2024年九年级开学摸底考试卷（人教版）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：人教版八年级下册全部+九年级上册第 1章
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．（23-24八年级下·福建厦门·期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． 2 3 5 B． 2 2 2 3 C． 3 6 3 2 D． 32 8 4
2．（23-24八年级下·湖北鄂州·期末）在 ABC中， A， B， C的对边分别为 a，b，c，在下面结
1 1 1
论中：① B C 90 ；② B C A；③ a2 c2 b2；④ ．
a b c
能判定 ABC是直角三角形的是（ ）
A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
3．（23-24八年级下·北京海淀·期末）下表是魔方比赛中甲、乙、丙、丁四位选手的复原时间统计表，同
一行表示同一位选手四次复原的时间（单位：秒），则下列说法正确的是（ ）
A．乙选手的最短复原时间小于甲选手的最短复原时间
B．丙选手复原时间的平均数大于丁选手复原时间的平均数
C．甲选手复原时间的中位数小于丁选手复原时间的中位数
D．乙选手复原时间的方差大于丁选手复原时间的方差
4．（2024·河北邯郸·模拟预测）问题“解方程 x2 3x 3 0”，嘉嘉说“其中一个解是 x 1”，琪琪说“方程
有两个实数根，这两个实数根的和为3 ”，珍珍说“b2 4ac 0，此方程无实数根”，判断下列结论正确的
是（ ）
A．嘉嘉说得对 B．琪琪说得对 C．珍珍说得对 D．三名同学说法都不对
5．（2024·安徽·三模）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼
看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”
的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据： 2 1 .414）（ ）
A．20.3% B． 25.2 C． 29.3% D．50%
3
6．（23-24八年级下·广东广州·阶段练习）如图，直线 y x 8与 x轴、y轴分别交于点 A，B，点 C
4
是直线 AB上一点，四边形OADC是菱形，则OD的长为（ ）
64 24 12 6
A． B． C． D．
5 5 5 5
7．（23-24八年级下·山西太原·期末）如图，在Rt△ABC中， BAC 90 ，点D，E分别是 AB，AC的
中点， ABC的平分线交DE于点 F， ACB的平分线交DE于点G．若 AB 8，AC 6，则线段GF
的长度为（ ）
3 5
A．1 B． C． 2 D．
2 2
8．（23-24八年级下·北京房山·期末）关于函数 y1 2x 1和函数 y2 x m m 0 ，有以下结论：
①当 0 x 1时， y1的取值范围是 1 y1 1；② y2随 x的增大而增大；
③函数 y1的图象与函数 y2的图象的交点一定在第一象限；
④若点 a, 1 2 在函数 y1的图象上，点 b, 在函数 y2的图象上，则 a b。上述结论正确的是（ ）
2
A．①④ B．②③ C．③④ D．①②
9．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为 6的正方形 ABCD中，点 E，F分别是边 AB，BC上的动
点，且满足 AE BF， AF与DE交于点 O，点 M是DF的中点，G是边 AB上的点， AG 2GB，则
OM 1 FG的最小值是（ ）
2
A．4 B．5 C．8 D．10
10．（23-24八年级下·广西玉林·期中）如图，在矩形 ABCD中， AD 2AB， BAD的平分线交 BC于
点 E，DH AE于点H，连接 BH 并延长交CD于点 F，连接DE交 BF 于点O，有下列结论：① ED平
分 AEC；②OE
1
DE；③ HE DF ；④ AB FH ．其中正确的结论有（ ）
2
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4分，共 32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线
上）
11．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）小北对数据 36，26，36，46，5■，66进行统计分析，发现其
中一个两位数的个位被墨水涂污看不到了，有如下统计量：平均数，中位数，众数，方差．其中计算结
果与被涂污数字无关的统计量是
12．（23-24八年级下·山东·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD的边 AB在 x轴上，若点 A 8,0 ，
点C 0,12 ，则点D的坐标为 ．
13．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图、在Rt ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作
正方形、面积分别记为 S1， S2 ， S3 ．若 S3 S2 S1 18．则图中阴影部分的面积为
14．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，函数 y kx b k 0 的图像与 x、y轴分别交于点 B和 A(0,3)
y 1 1两点，与函数 x交于点 C、D，若 D点纵坐标为 1，则 kx b x的解集为
2 2
15．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，边长为 4的正方形 ABCD中，点 E，F分别是对角线 AC，
边CD上一动点，连结 BE ，BF，EF．取 BF ，EF 的中点分别记为 H，G，连结 HG ，则 HG 长度的最小
值是 ．
16．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式：
5 2 6 (2 3) 2 2 3 ( 2)2 ( 3)2 2 2 3 ( 2 3)2，
