
，
故答案为：．
【变式4-3】（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）当时，化为最简二次根式的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用二次根式的性质结合a，b的符号化简求出答案．
【详解】解：当a＜0，b＜0时，
故选B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
【题型5 由最简二次根式的概念求值】
【例5】（2019·山东聊城·八年级期末）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a的最小值为（　　）
A．23 B．21 C．15 D．5
【答案】D
【分析】由，且与是同类二次根式知23﹣a＝2n2，分别取n＝1、2、3即可得答案．
【详解】解：∵，且与是同类二次根式，
∴23﹣a＝2时，a＝21；
23﹣a＝8时，a＝15；
23﹣a＝18时，a＝5；
23﹣a＝32时，a＝﹣9（不符合题意，舍）；
∴符合条件的正整数a的值为5、15、21．
∴a的最小值为5．
故选D．
【点睛】本题主要考查最简二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念．
【变式5-1】（23-24八年级上·河南南阳·期末）若是最简二次根式，则的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】3（答案不唯一）
【分析】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：当时，是最简二次根式，
故答案为：3（答案不唯一）．
【变式5-2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式， .
【答案】
【分析】题考查了最简二次根式的概念，根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值．
【详解】解：∵与是被开方数相同的最简二次根式，
∴，解得：，
∴，
故答案为：．
【变式5-3】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若和都是最简二次根式，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了最简二次根，如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：
∴
故答案为：
【题型6 将根号外的因式（数）移到根号内】
【例6】（23-24八年级下·山东聊城·期中）把化成最简二次根式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查最简二次根式．解题的关键是掌握二次根式的性质并能够正确利用二次根式的性质进行化简．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
故选：D．
【变式6-1】（23-24八年级·全国·假期作业）把4根号外的因式移进根号内，结果等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的乘法法则解答即可.
【详解】解：原式=×=，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，掌握解答的方法是关键.
【变式6-2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）将 中的a移到根号内，结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的性质．先判断出，再根据二次根式的性质即可求解．
【详解】∵，
∴，
∴．
故选：A
【变式6-3】（23-24八年级下·江苏·课后作业）把下列根号外的因式移到根号内.
(1)a;
(2)·(x>y>0);
(3)ab(0【答案】（1）;（2）;（3）.
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可知a>0，利用二次根式的乘法法则化简；
（2）(3)利用二次根式的乘法法则求解即可．
【详解】(1) ∵>0,∴a>0,a=,∴a·;
(2) ∵x>y>0,∴x-y>0,xy>0,即>0.
∴,
∴··;
(3) ∵00, b-a＞0,∴ab=,
∴ab·.
【点睛】本题考查了二次根式的化简，正确确定a、b和x的范围是关键．
【题型7 由积的算术平方根的性质进行化简】
【例7】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算的结果是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质化简，即可解答．
【详解】原式=．
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是熟记二次根式的性质．
【变式7-1】（23-24八年级上·全国·课后作业）化简二次根式的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将积的二次根式转化为二次根式的积，再进行化简．
【详解】原式|﹣5| ．
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解答问题的关键．
【变式7-2】（23-24八年级下·宁夏固原·阶段练习）观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，…，那么第个数据是 ．
【答案】
【分析】通过观察可知，规律是根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：，，…，，可以得到第个数据．
【详解】解：由题意可知：题目中的数据可以整理为：，，，…，，
∴第个数据是∶．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，考查了最简二次根式，学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出—般性的规律．观察数据发现规律是解题关键．
【变式7-3】（23-24八年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中，，．
【答案】，
【分析】本题考查二次根式的化简求值．
根据二次根式的化简方法先化成最简二次根式，再代入求值即可．
【详解】解：
当，，时，
原式
【题型8 二次根式的乘除运算的实际应用】
【例8】（23-24八年级下·广西百色·期中）【综合与实践】
摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，我们要珍惜当下，抓住每一秒，努力前行．某学习兴趣小组通过观察实验室的摆钟发现：摆钟的摆球的摆动快慢与秒针的走动，摆钟的“滴答”声，摆长都有关系．于是他们通过查阅资料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期．它的计算公式是：，其中T表示周期(单位：s)，l表示摆线长(单位：m)， ，π是圆周率．(π取3.14，摆线长精确到0.01米，周期精确到0.01s，参考数据：，)
【思考填空】
（1）通过上面的计算公式我们知道了：摆球的快慢只与摆线的长短有关，摆线越长，周期越______(填“长”或“短”)，摆得越______；(填“快”或“慢”)
【实践与计算】
（2）若一个摆钟的摆线长为，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，学习兴趣小组的2名同学数该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数，其余成员计算摆钟1分钟发出“滴答”声次数，再对照是否一致．请你也计算该摆钟1分钟发出多少次“滴答”声；
（3）对于一个确定的摆钟，其内部的机械结构决定了它每来回摆动一次记录的时间是一定的，如一个准确的摆钟的摆球的摆动周期为1s，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，秒针就会走1格，显示的时间1s，求该摆钟的摆线长．
【答案】（1）长，慢；（2）该摆钟1分钟发出43次“滴答”声；（3）该摆钟的摆长为0.25米
【分析】本题考查二次根式的化简和利用二次根式的性质求解，审清题意并根据题意正确列式和方程是解题的关键．
（1）根据即可判断；
（2）将代入计算求出T，即可得解；
（3）令求出l即可．
【详解】解：（1）令，
∵g>0，
∴，
∴，
(1)求从高空抛物到落地的时间；
(2)已知高空拋物动能（单位：）（单位：）物体质量（单位）高度（单位：），某质量为的玩具在高空被抛出后经过后落在地上，根据以上信息，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确．（注：伤害无防护人体只需要的动能）
【答案】(1)3秒
(2)正确，计算见详解
【分析】（1）将代入计算即可；
（2）将代入计算求出，再将及物体质量的值代入高空抛物动能计算即可．
此题考查了二次根式的应用，二次根式的化简，二次根式的混合计算，正确理解题意代入求值是解题的关键．
【详解】（1）解：依题意，当时，
，
（2）解：正确，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由如下：
当时，，
解得，
高空抛物动能，
这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
【变式8-3】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）秦九韶（年年），南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是，记，那么三角形的面积．
(1)在三角形中，，用上面的公式计算三角形的面积；
(2)一个三角形的三边长分别为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）根据“海伦一秦九韶公式” 即可解答；
（）将，代入得到，再利用即可解答．
【详解】（1）解：∵三角形中，，
∴“海伦一秦九韶公式”中的，，
∴，
；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的值为．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，勾股定理解直角三角形，等腰直角三角形的性质，明确题意熟练掌握海伦一秦九韶公式是解题的关键．
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