人教版八年级上册数学第十二章全等三角形单元试题（含解析）

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人教版八年级上册数学第十二章全等三角形单元试题
一、单选题(每题3分，共30分)
1．如图，已知，下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，图中全等三角形共有（　　）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
3．如图，已知，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于D，P；作一条射线，以点F圆心，长为半径作弧l，交于点H；以H为圆心，长为半径作弧，交弧于点Q；作射线．这样可得，其依据是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知，添加下列条件后仍不能判定的是（ ）

A． B．
C． D．
5．如图,在△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC,交AC边于点E,ED⊥AB,垂足为D．若△ABC的周长为12,△ADE的周长为6,则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．在△ABC中，∠C＝90°，角平分线AD交BC于点D，BC=32，BD：CD＝9：7，则D点到AB边的距离为（　　）
A．18 B．16 C．14 D．12
7．如图，在的方格图中，每个小方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，，，则的面积为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，为的外角平分线上一点并且满足，．过作于，交的延长线于，则下列结论：；②；；．其中正确的结论有（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题(每题3分，共30分)
11．如图，中，于D，要使，还需加条件 或 ．
12．如图，在中，平分，于点E，且，，，则的面积是 ．
13．在中，和的平分线交于点D，于点E，如果，的面积是6，则周长是 ．
14．已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，则 ．
15．如图，E、B、F、C在同一条直线上，若，，．则全等的根据是 ．

16．如图，，平分，于点D，若，则 ．
17．如图，已知，的延长线交于点F，，，则 ．

18．如图，△ABD≌△EBC，AB＝12，BC＝5，A，B，C三点共线，则下列结论中：①CD⊥AE；②AD⊥CE；③∠EAD＝∠ECD；正确的是 .
19．如图所示，点在一块直角三角板上（其中，于点，于点，若，则 度．
20．如图，，，，，点和点同时从点出发，分别在线段和射线上运动，且，当 时，以点，，为顶点的三角形与全等．
三、解答题(共60分)
21．如图，于点，于点，．求证：．
22．如图，在与中，点、在线段上，，，，．求证：．
23．如图，在四边形中，与相交于点O，．求证：
(1) ；
(2)．
24．如图，在中，，，平分交AD于点D．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
25．如图，AE与BC交于点D，AD是△ABC的中线，且．
(1)求证：
(2)若△ABD的面积为5，求△ACE的面积．
26．如图，在中，D是的中点，，垂足分别是．
求证：
(1)；
(2)是的角平分线．
27．如图，是四边形的对角线，，点、分别在、上，，，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
28．如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图①，当 时，的面积等于面积的一半；
(2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度．
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参考答案：
1．C
【分析】根据全等三角形的性质即可判断A，根据等量减等量还是等量即可判断B，没有判断AD=DC的条件可判断C，根据全等三角形判定方法即可判断D．
【详解】∵△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠C，AB=AC，AE=AD，
∴AB-AE=AC-AD，
∴BE=CD，
在△EFB和△DFC中
，
∴△EFB≌△DFC（AAS），
无法证得AD=DC，
∴正确的说法是A、B、D，错误的说法是C．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，是基础题，熟知全等三角形的性质和判定是解题的关键.
2．D
【分析】根据，可得，可证得，同理可证，从而得到，可得到，根据可得，可证得，同理可证，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
同理可证，
∴共有7组全等三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
3．A
【分析】根据题意得出，，利用证明，根据全等三角形的性质即可得出．
【详解】解：如图，连接，，
根据题意得，，，
在和中，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
4．A
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】由题可知，，
A．，属于边边角，不能证明，故本选项符合题意；
B．，利用证明，故本选项不符合题意；
C．∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，故本选项不符合题意；
D．，利用证明，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
5．A
【分析】根据角平分线的定义可知，DE=EC,易证，可知BD=BC，再比较△ABC与△ADE的周长之差，即2倍BC的长为6，从而计算BC的长.
【详解】解：
∠C=90°,BE平分∠ABC,交AC边于点E,ED⊥AB，
DE=CE,
在与中，
BD=BC,
△ABC的周长=AB+AC+BC=AD+BD+AE+CE+BC,
△ADE=AD+AE+DE,
且DE=CE, △ABC的周长为12,△ADE的周长为6,
BD=BC,
故选A.
【点睛】本题考查了角平分线的性质和证明三角形全等，能够根据已知条件选择的方法证明三角形全等.
6．C
【分析】首先由线段的比求得CD＝14，然后利用角平分线的性质可得D到边AB的距离等于CD的长．
【详解】解：如图，∵BD＋CD＝BC＝32，BD：DC＝9：7，
∴CD＝14，
作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝14，（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
即点D到AB的距离为14，
故选：C．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．做题时要由已知中线段的比求得线段的长，这是解答本题的关键．
7．B
【分析】通过证明即可得出结论．
【详解】解：如图：
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键在掌握全等三角形对应角相等．
8．B
【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，熟知全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质可得，，进而可得，然后根据平行线的性质求出，即可求解．
【详解】解：，，
，，
，
，
，
；
故选：B．
9．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积计算，作，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的面积公式计算，即可得到答案，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【详解】解：过点作，交的延长线于点，则，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
的面积，
故选：．
10．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，准确计算是解题的关键．
根据角平分线的性质和定理判断全等即可；
【详解】解：∵平分，，
∴，
在和中，
，
∴，故①正确；
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，

