20.3.2等边三角形（课件）-八年级数学上册同步精品课堂（人教版五四制）

(共39张PPT)
八年级上册数学
第二十章 轴对称
20.3.2 等边三角形
含30°直角三角形的性质
生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形.
思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？等腰三角形中有哪些相等的线段？
情景引入
名称 图 形 定 义 性 质 判 定
等 腰 三 角 形
等边对等角
三线合一
等角对等边
两边相等
两腰相等
轴对称图形
A
B
C
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
回顾引入
等腰三角形
等边三角形
一般三角形
定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
一般三角形
等腰三角形
等边三角形
（底≠腰）
底＝腰
有二条边相等
什么是等边三角形？它与一般三角形有什么区别？
等边三角形也叫做正三角形是特殊的等腰三角形
合作探究
A
B
C
A
B
C
思考1： 等边三角形的三个内角之间有什么关系？
等腰三角形
AB=AC
∠B=∠C
等边三角形
AB=AC=BC
AB=AC
∠B=∠C
AC=BC
∠A=∠B
∠A=∠B=∠C
=60°
你能说一下推理过程吗？
一、等边三角形的性质
推理归纳
　证明：∵　△ABC 是等边三角形，
∴　BC =AC，BC =AB．
∴　∠A =∠B，∠A =∠C ．
∴　∠A =∠B =∠C ．
∵　∠A +∠B +∠C =180°，
∴　∠A =60°．
∴　∠A =∠B =∠C =60°．
　　已知：△ABC 是等边三角形
求证：∠A =∠B =∠C=60°．
A
B
C
结论1:等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
A
B
C
A
B
C
思考2： 等边三角形有“三线合一”的性质吗 等边三角形有几条对称轴？
结论2:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”.
顶角的平分线、底边的高、底边的中线三线合一
一条对称轴
三条对称轴
图形 等腰三角形
　性 质
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合
三个内角都相等，
对称轴（3条）
等边三角形
对称轴（1条）
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合
且都是60
两条边相等
三条边都相等
归纳小结
A
B
C
D
E
F
利用等边三角形三线合一填空：
∵ AB＝AC，BD＝DC
∴∠ ＝∠ , ⊥ ；
∵ AB＝BC，AE＝EC
∴∠ ＝∠ , ⊥ ；
∵ AC＝BC，AF＝FB
∴∠ ＝∠ , ⊥ .
BAD
CAD
AD
BC
ABE
CBE
BE
AC
ACF
BCF
CF
AB
例1 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.
∵BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
变式1如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）．
（2） 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？
（3）一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
三条边相等的三角形是等边三角形（定 义）.
三个角相等的三角形是等边三角形.
（1）等边三角形有哪些性质？
等边三角形的三条边相等，三个角相等，“三线合一”.
思考：
你能证明这些定理吗？
二、等边三角形的判定
A
B
C
已知：如图，∠A=∠B=∠C.
求证：AB=AC=BC.
∵ ∠A= ∠B,
∴ AC=BC.
∵ ∠B=∠C,
∴ AB=AC.
∴AB=AC=BC.
证明：
三个角都相等的三角形是等边三角形.
证明：
A
B
C
已知： 若AB=AC ,∠A= 60°.
求证： AB=AC=BC.
∵AB=AC , ∠A= 60 °，
∴∠B＝∠C＝ (180°－∠A)÷2= 60°.
∴∠A= ∠ B=∠C.
∴AB=AC=BC.
证明：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
证明：
证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？
证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),
∴∠C=∠B=60°(等边对等角)，
∴∠A=60°(三角形内角和定理)．
∴∠A=∠B =∠C=60°．
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°．
求证:△ABC是等边三角形．
第二种情况：有一个底角是60°.
A
C
B
60°
1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.
等边三角形的判定方法：
3.定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
2.定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
推导过程：∵AB＝BC＝CA，∴ △ABC是等边三角形.
推导过程：∵∠A＝ ∠ B＝ ∠ C，∴ △ABC是等边三角形.
推导过程：∵AB＝AC，∠A＝ 60°，∴ △ABC等边三角形.
