28.2二次函数与一元二次方程（同步课件）-九年级数学上册同步精品课堂（人教版五四制）

(共27张PPT)
数学九年级上册
第28.2 二次函数与一元二次方程
学习目标
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系.
2.能运用二次函数及性质确定方程的解或不等式的解集.
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
1.二次函数的一般式：_________________，
____是自变量，____是____的函数.
2.二次函数与一元二次方程有什么联系？
3.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由什么确定？
当y=0时，ax2+bx+c=0.
y=ax2+bx+c（a≠0）
x
y
x
b2-4ac＞0 方程有两个不等的实数根；
b2-4ac＝0 方程有两个相等的实数根；
b2-4ac＜0 方程无实数根.
复习引入
互动新授
问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，
考虑以下问题：
(1)小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
(2)小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
(3)小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
(4)小球从飞出到落地要用多少时间？
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h=20t-5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程. 如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值.
互动新授
问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，
（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
解：当h=15时，15=20t-5t2,
整理得，t2-4t+3=0,
解得，t1=1,t2=3.
∴当球飞行1s或3s时，它的飞行高度为15m.
互动新授
互动新授
解：当h=20时，20=20t-5t2,
整理得，t2-4t+4=0,
解得，t1=t2=2.
∴当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.
（2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
互动新授
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？
解：当h=20.5时，20t-5t2=20.5
整理得，t2-4t+4.1=0
因为(-4)2-4×4.1=-0.4＜0，所以方程无实数根.
这就是说，小球的飞行高度达不到20.5m.
互动新授
解：小球飞出时和落地时的高度h都为0m，因此有20t-5t2=0
整理得，t2-4t=0
解得，t1=0，t2=4
∴当小球飞行0s和4s时，它的高度为0m.这表明小球从飞出到落地要用4s.
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
由函数到方程
互动新授
h=20t-5t2
20t-5t2=15
20t-5t2=20
20t-5t2=20.5
20t-5t2=0.
从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切．
例如，已知二次函数y=－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
已知二次函数的值，求自变量x的值.
解一元二次方程
思考 下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
(1)y=x2+x-2；(2)y=x2-6x+9；(3)y=x2-x+1.
可以看出：
(1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1.当x取公共点的横坐标时，函数值是0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2，1.
互动新授
互动新授
(2)抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x=3时，函数值是0.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3.
互动新授
(3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点.由此可知，方程x2-x+1=0没有实数根.
反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数图象与x轴的位置关系.
总结归纳
一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得如下结论.
(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根.
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.
典例精析
例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位).
解：画出函数y=x2-2x-2的图象，
它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.
所以方程x2-2x-2=0的实数根为
x1≈-0.7，x2≈2.7
我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.
1.不与x轴相交的抛物线是( )
A.y =2x2-3 B.y=-2x2+3 C.y=-x2-3x D.y=-2(x+1)2-3
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当a＞0,c＜0时,与x轴交点情况是( )
A.无交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.不能确定
3.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根的情况是( 　)
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.无法确定
D
C
A
小试牛刀
4.在图中画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象回答:
(1)方程x2-2x-3=0的解是多少；
(2)x取什么值时，函数值大于0；
(3)x取什么值时，函数值小于0.
解：图象如图所示.
(1) 方程x2-2x-3=0的解为x1=-1，x2=3.
(2) x>3或x<-1时，函数值大于0.
(3) -13
y
O
-3
3
x
小试牛刀
1.抛物线与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2.已知二次函数y=x2﹣5x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（　　）
A．（﹣1，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（﹣6，0）
3.已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是( )
A.x1=1,x2=-1 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=3
4.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),则这条抛物线的对称轴是( )
A.直线x=-1 B.直线x=0 C.直线x=1 D.直线x=3
C
B
B
C
课堂检测
5.如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx－3的图象上．
(1)求m的值和二次函数的解析式；
(2)设二次函数的图象交y轴于点C，求△ABC的面积．
解：(1)将点A(－1，0)的坐标代入y+1＝－x＋m，得m＝－1；
将点A(－1，0)，B(2，－3)的坐标分别代入y2＝ax2＋bx－3，
得 解得
∴y2＝x2－2x－3.
课堂检测
解：(2)易知C点的坐标为(0，－3)，
∵B点的坐标为(2，－3)，
∴BC∥x轴．
∴S△ABC＝ ×(2－0)×[0－(－3)]
＝ ×2×3＝3.
课堂检测
1.已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，且过A(x1，m)，B(x1＋n，m)两点，则m，n的关系为(　　)
A．m＝0.5n B．m＝0.25n
C．m＝0.5n2 D．m＝0.25n2
2.下列抛物线中，与x轴有两个交点的是(　　)
A．y＝3x2－5x＋3 B．y＝4x2－12x＋9
C．y＝x2－2x＋3 D．y＝2x2＋3x－4
D
D
拓展训练
3.已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m＝0.
(1)试判断该方程根的情况．
(2)若抛物线y＝x2－(m－3)x－m与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由(友情提示：AB＝|x2－x1|)．
拓展训练
解：(1)Δ＝[－(m－3)]2－4(－m)
＝m2－2m＋9＝(m－1)2＋8，
∵(m－1)2≥0，∴Δ＝(m－1)2＋8＞0.
∴原方程有两个不相等的实数根．
(2)存在最小值．
由题意知x1，x2是方程x2－(m－3)x－m＝0的两根，
∴x1＋x2＝m－3，x1 x2＝－m.
∵AB＝|x2－x1|，
∴AB2＝|x2－x1|2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝(m－3)2－4(－m)＝(m－1)2＋8.
当m＝1时，AB2有最小值8.
∴AB有最小值，此值为8＝22.
拓展训练
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴的公共点的个数 一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0 有两个 有两个不相等的实数根
b2-4ac=0 有一个 有两个相等的实数根
b2-4ac<0 没有公共点 没有实数根
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的位置关系与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系:
课堂小结
1.小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(　　)
A．无解 B．x＝1
C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
D
课后作业
2.已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.
(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，
∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，
∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，
∴a＝1.
课后作业
谢谢聆听