又∵，
∴，故③正确；
∵平分，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④；
故选D．
11．
【分析】当时，利用SAS即可证明；当时，利用HL即可证明，即可得．
【详解】解：已知：，
∵，
∴，
∴在和中，
∴（SAS）；
②已知：，
∵，
∴，
在和中，
∴（HL），
故答案为：BD=DC，AB=AC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定的方法．
12．18
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式；过点作于，根据角平分线的性质得，然后根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：过点作于，如图，
∵平分, ，
故答案为：18．
13．
【分析】根据角平分线的性质得到，．根据的面积，利用即可解答．
【详解】解：如图，过点作于点，于点，连接．
平分，，，
．
平分，，，
．
，
，
即，
∴
，
即的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边的距离相等以及面积的计算方法是解题的关键．
14．/80度
【分析】由可得，即可判定，再利用全等三角形的性质得出，再由三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理及性质定理是解题的关键．
15．
【分析】证出，由可证明．
【详解】解：，
，即，
，
在和中，
，
，
故答案为∶．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
16．3
【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可直接得出答案．
【详解】解：，
，
又平分，，
，
故答案为：3．
17．/35度
【分析】由的内角和定理求得；然后由全等三角形的对应角相等得到，则结合已知条件易求的度数；最后利用的内角和是度和图形来求的度数．
【详解】解：，
，
又，
，
又，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的性质．全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
18．①②③
【分析】首先延长AD交EC于点N，延长CD交AE于点M，根据全等三角形的性质，得出∠ABD＝∠EBC，AB＝EB，BD＝BC，∠DAB＝∠CEB，再根据等边对等角，得出∠BAE＝∠BEA，∠BDC＝∠BCD， 又因为∠ABD+∠EBC＝180°，进而得出∠ABD＝∠EBC＝90°，再利用三角形的内角和等于，得出∠BAE＝∠BEA＝45°，∠BDC＝∠BCD＝45°，即可证明①正确；再根据直角三角形两锐角互余，得出∠CEB+∠ECB＝90°，再根据全等三角形的性质，得出∠BAD＝∠BEC，进而得出∠BAD+∠ECB＝90°，即可证明②正确；再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得出∠ADB＝∠EAD+∠AED＝∠EAD+45°，再根据∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝∠ECD+45°，又因为∠ADB＝∠ECB，得出∠EAD＝∠ECD，即可证明③正确．
【详解】解：延长AD交EC于点N，延长CD交AE于点M，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠ABD＝∠EBC，AB＝EB，BD＝BC，∠DAB＝∠CEB，
∵∠ABD+∠EBC＝180°，∠BAE＝∠BEA，∠BDC＝∠BCD，
∴∠ABD＝∠EBC＝90°，
∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∠BDC＝∠BCD＝45°，
∴∠BAE+∠BCD＝90°，
∴∠AMC＝90°，
∴CD⊥AE，故①正确；
∵∠CEB+∠ECB＝90°，∠BAD＝∠BEC，
∴∠BAD+∠ECB＝90°，
∴∠ANC＝90°，
∴AD⊥CE，故②正确；
∵∠ADB＝∠EAD+∠AED＝∠EAD+45°，
∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝∠ECD+45°，
∠ADB＝∠ECB，
∴∠EAD＝∠ECD，故③正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、等边对等角、三角形的内角和定理、直角三角形两锐角互余、三角形的外角定理等知识点，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．
19．15
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定直角三角形全等特有的方法是解题的关键．根据，，可知，从而可证，根据全等三角形的性质可得，即可求出的度数．