C
B
A
结论
等边 三角形 性质 判定的条件
三条边都相等
“三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合
有一角是60°的等腰三角形是等边三角形
等边三角形三个内角都相等，且每个角都是60°
三个角都相等的三角形是等边三角形
归纳总结
三条边都相等的三角形是等边三角形
例2 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,
求证：△ADE是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
　证明：∵　△ABC 是等边三角形，
∴　∠A =∠ABC =∠ACB =60°．
∵　DE∥BC，
∴　∠ABC =∠ADE，
∠ACB =∠AED.
∴　∠A =∠ADE =∠AED.
∴　△ADE 是等边三角形.
变式2　若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？
A
D
E
B
C
变式3　若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？
　　证明： ∵　△ABC 是等边三角形，
∴　∠BAC =∠B =∠C =60°．
∵　DE∥BC，
∴　∠B =∠D，∠C =∠E．
∴　∠EAD =∠D =∠E．
∴　△ADE 是等边三角形．
A
D
E
B
C
例3 如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB．
求证：△ADE是等边三角形．
证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
即∠C＝30°．
∵AD⊥AC，AE⊥AB．
∴∠ADC＝∠AEB＝60°，
∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
例4 如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE＝CF，∠BDE＝30°，
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED和△CFD都是直角三角形，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC（等角对等边）．
∵∠BDE＝30°，DE⊥AB，
∴∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
问题1 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
分离
拼接
A
C
B
三、30°角所对的直角边等于斜边的一半
问题2 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？
含30°角的直角三角形的性质
性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
D
如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，
因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，
从而△ABD是一个等边三角形.
再由AC⊥BD,
可得BC=CD= AB.
你还能用其他方法证明吗？
证法1
A
B
C
D
证明方法：倍长法
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.
求证：BC = AB．
∴BC = BD．　　
∴BC = AB．　　
证明：在△ABC 中，∵　∠C =90°，∠A =30°, ∴　∠B =60°．
延长BC 到D，使BD =AB，连接AD，
则△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD,
证法2
E
A
B
C
证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC.
∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
∵ ∠A= 30°，
∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°.
∴ AE=EC，
∴ AE=BE=BC，
∴ AB=AE+BE=2BC.
∴　BC = AB．　　
证明方法：截半法
知识要点
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
应用格式：
∵　在Rt△ABC 中，
　　∠C =90°，∠A =30°，　　
A
B
C
∴　BC = AB．　　
）
30°
√
判断下列说法是否正确：
1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半．
2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。
3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。
4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．
做一做
例5 如图13－3－13所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＋BC＝12 cm，则AB的长为多少？
图13－3－13
解：设BC的长为x cm.
在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝ AB，
故AB＝2x cm.
又AB＋BC＝12 cm，则可列方程x＋2x＝12，
解得x＝4.则AB＝2x＝8.∴AB的长为8 cm.
思考：图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？
例6 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，
∴BC= AB, DE= AD.
∴BC= AB= ×7.4=3.7(m).
又AD= AB,
∴DE= AD= ×3.7=1.85 (m).
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
例7 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(　　)
A．3 B．2
C.1.5 D．1
解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C.
E
C
1．如图是一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是( )
A．180° B．220° C．240° D．300°
C
2．如图，已知P，Q是△ABC的BC边上的两点，BP＝PQ
＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的度数为______°.
120
课堂练习
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(　　)
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
D
4.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = .
1
A
B
C
D
5.在 △ABC中 ，AB=AC，∠BAC=120° ，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.
证明：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°.
∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.
∴AB=2AD.
∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.
∴AB=4AE，∴BE=3AE.
6.等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ为等边三角形．
证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.
∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
等边
三角形
定义
底=腰
特殊性
性质
特殊性
边
三边相等
角
三个角都等于60 °
轴对称性
轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质
判定
特殊性
三边法
三角法
等腰三角形法
课堂小结
内容
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
使用要点
含30°角的直角三角形的性质
找准30 °的角所对的直角边，点明斜边
注意
前提条件：直角三角形中