人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程综单元试题（含解析）

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人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程单元试题
一、单选题（每题3分，共30分）
1．用配方法解方程时，原方程应变形为（　　）
A． B． C． D．
2．关于的方程有一个根为零，它的另一个根是（ ）
A． B． C． D．
3．若关于x的方程是一元二次方程，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于x的一元二次方程，则该方程根的情况为（ ）
A．无实数根 B．两个相等的实数根
C．两个不相等的实数根 D．无法判断
5．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为20，则该菱形两对角线长分别为（ ）
A．3与11 B．4与10 C．2与10 D．5与8
6．在“双减”政策推动下，某校八年级学生每天书面作业时长明显减少，七年级下学期平均每天书面作业时长达150分钟，在八年级上学期和下学期两次调整后，平均每天书面作业时长为100分钟，设该校八年级两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．方程的两根为、，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若，且有，及，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（　　）
A． B．
C． D．
10．已知关于x的一元二次方程，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程不可能有两个异号的实数根；③当时，方程的两个实数根不可能都小于1．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（每题3分，共30分）
11．一元二次方程的二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 ．
12．关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 ．
13．已知关于x的方程 的一根是，则该方程的另一根为 .
14．若一元二次方程的两根也是方程的根，则的值为 ．
15．设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
16．若是方程的一个根，则的值为 ．
17．一元二次方程的两根分别为，，则 ．
18．某商品连续两次降价后的价格比降价之前减少了，则平均每次降价的百分率
19．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且a为小于2的整数，那么a的值是 ．
20．“六一”儿童节上，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为 ．
三、解答题（共60分）
21．解方程：
(1)； (2)．
22．已知关于的方程．
(1)当为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
23．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，求的值．
24．如图，一块长5米，宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．
(1)求配色条纹的宽度；
(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．
25．大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润=销售价-进货价）
类别价格 A款纪念币 B款纪念币
进货价（元/枚） 15 20
销售价（元/枚） 25 32
(1)网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数；
(2)第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
(3)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？
26．如图，在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时；两点停止运动，设运动时间为秒．
(1)当为何值时，点在的垂直平分线上？
(2)当为何值时，的长度等于？
(3)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
(4)是否存在的值，使得的面积与五边形的面积之比等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
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参考答案：
1．C
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式即可，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：
，
故选：．
2．C
【分析】本题考查了一元二次方程的根及解一元二次方程，把代入方程可得，再代入方程得，解方程即可求解，求出的值是解题的关键．
【详解】解：把代入方程得，，
∴，
∴方程为，
解得，，
∴方程的另一个根是，
故选：．
3．A
【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．理解一元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2；
结合一元二次方程的定义，可以得到关于的方程和不等式，求解即可得到的值．
【详解】解：关于的方程是一元二次方程，
，
解得．
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了根的判别式以及偶次方的非负性，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
先计算根的判别式，得到，由，得到，故，因此该方程有两个不相等的实数根．
【详解】解：，
∵，
∴，
即，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
5．B
【分析】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质．设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长．
【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为，即的两根为，
由题意得：，
∵菱形面积为20，
∴，解得：，
∴一元二次方程为，
整理得，
解得，
∴该菱形两对角线长分别为4与10，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
利用八年级上学期和下学期两次调整后平均每天书面作业时长七年级下学期每天书面作业平均时长该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设根据题意得：．
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．根据根与系数的关系直接求解即可．
【详解】解：∵方程的两根为、，
∴，，
故选：A．
8．A
【分析】本题考查了构造一元二次方程解题，正确构造方程，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键．根据，方程除以得，从而得到是方程的两个根，根据根与系数关系定理，得，故是．
【详解】解：根据，方程除以得，
故是方程的两个根，
根据根与系数关系定理，得，
故是．
故选：A．
9．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程与增长率问题，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．根据题意每月的增长率为，则二月份生产零件万个，三月份生产零件万个，由此可得出方程．
【详解】解：根据题意可知，二、三月份平均每月的增长率为，
则二月份生产零件个，三月份生产零件个，
又第一季度共生产零件182万个，
则得：．
故选：B．
10．C
【分析】本题主要考查了根的判别式，先根据方程，求出根的判别式，①根据a的范围，判断根的判别式的大小，从而进行解答；②先根据已知条件，判断方程根的情况，利用根与系数的关系，求出两根之积，进行判断；③利用一元二次方程的求根公式，求出两根，再根据a的范围进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴①当时，，方程有两个不相等的实根，故①正确，
②当时，两根之积，方程的两根异号，故②错误，
③∵，
∴方程的根为，
∴，，
∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确．
故选：C．
11． 1
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式：，首先把一元二次方程化为一般形式，然后进行解答即可．
【详解】解：∵
∴
∴二次项系数为，一次项系数为1，常数项为，
故答案为：；1；．
12．且
【分析】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出，求出的取值范围即可得出答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程，
∴，即，
∵方程有两个实数根，
∴，
解得：，
∴的取值范围是且，
故答案为：且．
13．1
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系的应用，解此题的关键是根据根与系数的关系得到，解题即可．
【详解】解：设另一根为a，
则，解得，
故答案为：1．
14．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．设是方程的一个根．根据方程解的意义知，既满足方程，也满足方程，将代入这两个方程，并整理，得．从而可知：方程的两根也是方程的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可．
【详解】解：设是方程的一个根，则，所以．
由题意，也是方程的根，所以，
把代入此式，得，整理得．
从而可知：方程的两根也是方程的根，
这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，
从而有（其中为常数），
所以，．
因此，，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，将代数式展开后，整体代入计算即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴
；
故答案为：．
16．2021
【分析】本题考查方程的解，以及整体代入法求代数式的值，先根据是方程的一个根得到，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴即，
∴，
故答案为：2021．
17．
【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系式：一元二次方程，两根的和等于，两根的积等于，熟记公式是解题的关键.根据一元二次方程根与系数的关系得到，再将代数式化简代入即可得到答案.
