28.3实际问题与二次函数（第1课时几何面积问题）（同步课件）-九年级数学上册同步精品课堂（人教版五四制）

(共18张PPT)
数学九年级上册
第28.3 实际问题与二次函数
(第1课时几何面积问题)
学习目标
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.
1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条______，它的对称轴是_______，顶点坐标是_______.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条_______，它的对称轴是___________，顶点坐标是___________.当a＞0时，抛物线开口向___，有最___点，即当x=____时，y最小值=______；当a＜0时，抛物线开口向___，有最___点，即当x=____时，y最大值=_______.
抛物线
直线x=h
(h,k)
抛物线
直线
上
低
下
高
复习引入
问题 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是 h=30t-5t2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
可以看出，这个函数图象是一条抛物线的一部分. 这条抛物线的顶点是这个函数的图像的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.
可以借助函数图象解决这个问题，画出函数 h=30t-5t2(0≤t≤6).
互动新授
互动新授
因此，当t＝ 时，h有最大值 也就是说，小球运动的时间是3 s时，小球最高．小球运动中的最大高度是45 m.
总结归纳
一般地，当a>0(a<0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低(高)点，也就是说，当x= 时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值 .
合作探究
探究1 用总长为60m的篱笆墙围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少米时，场地的面积S最大？
解：矩形场地的周长是60m，一边长为lm，
所以另一边长为(-l)m.
场地的面积 S=l(30-l) (0＜l＜30)
即 S=-l2+30l (0＜l＜30)
∵a=-1＜0，所以，当 l=-=15时，S有最大值 =225.
也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
解：设平行于墙的一边为x m,矩形的面积为S m2.
S=x(60/2-x)=-(x-15)2+225
当x≤12时,S随x的增大而增大.
当x=12时,S最大=-(12-15)2+225=216.
1.如图,用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长12m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少？
S
x
30-x
12m
典例精析
1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图所示，当－5≤x≤0时，下列说法正确的是(　　)
A．有最小值－5，最大值0
B．有最小值－3，最大值6
C．有最小值0，最大值6
D．有最小值2，最大值6
B
小试牛刀
1.二次函数y=-(x+1)2+2的最大值是( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
2.已知0≤x≤，那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是( )
A.-6 B.2 C.- D.不能确定
3.把一段长1.6米的铁丝围成长方形ABCD， 设宽为x,面积为y.则当y最大时，x所取的值是( )
A.0.5 B.0.4 C.0.3 D.0.6
A
C
B
课堂检测
4.工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．(厚度不计)
(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？
解:如图，设裁掉的正方形的边长为x dm，
由题意可得(10－2x)(6－2x)＝12，
即x2－8x＋12＝0，
解得x＝2或x＝6(不合题意，舍去)．
答：裁掉的正方形的边长为2 dm.
课堂检测
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？
解:根据题意，得10－2x≤5(6－2x)，解得x≤2.5，∵x＞0，∴0＜x≤2.5.
设总费用为w元，由题意可知
w＝0.5×2x(16－4x)＋2(10－2x)(6－2x)＝4x2－48x＋120＝4(x－6)2－24，
∴当0＜x≤2.5时，w随x的增大而减小，
∴当x＝2.5时，w有最小值，最小值为25.
答：当裁掉边长为2.5 dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元．
课堂检测
1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，点P移动到B点后停止，点Q也随之停止运动，设P、Q从点A、B同时出发，运动时间为ts，四边形APQC的面积是S
(1)试写出S与t之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围；
(2)若S是21cm2时，确定t值；
(3)t为何值时，S有最大（或最小）值，求出这个最值．
解:(1)∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，
∴运动ts时，AP=2t，BP=8－2t，BQ=t
∴S=S△ABC－S△PBQ
=0.5×AB×CB－0.5×PB×QB
=0.5×8×6－0.5×（8－2t）×t
=t2－4t+24（0≤t≤4）
拓展训练
解:(2)当S=21时，则t2－4t+24=21，
解得t=1或t=3
(3)∵S=t2－4t+24=(t-2)2+20，
∴当t=2时，S有最小值20
1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，点P移动到B点后停止，点Q也随之停止运动，设P、Q从点A、B同时出发，运动时间为ts，四边形APQC的面积是S
(1)试写出S与t之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围；
(2)若S是21cm2时，确定t值；
(3)t为何值时，S有最大（或最小）值，求出这个最值．
拓展训练
1.怎样求二次函数的最大（小）值？
2.求几何图形面积的最值时都有哪些步骤？
（1）引入自变量，用含自变量的代数式分别表示与所求题相关的量.
（2）分析题目中的数量关系，根据题意列出函数解析式.
（3）根据函数解析式求出最值及取得最值时自变量的值，注意自变量的取值范围.
当a>0(a<0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低(高)点，也就是说，当x＝ 时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值
课堂小结
1.二次函数y＝－(x－1)2＋5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m＋n的值为(　　)
A. B．2
C. D.
D
课后作业
2.把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h＝20t-5t2．（1）经多少秒后足球回到地面？
（2）圆圆说足球的高度能达到21米，方方说足球的高度能达到20米．你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？
解:(1)当h＝0时，20t 5t2＝0，解得：t＝0或t＝4，
答：经4秒后足球回到地面.
(2)方方的说法对，
理由：将h＝21代入公式得：21＝20t 5t2，移项得5t2 20t＋21＝0，
△＝（ 20）2 4×5×21＝ 20＜0，此方程无解；
将h＝20代入公式得：20＝20t 5t2，解得：t＝2，
∴足球确实无法到达21米的高度，能达到20米，故方方的说法对．
课后作业
谢谢聆听