22.1一元二次方程（同步课件）-九年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

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22.1 一元二次方程
数学（华东师大版）
九年级 上册
第22章 一元二次方程
学习目标
1.了解一元二次方程的概念;
2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a, b, c为常数,a≠0）
3.能根据具体问题的数量关系,建立一元二次方程的模型；
　
温故知新
一元一次方程
未知量
未知量的最高次幂
一个未知量
未知量的最高次幂是1
【提示】
判断下列式子是否是一元一次方程：
×
√
　
导入新课
绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
讲授新课
知识点一 一元二次方程的概念
问题1：请通过类比一元一次方程一般形式（ax + b = 0）,对下面所得方程进行整理.
（1） x2 = 64 ; （2）x（x + 10） = 1200.
（1） x2 – 64 = 0 ;
（2） x2 + 10x – 1200 = 0.
问题2：上述两个方程有什么共同特点？
1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2;
3.整式方程．
讲授新课
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
ax2 称为二次项, a 称为二次项系数.
bx 称为一次项, b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
※一元二次方程的概念
※一元二次方程的一般形式
讲授新课
思考 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？
当 a = 0 时
bx＋c = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时 ，
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时 ，
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
讲授新课
判断下列方程是否为一元二次方程.
(1) 1-x3=0
(2) 2(x2-1)=3y
(3) y(y-3)=-4
(4) (x+1)(x-2)=x2
(5) 3x2=
(6) ax2+bx+c=0(a、b、c为常数)
否
否
是
否
否
a ≠ 0
否
讲授新课
典例精析
【例1】下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）
C
不是整式方程
含两个未知数
化简整理成x2-3x+2=0
少了限制条件a≠0
【点睛】判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
讲授新课
练一练
1、如果方程(m－3)·xm2－7－x+3=0 是关于x的一元二次方程，那么m 的值为( )
A. ±3 B. 3
C. －3 D. 以上都不对
C
讲授新课
2、关于x的方程(k - 3) x2 +2x - 1=0,当k 　　　时,是一元二次方程．
3、关于x的方程(k2 - 1) x2 +2 (k - 1) x + 2k + 2 = 0,当k 　 　　 时,是一元二次方程.当k 　　　时,是一元一次方程．
≠3
≠±1
=-1
讲授新课
方 程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
x(19－2x)＝24
x2＝2
x2＋(x－1 )2 ＝25
x2-2=0
试一试：
1
0
-2
2x2-19x+24=0
2
-19
24
2x2-2x-24=0
2
-2
-24
讲授新课
4、a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x=2x2
(2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a－2)x2－x=0，
∴当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由+1 =2，且a－1≠0得，
当a=－1时，原方程是一元二次方程.
讲授新课
【例2】将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
解：
去括号，得
3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0.
二次项是3x2，系数是3；一次项是-8x，系数是-8；常数项是-10.
讲授新课
1.若关于x的方程(m－2)x2＋mx－3＝0是一元二次方程，则m的取值范围是(　　)
A.m≠2 B.m＝2 C.m＞2 D.m≠0
A
2、如果方程(m－2)xm2－2－mx＋3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为_________.
－2
讲授新课
3. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1) x2-x=2；
(2) 4x+1=x2；
解：(1)将方程化成一般形式，得x2－x－2=0，
二次项系数、一次项系数和常数项分别是1、-1、-2.
(2)将方程转化成一般形式，得x2－4x－1=0，
二次项系数、一次项系数和常数项分别是1、-4、-1.
讲授新课
知识点二 建立一元二次方程的模型
用方程描述下列问题中的数量关系：
(1)一张面积是240 cm2的长方形彩纸，长比宽多8cm，设它的宽为xcm，可得方程_______________.
x(8＋x)＝240
(2)一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm 的正方形孔，已知正方形面积是圆面积的 ，设圆的半径为xcm，可得方程___________.
πx2＝9
讲授新课
(3)两个连续奇数的积为323，设其中的一个奇数为x，可得方程__________________________.
x(x＋2)＝323或x(x-2)＝323
(4)某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14 400台提高到16 900台，设平均每年增长的百分率为x，可得方程______________________.
14 400(1+x)2＝16 900
讲授新课
典例精析
【例3】观察下面等式：
102 + 112 + 122 = 132 + 142
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为： , , , .　
根据题意，可得方程： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
x+1
x+2
x+3
x+4
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2.
x2 - 8x - 20＝0（一般式）.
讲授新课
练一练
解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙　　　　m.
如果设梯子底端滑动x m ,那么滑动后梯子底端距墙　　 m ,
根据题意，可得方程：
1、如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？
6
x+6
72 + (x + 6)2 = 102.
x2 + 12 x - 15 = 0(一般式).
10m
8m
1m
xm
当堂检测
1. 下列哪些是一元二次方程？
(1)3x+2=5x-2
(2)x2=0
(3)(x+3)(2x-4)=x2
(4)3y2=(3y+1)(y-2)
(5)x2=x3+x2-1
(6)3x2=5x-1






当堂检测
2.填空：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
-2
1
3
1
3
-5
4
0
-5
3
-2
当堂检测
3.将一元二次方程 写成一般形式，下列等式正确的是 ( )
A. B.
C. D.
C
当堂检测
4. 一元二次方程 的二次项系数、一次项系数及常数项分别是( )
A. 2，5，6 B. 5，2，6
C. 2，5，－6 D. 5，2，－6
C
当堂检测
5.已知关于x的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x＋5化为一般形式后不含一次项，则m的值为 ( )
A. 0 B. ±3 C. 3 D. －3
D
当堂检测
6.如图，有一面积为600m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙 (墙长35m) ，另三边用竹篱笆围成，其中一边开有1m的门，竹篱笆的总长为69m．设鸡场垂直于墙的一边为xm，则列方程正确的是( )
A．x(69+1－2x)＝600 B．x(69－1－2x)＝600
C．x(69－2x)＝600 D．x(35＋1－2x)＝600
A
当堂检测
7. 已知关于x的方程(m－1)＋(m－2)x－1＝0，回答下面的问题：
(1) 若方程是一元二次方程，求m的值.
解：(1)根据题意，得m2＋1＝2，且m－1≠0，解得m＝－1.
(2)若方程是一元一次方程，则m的值是否存在？若存在，请求出m的值，并求出方程的解.
解：(2) 存在　有两种情况：
① 当满足m2＋1＝1，且(m－1)＋(m－2)≠0时，解得m＝0，
则方程变为－3x－1＝0，解得x＝－；
② 当满足m－1＝0，且m－2≠0时，解得m＝1，
则方程变为－x－1＝0，解得x＝－1
课堂小结
一元二次方程
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以
化为ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数,a≠0)的形式.
概念
一般式：ax2+bx+c=0(a , b , c为常数, a≠0)
ax2 称为二次项,a 称为二次项系数.
bx 称为一次项,b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
建立一元二次方程模型
谢 谢~