20.4课题学习最短路径问题 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
八年级上册数学
第二十章 轴对称
20.4 课题学习 最短路径问题
相传古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图1中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”.
B
A
情景引入
思 考
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
如图所示：将A，B 两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线.


B
l
那你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
A
如图： 点A，B分别在直线l的同侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么位置的时候，AC+BC的值最小？
如果点A，B在直线l的两侧，这时该如何求解？


A
B
l


A
B
l
解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C 即为所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.
依据：两点之间，线段最短.
如图： 点A，B分别在直线l的两侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么位置的时候，AC+BC的值最小？
你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在直线同一侧的问题吗？
分析：如果我们能够把点B转移到直线l的另外一侧B′，同时使得对直线上任意一点C，满足BC=B′C，就可以将问题转化为“两点分别在直线两侧的情况”.那么在直线l上使得满足BC=B′C的点应该怎么找呢？


A
B
l
如图，作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性质可知：对于直线l上的任意一点C均满足BC=B′C.此时，问题转化为：当点C在直线l的什么位置时，AB+B′C的值最小？

B′
容易得出：连接AB′交直线l于点C，则点C即为所求.


A
B
l
C
你能证明这个结论吗

证明：在直线l上任意取一点C′（不与点C重合），连接AC′，BC′，B′C′.
由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，
则AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.
在△AB′C′中，AB′所以AC+BC由点C′的任意性可知，AC+BC的值是
最小的，故点C的位置符合要求.
l


A
B

B′
C
C′
1、直线异侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.
如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最小，此时点C就是线段AB与直线l的交点.


B
l
A
C
两种最短距离问题
2、直线同侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.
如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最小，这时先作点B关于直线l的对称点的B′，连接AB′交直线l于点C（也可以作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点C），此时点C就是所求作的点.


A
B
l
C
B′
练一练
如图，A，B两个小镇在河的同侧，现要在笔直的河边a上修建一个自来水厂分别向两个镇供水，如何选择自来水厂的位置，可使用的水管最短？
解：如图，作点B关于河边a的对称点B′，连接AB′交河边a于点P，则点P所在的位置为所求的自来水厂的位置.


A
B
a


B′
P
练一练
如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（ ）
A.转化思想
B.三角形两边之和大于第三边
C.两点之间，线段最短
D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角


A
B
l
C
B′
如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（ ）
D
分析：上述题目中应用了轴对称把最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”来解决，该过程用到了“转化思想”，“两点之间，线段最短”，验证是否为最短距离时利用了三角形两边之和大于第三边.


A
B
l
C
B′
作法：过点P分别作关于直线l1，l2的对称点P1，P2，连接P1P2分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.

P
l2
l1
P1
P2
N
M
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△PMN的周长最小.
两点一线型问题
解析：通过轴对称的原理，把周长最小值转化为两点间距离最短的问题.△PMN周长的最小值为PM+MN+PN=P1P2.

P
l2
l1
P1
P2
N
M
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△PMN的周长最小.
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形PQMN的周长最小.

P
l2
l1
Q

两点两线型问题
作法：分别作点P，Q关于直线l1，l2的对称点P1，Q1，连接P1Q1分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.

P
l2
l1
Q

P1
Q1
N
M
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形PQMN的周长最小.
解析：通过轴对称把周长最小问题转化为两点间距离最短问题，四边形PMNQ的周长的最小值为PM+MN+NQ+QP=P1Q1+PQ，依据的是两点之间，线段最短.
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
B
A
A
B
N
M
造桥选址问题
B
A
●
●

N
M
N
M
N
M
如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
B
A
Ｍ
Ｎ
B
A
A1
M
N
如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.
理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１.
Ｎ１
Ｍ１
由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.
AM+MN+BN转化为AA１＋A１B，而AM１＋M１N１＋BN１转化为AA１＋A１N１＋BN１.
在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B.
因此AM１＋M１N１＋BN１＞ AM+MN+BN.
A·
B
M
N
E
C
D
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路径长为AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，
所以桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.
B
题型分析
D
C
1．龟兔赛跑新规则：参赛者从点A出发到达直线a上任意一点C后，再回到直线a同侧的终点B，最先到达终点者胜，图D－25－1中的四个图是为它们设计的路线，其中路程最短的是(　　)
图D－25－1
课堂练习
2.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（　　）
A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
B
3.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
A
D
D ′
C
C′
E
E′
B
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，
则四边形AFD′D为平行四边形，
于是AD=FD′,
同理，BE=GE′，
由两点之间线段最短可知，
GF最小.
A
D ′
C
C′
E
E′
B
F
G
D
原理
线段公理和垂线段最短
将军饮马问题
解题方法
造桥选址问题
关键是将固定线段“桥”平移
最短路径问题
轴对称知识+线段公理
解题方法
课堂小结