2024-2025学年山东省济南市高新第一实验中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省济南市高新第一实验中学九年级（上）开学
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列交通标志中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.代数式因式分解为( )
A. B.
C. D.
3.若正多边形的一个内角度数为，则这个多边形的边数为( )
A. B. C. D.
4.如图，点，分别在 的，边上，且，如果：：，那么：等于( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
5.如图，在中，、分别为、的中点，平分，交于点，若，则的长为( )
A. B.
C. D.
6.如图，两个转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止将两指针所指的两个扇形中的数相加，和为的概率是( )
A. B. C. D.
7.某工厂现在平均每天比原计划多生产台机器，现在生产台机器所需时间与原计划生产台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产台机器，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
8.如图，在 中，对角线，，，为的中点，为边上一点，直线交于点，连接，下列结论不成立的是( )
A. 四边形为平行四边形
B. 若，则四边形为矩形
C. 若，则四边形为菱形
D. 若，则四边形为正方形
9.如图，在矩形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，下列结论：四边形是菱形；；；若平分，则其中正确结论的个数是( )
A.
B.
C.
D.
10.已知多项式多项式．
若，则代数式的值为；
当，时，代数式的最小值为；
当时，若，则关于的方程有两个实数根；
当时，若，则的取值范围是．
以上结论正确的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.当 ______时，分式有意义．
12.如图，已知 中，点在上，，交对角线于点则______．
13.如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为的小路阴影，余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求得小路宽的值为______；
14.清朝数学家梅文鼎在著作平三角举要中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的边上的高，则当，，时，则的面积为______．
15.如图，在菱形中，，，，分别是边，的动点，满足，连接、，是边上的动点，是上靠近的四等分点，连接、、，当面积最小时，的最小值为______．
三、解答题：本题共10小题，共91分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.先化简，再求值：，请在，，，当中选一个合适的数代入求值．
17.本小题分
解方程：
；
．
18.本小题分
如图，矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、，求证：四边形是菱形．
19.本小题分
某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲．要合奏的乐曲是用游戏的方式在月光下的凤尾竹与彩云之南中确定一首．
游戏规则如下，在一个不透明的口袋中装有分别标有数字，，，的四个小球除标号外，其余都相同，甲从口袋中任意摸出个小球，小球上的数字记为在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字，的两张卡片除标号外，其余都相同，乙从口袋里任意摸出张卡片，卡片上的数字记为然后计算这两个数的和，即若为奇数，则演奏月光下的凤尾竹；否则，演奏彩云之南．
用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？
20.本小题分
已知关于的一元二次方程
当取何值时，这个方程有两个不相等的实根？
若方程的两根都是正数，求的取值范围；
设，是这个方程的两个实数根，且，求的值．
21.本小题分
党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”为扎实做好育人工作，某校深入开展“阳光体育”活动该校计划购买乒乓球拍和羽毛球拍用于“阳光体育大课间”和学生社团活动已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍多元，且用元购买乒乓球拍的数量和用元购买羽毛球拍的数量相等．
求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格；
学校计划采购乒乓球拍和羽毛球拍共副，且乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的倍，要想花费的资金总额最少，则最多购买乒乓球拍多少副？资金总额最少为多少元？
22.本小题分
如图，的两条直角边，，点沿从向运动，速度是秒，同时，点沿从向运动，速度为秒．动点到达点时运动终止．连接、、．
