人教版八年级上册数学第十二章全等三角形证明题训练（含解析）

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人教版八年级上册数学第十二章全等三角形证明题训练
1．如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，E，F为垂足，且；
求证：
(1)
(2)．
2．如图，于点，是上一点，交于点，与互余．
(1)试说明：；
(2)若，求的长．
3．如图，点C、E、B、F在一条直线上，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
4．如图，已知，点E在上，与相交于点F．
(1)若，则_______；
(2)若，求的度数．
5．如图1，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，．
(1)求证：平分
(2)如图2，连接交于点，若与的面积相等，求证：
6．已知：如图，点D为线段上一点，．
(1)求证：；
(2)若，点D为线段的中点，求的长．
7．如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连．
(1)求证：
(2)若，，，求的度数．
8．如图，在中，O为中点，，直线交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
9．如图，已知点、、、在直线上，点、在直线的异侧，连接、、、、、，且，，．
(1)试说明：；
(2)试说明：．
10．如图，已知、相交于点，，于点，于点，．
(1)试说明；
(2)判断与的关系，并加以说明．
11．如图，点A，F，C，D在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
12．如图，在中，，于点D，，且，过C作．
(1)求证：；
(2)求证：．
13．如图，中，，D是延长线上一点，点E是的平分线上一点，过点E作于F，于G．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
14．如图，在中，，，是角平分线，与相交于点，，，垂足分别为M，N．
(1)求的度数；
(2)求证：．
15．如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，垂足为，求证：．
16．如图，点C在线段上，，，，．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
17．如图，点，，，在同一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
18．如图所示，已知．
(1)求证：；
(2)若，请求出的长度．
19．如图，已知 连接．
(1)求证： ；
(2)若 求的度数．
20．如图，，，．

(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
21．如图，点D在边上，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
22．如图，四边形中，平分．
(1)求证：；
(2)求和的数量关系，并写出证明过程．
23．如图，在和中，点E在边上，，与交于点G．
(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
24．如图， 中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点H．
求证：
(1)；
(2)．
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参考答案：
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余，证明是解答的关键．
（1）证明，利用全等三角形的对应角相等可得结论；
（2）根据直角三角形的两个锐角互余证明即可得结论．
【详解】（1）证明：∵于E点，于F点
∴在与中
∴
∴；
（2）证明：在直角三角形中，
∴
∴
∵E、C，F三点共线
∴
∴．
2．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，
（1）根据同角的余角相等即可证明．
（2）由，推出，由，，推出，即可解决问题．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
．
（2），，，
，
，
，，
，
．
3．(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质．
（1）根据，得到，由，利用即可证明；
（2）由易得，根据即可得出结果．
【详解】（1）证明：，
，
在与中，，
；
（2）解：
，
，
；
，
．
4．(1)3
(2)
【分析】此题考查全等三角形的性质及三角形外角的性质，关键是根据全等三角形的对应角和对应边相等进行分析．
（1）根据全等三角形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质得，再利用三角形外角的性质解答即可．
【详解】（1）解：，
，，
，
故答案为：3；
（2），
，
，
．
5．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键．
（1）根据是的角平分线和，为边上的高，可得，由得，即可证明；
（2）过点E作于点M，于点N，由角平分线性质可以得，由与的面积相等可得，证明，得出，，
即可得出，再根据垂直模型证明，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵为边上的高，即，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：平分．
（2）过点E作于点M，于点N，
平分，且，，
．
，
，
平分，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
为边上的高，
，
，
．
在和中，
．
.
