江西省宜春市2024-2025学年高二上学期开学诊断考试数学试题（PDF版，无答案）

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2026 届高二上学期诊断考试数学试卷 C. 先将横坐标缩短到原来的 2 ，纵坐标不变，再向右平移5个单位长度

D. 先将横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向右平移5个单位长度
本试卷分第 I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分，考试时长 120分钟. a b
7．在 中，内角 , , 的对边分别为 a，b，c，且asinA b c sinB，则 的取值范围是（ ）
第 I卷（选择题共 58分） c
1 1 1
A．（ ， ） B．（ ，1） C． 3 1 D． 3 1一 选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 3 2 3 （ ， ） （ ， ）3 3 2
项是符合题目要求的.
8.已知定义在R上的偶函数 f x ，当 x 0,2π 时， f x cosx cosx ，对任意 x 0, 总有
1．若复数 z满足 z i 2 i 0，则 z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 f x 2π 2 f x .当 a,b m,n 时， f a f b 4恒成立，则 n m的最大值为（ ）
C．第三象限 D．第四象限 19π6π 28π 31πA. B. C. D.
3 3 3
2．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分．共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
图所示，其中外弧长与内弧长之和为89cm，连接外弧与内弧的两端的线段长均为18cm，且该扇环的圆
题目要求，全部选对的得 6分．部分选对的得部分分．有选错的得 0分.
心角的弧度数为 2.5，则该扇环的外弧长为（ ）
9．有一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则（ ）
A．这组数据的众数为 4
B．这组数据的极差为 3
C．这组数据的平均数为 1.5
D．这组数据的 40% 分位数为 1
A．63cm B．65cm C．67cm D．69cm 10．若 a 0,b 0，则下列结论正确的有（ ）
3．已知函数 对任意 ∈ 满足 1 = 1 + ， + 2 = ，且 (0) = 0，则 26 等于（ ）
a2 b2 2 1 4 2 a b 9A． B．若 ，则
A．1 B．0 C．2 D． 1 a b 2 a b 2

4．已知向量 a 1, 2 ，b 3,1 ，则 a在b 上的投影向量为（ ） 1 1
3 1 1 C．若 ab b
2 2，则 a 3b 4 D．若 > > 0，则 a b
A． ( , ) B． ( ,1) C. 5 2 5 D. 3 10 10（ ， ） （ ， ） b a
2 2 2 5 5 10 10
11．半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.
5．已知α，β均为锐角，p： 2
某半正多面体由 4 个正三角形和 4 个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件 体中，若其棱长为 1，则下列结论正确的是（ ）
21 3
C．充分必要条件 A．该半正多面体的表面积为 4
D．既非充分又非必要条件 B． BE 6与平面 ABC所成角的正弦值为
3
6．已知函数 = 3 ( +
)
5 图象为C，为了得到函数 = 3 (2 )5 的图象，只要把C上所有点（ ） 11πC．该半正多面体外接球的表面积为
2
A. 先向右平移5个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变
D．若点M ， N分别在线段DE，BC上，则 FM MN AN的最小值为 19
2
B. 先向右平移 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变
5
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第 II卷（非选择题共 92分） 17．（本小题 15 分）甲、乙两人组成“九章队”参加宜春中学数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比
三 填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 2 3赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 ．在每轮比赛中，甲
3 4
12．(1 + 13°)(1 + 32°) = .
和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．

13．如图，在 中，BO 2OC，过点O的直线分别交直线 AB，AC于不同的两点M ，N .设 AB mAM ， (1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；
1 1
AC nAN，则 的最小值为 .m n (2)求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．
14.如图，莲花县荷塘乡重阳木古树已有 800 年左右的历史，该古树枝繁叶茂，以优美的形状挺立在文
a c m 1 2cos2 B18．（本小题 17 分）在 中， ，b， 分别是角 , , 的对边，向量 , cosC

，
塘村，几百年来历经风霜守护村民繁衍生息.小明为了测量该古树高度，在古树旁水平地面上共线的三 2
点 ， ， 处测得古树顶点 的仰角分别为 45°，45°，30°，若 AB BC 28米，则该古树的高度为___ n c, 2a b ，且m n .
米.
（1）求C；
（2）若 a b 2， c 3， C的平分线交 AB于点D，求CD的长.

四 解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. 19 ． （ 本 小 题 17 分 ） 设 O 为 坐 标 原 点 ， 定 义 非 零 向 量 OM a,b 的 “ 友 函 数 ” 为

15．（本小题13分）已知二次函数 y f (x)的图象过点( 1,3)，且不等式 f (x) 7x 0 1的解集为（ ，1）.
4 f x a sin x bcos x x R ，向量OM a,b 称为函数 f x a sin x bcos x x R 的“友
(1)求 f (x)的解析式；
向量”.
(2)设 g(x) f (x) mx，若 g(x)在(2,4)上是单调函数，求实数 m的取值范围.

（1）记OM 1,1 的“友函数”为 f x ，求函数 f x 的单调递增区间；
（2）设 h x cos x π 2cos x ，其中 R，求 h x 的“友向量”模长的最大值；
16．（本小题 15 分）在如图所示的多面体 中，四边形 是边长为 2的正方形，其对角线 6
的交点为 ， ⊥平面 ， // ， = 2 = 2.点 是棱 的中点.
（3）已知点M a,b 满足6a2 5ab b2 0，向量OM 的“友函数” f x 在 x x0处取得最大
(1)求证： ⊥平面 ； (2)求多面体 的体积.
cos x0 sin x0
值.当点M 运动时，求 g x0 sin x cos x 的取值范围.0 0
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