【详解】∵一元二次方程的两根分别为，，
∴，
∴，
故答案为：.
18．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为，利用原价平均每次降价的百分率）经过连续两次降价后的价格（原价当成，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
平均每次降价的百分率是．
故答案为：．
19．1
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，解两个不等式得到的范围为且，然后根据为小于2的整数确定的值．
【详解】解：根据题意得且，
解得且，
∵为小于2的整数，
∴的值为1．
故答案为：1．
20．
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，计算全班共送多少句，首先确定一个人送出多少句是解题关键．
如果全班有名同学，那么每名同学要送出句，共有名学生，那么总共送的名数应该是句，即可列出方程．
【详解】解：全班有名同学，依题意有：．
故答案为：．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查解一元二次方程：
（1）公式法解一元二次方程即可；
（2）直接开方法解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
∴，
∴；
（2）
∴．
22．(1)
(2),一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是
【分析】本题考查了一元二次方程，一元一次方程的定义；熟练掌握定义是解答本题的关键．
（1）根据二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案；
（2）根据二次项系数不等于零是一元二次方程，可得答案．
【详解】（1）解：由是一元一次方程，得
根据题意，得且．
解得．
所以当时，此方程是一元一次方程；
（2）根据题意，得．
解得．
此时一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是．
23．(1)见解析
(2)1
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系．
（1）用m表示出根的判别式即可解决问题．
（2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【详解】（1）证明：由题知，
∵，
∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：因为方程的两个实数根为a，b，
所以，，
所以
．
24．(1)配色条纹的宽度为 米
(2)元
【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系列方程是解题的关键．
（1）设条纹的宽度为米，根据图中所示可列出条纹面积的代数式为，又根据题意得出等量关系：配色条纹面积整个地毯面积，列出方程求解即可；
（2）根据： 总价单价数量，地毯总造价条纹面积造价其余面积造价，地毯总面积中，条纹面积占则其余面积占代入数据计算即可．
【详解】（1）设配色条纹的宽度为米，根据题意，可列方程为：
整理得， ，
解得 (不符合题意，舍去)，，
答：配色条纹的宽度为 米；
（2）条纹造价： (元) ，
其余部分造价： (元) ，
总造价为： (元) ，
所以地毯的总造价是元．
25．(1)购进款纪念币12个，款纪念币20个；
(2)购买50个款，30个款，网店可获得的最大利润是860元；
(3)将销售价定为每件21元或22元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为84元．
【分析】（1）设购进款纪念币个，款纪念币个，由题意：网店第一次用580元购进、两款纪念币共32枚，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进个款纪念币，则购进个款纪念币，由题意：进货总价不高于1350元，列出一元一次不等式，解答即可．设再次购进的、款纪念币全部售出后获得的总利润为元，则，然后由一次函数的性质即可求解；
（3）设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，使款纪念币平均每天销售利润为84元，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设购进款纪念币个，款纪念币个，
，
解得，
答：购进款纪念币12个，款纪念币20个；
（2）解：设购进个款纪念币，则购进个款纪念币，
依题意得：，
解得：．
设再次购进的、两款保温杯全部售出后获得的总利润为元，
则．
，
随的增大而增小，
当时，取得最大值，最大值（元，
此时（个．
即购买50个款，30个款，网店可获得的最大利润是860元；
（3）解：设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，
依题意得：，
解得：，．
答：将销售价定为每件21元或22元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为84元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
26．(1)
(2)2
(3)1
(4)1
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，矩形的性质等知识，解题的关键是：
（1）根据线段垂直平分线的性质得出，可列出关于t的方程，然后求解即可；
（2）根据勾股定理列方程求解即可；
（3）根据三角形面积公式列方程求解即可；
（4）根据的面积与五边形的面积之比等于，得出的面积与矩形的面积之比等于，然后根据三角形面积公式列方程求解即可．
【详解】（1）解∶∵点在的垂直平分线上，
∴，
∴，
解得，
∴当时，点在的垂直平分线上；
（2）解：∵的长度等于，，
∴，
∴，
解得，（舍去）
∴当时，的长度等于；
（3）解：∵的面积等于，
∴，
解得，（舍去）
∴当时，的面积等于，
（4）解：∵的面积与五边形的面积之比等于，
∴的面积与矩形的面积之比等于，
∴，
解得，（舍去）
∴当时，的面积与五边形的面积之比等于．
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