6．(1)见解析；
(2)6．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法和性质．
（1）通过证明得出，进而推出，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质得出，结合中点的定义和全等三角形的性质，即可解答．
【详解】（1）证明：，
∴，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：由（1）可知：，
，
，
为线段的中点，
由（1）可知：，
．
7．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
（1）利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出，根据，结合角的和差关系即可得答案．
【详解】（1）证明：∵为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
8．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据为中点，可得，再由平行线的性质可得，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得，即可．
【详解】（1）证明：∵为中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
9．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质与判定，熟练掌握知识点、推理证明是解题的关键．
（1） 根据“两直线平行，内错角相等”，得出，再结合，，利用证明即可；
（2）由，得，推出，根据“两直线平行，内错角相等”，得出，推出，利用证明，得出，根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴．
10．(1)见解析
(2)，，说明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、垂线的定义、垂直于同一条直线的两条直线平行，熟练运用全等三角形的判定与性质推理证明是解题的关键．
（1）根据，得，根据于点，于点，得出，根据，推出，利用“”证明即可；
（2）根据可得，根据“垂直于同一条直线的两条直线平行”，得出．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵于点，于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：，，说明如下，
∵由（1）得，
∴，
∵于点，于点，
∴．
11．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定，
（1）首先根据平行线的性质得到，，然后证明出，即可得到；
（2）根据全等三角形的性质得到，然后利用线段的和差求解即可．
【详解】（1）∵，，
∴，．
∵，
∴．
∴；
（2）∵，
∴．
∴．
即．
∵，，
∴．
∴．
∴．
12．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键；
（1）证明，即可得到结论；
（2）先证明，再证明即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
13．(1)见详解
(2)1
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由角平分线的定义以及垂直的定义，利用即可证明；
（2）先利用证明，得到，继而得到，而，则，即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴．
又∵，，
∴．
在和中：
，，，
∴．
（2）解：∵平分且，，
∴．
∵
∴，
∵
∴
∴
即
在和中
，，
∴．
∴．
又∵，，
即，
又∵，
∴．
∴．
∴．
14．(1)的度数为；
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义和三角形内角和定理．
（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可解决问题；
（2）连接，证明，即可解决问题．
【详解】（1）解：在中，，，
，
、分别是、的平分线，
，，
，
，
∴的度数为；
（2）证明：如图，连接，
是角平分线交点，
也是角平分线，
，，
在中，，，
，
，
，
，，
，
，
．
15．(1)；
(2)见解析
【分析】本题考查作图基本作图，全等三角形的判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用平行线的性质求出，再利用角平分线的定义求出；
（2）根据证明三角形全等即可．
【详解】（1）解：∵，
，
，
，
由题意平分，
；
（2）证明：平分，
，
∵，
，
，
，
，
在和中，
，
．
16．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质；
（1）由即可得证；
（2）由全等三角形的性质得，，即可求解；
掌握全等三角形的判定方法与性质，准确找出对应边、对应角是解题的关键．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
（）；
（2）解：，
，
，
．
17．(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，关键是全等三角形判定定理的应用．
（1）先由平行线的性质得到，再利用即可证明；
（2）由全等三角形的性质得到，则由同位角相等，两直线平行即可得到．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，
．
18．(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）先证明，然后根据即可证明；
（2）由全等三角形的性质得，然后根据等式的性质即可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）由（1）得，则．
由题有．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质；
（1）根据题意由，可得，即可求证；
（2）由，可得，再由内角和为即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键．
（1）由，得，而，，即可根据“”证明，则；
（2）由全等三角形的性质得，而，则．
【详解】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）得，
，
，
，
的度数是．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、外角的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型；
（1）根据推出即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得，，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
（2）解：，
，
，
22．(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、利用邻补角的定义求解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由角平分线的性质定理得出，利用“”证明即可；
（2）由全等三角形的性质得出，利用邻补角的定义得出，即可得解．
【详解】（1）证明：∵平分，，，
∴，，
又∵，
∴；
（2）解：，
证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）根据等式的性质得，再利用即可证明结论；
（2）由三角形内角和定理可得，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，最后三角形内角和以及角的和差即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是证明线段相等的重要手段．
①首先计算出，进而得到，然后再计算出，然后证明可得；
②首先证明，然后证明，进而得到，再利用等量代换可得结论．
【详解】（1）证明：，
，
又、分别平分、，
，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
．
（2）证明：，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
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