【详解】解： ，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故答案为：15．
20．或
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法，分两种情况：①当时；②当时；由证明即可得出结果，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
分两种情况：①当时，
在和中，
，
∴；
②当时，
在和中，
，
∴；
综上，当点运动到或时，与全等，
故答案为：或．
21．见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，用证明即可得到．
【详解】证明：，
，
在和中
，
．
．
22．证明见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质，平行线的性质是解题的关键．根据，得到，由 ，推出，结合，，可证明，最后根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】证明：，，
，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
．
23．(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义：
（1）根据，，通过证明，即可作答．
（2）根据得，通过证明，即可作答．
【详解】（1）解：∵，，
∴
∴
（2）解：∵
∴
∵，
∴
∴
故
24．(1)见解析
(2)的面积为6
【分析】（1）根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，，再利用角平分线的定义可得，从而可得，最后利用对顶角相等可得，从而利用等量代换即可解答；
（2）过点作，垂足为，利用角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
；
（2）解∶ 过点作，垂足为，
平分，，，
，
，
的面积，
的面积为6．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)三角形ACE的面积为10
【分析】（1）根据定理SAS证即可；
（2）因为AD是△ABC的中线得，由得即可求解；
【详解】（1）证明：∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD
又∵DE=AD，
∴
（2）∵AD是△ABC的中线
∴
∵
∴
∵
∴
答：三角形ACE的面积为10．
【点睛】本题主要考查三角形的全等证明、中线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先说明，再根据可证，最后根据全等三角形的性质即可证明结论；
（2）由再结合角平分线的判定即可得是的角平分线．
【详解】（1）证明：∵点D是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴
∴．
（2）证明：∵，，
∴平分，
∴是的角平分线．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、角平分线的判定等知识点，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解答本题的关键．
27．(1)见解析
(2)74°
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理及性质定理是解题的关键．
（1）利用证明，即可得结论；
（2）根据全等得到，根据得到，即可得结果．
【详解】（1）证明：在和中
∴
∴；
（2）解：∵，
∴
∵
∴；
28．(1)秒或秒
(2)cm/s或cm/s
【分析】本题主要考查了直角三角形综合，画出相应图形，熟练掌握直角三角形性质，三角形中位线性质，全等三角形的的性质，分类讨论，是正确解答的关键．
（1）分两种情况，当点P在上时，， 得到点P移动路程为，移动时间为秒；当点P在上时，， 得到得到点P移动路程为，移动时间为秒；
（2）分两种情况，当点P在上， ，Q的移动速度；②当点P在上， ，，点P移动的距离为32cm，点Q移动的距离为31cm，∴点Q移动的速度为 ．
【详解】（1）当点P在上时，如图①﹣1，
∵的面积等于面积的一半，
∴，
∴点P移动的距离为，
∴移动的时间为：秒；
当点P在上时，如图①﹣2
∵的面积等于面积的一半；
∴，
∴点P移动的距离为，
∴移动的时间为：秒；
故答案为：秒或秒；
（2）∵，
∴对应顶点为A与D，P与E，Q与F；
当点P在上，如图②﹣1所示，
∵，
∴点Q移动的速度为；
当点P在上，如图②﹣2所示：
∵，，
∴点P移动的距离为，点Q移动的距离为，
∴点Q移动的速度为；
故P、Q两点运动过程中的某一时刻，恰好时，点Q的运动速度为或．
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