8 2 7 (1 7) 2 1 7 12 ( 7)2 2 1 7 (1 7)2，……．请运用以上的方法化简
7 2 10 ．
17．（23-24 八年级下·浙江温州·期末）如图，在矩形 ABCD中，E，F分别是边 AD，CD上的点，且 AE ED，
将矩形沿 EF折叠，点D恰好落在 BC边上点G处，再将 ABE沿 BE折叠，点A恰好落在 EG上的点H
处．若 AB 1， AD 2，则 ED的长为
18．（2024· 2四川成都·二模）在实数范围内，关于 x的一元二次方程ax bx c 0 a 0 的两个根分别为
x1, x2 ，则方程可写成 a x x x x 0 ax21 2 ，即 a x1 x2 x ax1x2 0，容易发现根与系数的关系：
x x b x x c 31 2 ， 1 2 ；设关于 x的一元三次方程ax bx
2 cx d 0 a 0 的三个非零实数根分别为
a a
x1, x2 ， x3，则 x1x x ；若 x3 22 3 6x 11x 6 0 2 2 2，则 x1 x2 x3 ．
三、解答题（本大题共 8 小题，共 78分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明
过程或演算步骤） 其中：19-21 每题 8分 22-24 每题 10分 25-26 每题 12分
19．（23-24八年级下·绵阳市·校考期末）（8分）计算和用适当的方法解下列方程：
(1)3 3 8 ( 27 2)；(2) 2已知 x 5 7， y 7 5，求代数式 x y2的值；
(3) x2 2x 1=0； (4) (2x 1)(x 3) 6
20．（8分）（23-24八年级下·福建厦门·期末）九年级一班邀请 A、B、C、D、E五位评委对甲、乙两位
同学的才艺表演打分，并组织全班 50名同学对两人民意测评投票，绘制了如下的统计表和不完整的条
形统计图：
五位评委的打分表
A B C D E
甲 89 91 93 94 86
乙 88 89 90 98 92
并求得了五位评委对甲同学才艺表演所打分数的平均分和中位数：
x 89 91 93 94 86甲 90.6（分）；中位数是 91分．5
(1)五位评委对乙同学才艺表演所打分数的平均分为 ，中位数为 ；
(2) a = ，并补全条形统计图；
(3)为了从甲、乙二人中只选拔出一人去参加艺术节演出，班级制定了如下的选拔规则：
选拔规则：选拔综合分最高的同学参加艺术节演出，其中，
综合分 才艺分 k 测评分 1 k 0.4 k 0.8
才艺分 五位评委所打分数中去掉一个最高分和去掉一个最低分，再算平均分；
测评分 “好”票数 2分 “较好”票数 1分 “一般”票数 0分；
①当 k 0.6时，通过计算说明应选拔哪位同学去参加艺术节演出？②通过计算说明 k的值不能是多少？
21．（8分）（23-24重庆市八年级期末）新高考采用“ 3 1 2 ”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某
学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发
现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支
的总数是 21．(1)这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？(2)学校打算建立一块矩形的生物种植田来种
植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为 10米），其余部分需要用总长为 22米的栅
栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为 1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设
种植田的宽 AB为m米．若该种植田的面积为 36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m．
22．（10分）（23-24八年级下·江苏盐城·期末）四边形 ABCD是平行四边形，E、F分别是 AD、BC上的
点，连接 EF．(1)如图 1，对角线 AC、 BD相交于点 O，若 EF经过点 O，求证：OE OF．
(2)在如图 2中，仅用无刻度的直尺作线段MN，使它满足：
①点 M、N分别在 AD、 BC上；②MN EF ．（不写画法，保留画图痕迹）
23．（10分）（23-24八年级下·山东·专题练习）问题背景：在 ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 5，
10 ， 13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形
的边长为 1），再在网格中画出格点 ABC（即 ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这
样不需求 ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将 ABC的面积直接填写在横线
上： ；
思维拓展：（2）我们把上述求 ABC面积的方法叫做构图法．若 ABC三边的长分别为 5a， 2 2a，
17a a 0 ，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为 a）画出相应的 ABC，求出它的面积．
探索创新：（3）若 ABC三边的长分别为 m2 16n2 , 9m2 4n2 , 2 4m2 n2（m 0，n 0，且m n），
试运用构图法求出这三角形的面积．
24．（10分）（2024·黑龙江·二模）某生产车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，
然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也共同加工零件.设甲组加工时间为 （t 单
位：小时），甲组加工零件的数量为 yw（单位：个），乙组加工零件的数量为 yz （单位：个），其函数图
象 y如图所示.(1)a的值为 ；(2)求 yz 与 t之间的函数关系式，并写出自变量 t的取值范围；
(3)直接写出甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件数相差 80个.