当动点运动几秒时，与相似？
当动点运动几秒时，的面积为？
在运动过程中是否存在某一时刻，使？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
23.本小题分
阅读材料，解答问题：
材料
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料
已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
直接应用：
方程的解为______；
间接应用：
已知实数，满足：，且，求的值；
拓展应用：
已知实数，满足：，且，求的值．
24.本小题分
如图所示，，为等腰三角形，．
如图，点在上，点与重合，为线段的中点，则线段与的数量关系是______；的度数为______．
如图，在图的基础上，将绕点顺时针旋转到如图的位置，其中、、在一条直线上，为线段的中点，则线段与是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论．
若绕点任意旋转一个角度到如图的位置，为线段的中点，连接、，请你完成图，请猜想线段与的关系，并验证你的猜想．
25.本小题分
矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，连接，将沿折叠得，交轴于点，线段、的长是方程的两个根，且．
请直接写出点的坐标为______，点的坐标为______；
点为直线上一点，连接、，当的周长最小时，求点的坐标；
点在轴上，点在直线上，坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
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6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：原式
，
分式分母不能为，
，，
取，当时，
原式．
17.【答案】解：，
，
，
，；
，
，
或，
解得 ．
18.【答案】证明：在矩形中，，
，，
又，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形．
19.【答案】解：按游戏规则计算两个数的和，列表如下：
从表中可以看出共有种等可能的情况．
我认为这个游戏公平，理由：
从表中可以看出共有种等可能的情况，其中和为奇数与和为偶数的可能性各有种，
所以和为奇数和为偶数，
这个游戏公平．
20.【答案】解：，
时，方程有两个不相等的实数根；
设，是这个方程的两个实根，则，，
，
；
，，，
，
．
21.【答案】解：设每副乒乓球拍的价格是元，则每副羽毛球拍的价格是元．
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的根，
元，
每副乒乓球拍的价格是元，每副羽毛球拍的价格是元．
设购买乒乓球拍副，则购买羽毛球拍．
根据题意，得，
解得，
设花费的资金总额为元，则，
，
随的增大而减小，
且为整数，
当时，取最小值，，
要想花费的资金总额最少，则最多购买乒乓球拍副，资金总额最少为元．
22.【答案】解：设点运动时间为秒，则秒，秒，秒，秒，
当，即时，∽，
：：，即：：，
；
当，即时，∽，
：：，即：：，
；
所以当动点运动秒或秒时，与相似；
过作于，如图，
，
，
∽，
：：，
即：：，
，
，
或舍，
即当动点运动秒时，的面积为；
存在．
如图，过点作于，
∽，
：：，
即：：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
：：，即：：，
．
23.【答案】解：，，，；
，
或，
当时，令，．
，则，，
，是方程的两个不相等的实数根，
，
此时．
当时，，此时，
综上所述，或．
令，，则，，
，
，即，
，是方程的两个不相等的实数根，
，
故．
24.【答案】；；
如图，延长到，使，连接、、，
为中点，
，
在和中
≌，
，，
，，
，
在和中
≌，
，，
，
，又为的中点，
，；
图形如图，
结论：，．
证明如下：
如图，延长到，使，连接、，连接并延长交于，交于，
为中点，
，
在和中
≌，
，，
，，
，且，
，
在和中
≌，
，，
，
，又为的中点，
，．
25.【答案】，；
过作的对称点，连接，交于点，此时的周长最小，
是将沿折叠得到的，
点在上，
，，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
四边形是矩形，且是将沿折叠得到的，
，，
，
，则，
，
同理求得直线的解析式为，
，
解方程，得，
，
；
存在点，使以、、、为顶点的四边形为正方形．
分两种情况：当为边时，
如图，若四边形是正方形，则，过点作轴于，过点作轴于，
四边形是正方形，
，，
，
又，
，
又，
≌，
，，
过点作轴于点，
同理可证≌，
，
设，
在直线上，
，
，
，，
，
点；
如图，若四边形是正方形，
同理可得，；
如图，若四边形是正方形，
同理可证≌，
，，
设，则，
，
，
，
，，
；
同理，点；
如图，若四边形是正方形，

同理可求；点；
当是对角线时，若四边形是正方形，过点作轴于，
点，点，
直线解析式为，
四边形是正方形，
，，
，
又，
，
又，
≌，
，，
设点，
，，
点，
点在上，
，
，
，
同理可知≌，
，，
，
，
如图，若四边形是正方形，
同理可求点，则点．
综上所述，点的坐标为或或或或．
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