25．（12分）（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）【问题探究】
（1）如图 1，在正方形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点O．在线段 AO上任取一点 E (端点除外)，
连接DE．①点 F在线段BA的延长线上，连接 EF，且 EF DE．当点 E在线段 AO上的位置发生变化
时， DEF的大小是否发生变化？请说明理由；②探究 AF与OE的数量关系，并说明理由．
【迁移探究】（2）如图 2，将正方形 ABCD换成菱形 ABCD，且 ABC 60 ，其他条件不变．试探究 AF
与CE的数量关系，并说明理由．
26．（12分）（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线
y kx 4k k 0 交 x轴的正半轴于点A，交 y轴的正半轴于点 B, AB 4 5．(1)求OB的长；(2)如图 1，
点C在 x轴的负半轴上，点D在 AB上，连接CD交 y轴于点 E，点 E为CD的中点，设点C的横坐标为
t,△ACD的面积为S，求S与 t的函数解析式；(3)如图 2，在（2）的条件下，将射线 EC绕点 E顺时针旋
转 45 ，交 x轴的负半轴于点 F，连接 BF，若 BFE 2 BED OEF，求 S的值．2024九年级开学摸底考试卷（人教版）
数学·答案及评分标准
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1.C 2.C 3.C 4.C 5.C 6.A 7.C 8.A 9.B 10.B
二、填空题（本大题共 8小题，每小题 4分，共 32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．中位数，众数；12． 13,12 13 9 6； ． ；14． x 2；
2 5
5 d
15． 2；16． 5 2；17． ；18． ；3 a
三、解答题（本大题共 8小题，共 78分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤） 其中：19-21 每题 8分 22-24 每题 10分 25-26 每题 12分
19．（8分）
7 x 3【答案】(1) 2 (2)24 (3) (4) 1 ， x 16 2 2
【详解】（1）原式 3 3 2 2 3 3 2（1分）
2．（2分）
（2）∵ x 5 7, y 7 5
∴ x y 2 7 ， xy 2，（3分）
x2 y2 (x y)2 2xy (2 7)2 2 2 24．（4分）
（3）解： x2 2x 1=0
b2 4ac ( 2)2 4 1 ( 1) 8 0，（5分）
x b b
2 4ac 2 8
，
2a 2
x1 1 2 ， x2 1 2．（6分）
（4） (2x 1)(x 3) 6
整理，得 2x2 5x 3 0
因式分解，得 (2x 3)(x 1) 0（7分）
2x 3 0，x 1 0
x 31 ， x 1；（8分）2 2
20．（8分）
10
【答案】(1)91.4；90(2)8；图形见解析(3)①甲同学，理由见解析；② k
23
x 88 89 90 98 92【详解】（1）解： 乙 91.4分；中位数是 90分；故答案为：91.4；90（2分）5
（2）解： a 50 40 2 8，补全条形统计图，如图：
（4分）
89 91 93
（3）解：①甲的才艺分 91分，甲的测评分 40 2 8 1 2 0 88分，
3
甲的综合分 91 0.6 88 1 0.6 89.8分，（5分）
89 90 92
乙的才艺分 90.3分， 乙的测评分 42 2 50 42 3 1 3 0 89分，
3
乙的综合分 90.3 0.6 89 1 0.6 89.78分，（6分）
∵甲的综合分 乙的综合分，∴应选拔甲同学去参加艺术节演出．
②甲的综合分 91k 40 2 8 1 2 0 1 k 3k 88，
乙的综合分 90.3k 42 2 5 1 3 0 1 k 0.7k 89，（7分）
10
∵从甲、乙二人中只选拔出一人去参加演出，∴0.7k 89 3k 88，∴ k ．（8分）
23
21．（8分）
【答案】(1)4个(2)6米
【详解】（1）解：设这种水果黄瓜每个支干长出 x个小分支，
由题意得： x2 x 1 21，（2分）
解得 x1 4， x2 5（舍），
即这种水果黄瓜每个支干长出 4个小分支；（4分）
（2）解：设种植田的宽 AB为m米，则长 BC为 22 3m 2 米，
由题意得：m 22 3m 2 36，（5分）
整理得：m2 8m 12 0，解得m1 2，m2 6，（6分）
当m 2时，BC 22 3 2 2 18 10，不合题意，舍去；（7分）
当m 6时，BC 22 3 6 2 6 10，符合题意；
综上可知，该种植田的宽m为 6米．（8分）
22．（10分）
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：∵四边形 ABCD为平行四边形，∴OA OC， AD∥BC，（2分）
∴ AEO CFO， EAO FCO，∴△AOE≌△COF，∴OE OF．（4分）
（2）解：如图，MN即为所求作的线段；
∵四边形 ABCD为平行四边形，∴OA OC， AD∥BC，（6分）
∴ AMO CFO， MAO FCO，∴ AOM≌ COF，（7分）
∴ AM CF，同理可得：△AOE≌△CON，（8分）
∴ AE CN，∴ AM AE CF CN ，即ME FN ，（9分）
∵ME∥FN，∴四边形MNFE为平行四边形，∴MN EF ．（10分）
23．（10分）
7
【答案】（1） ；（2）画图见解析，3a2 ；（3）构图见解析，5mn
2
1 1 1 7 7
【详解】解：（1） ABC的面积为 3 3 1 2 1 3 2 3 ，故答案为： ；（2分）
2 2 2 2 2
（2）如图， AB 2 2a， BC 5a， AC 17a，
（4分）
1 1 1 2
由图可得： S ABC 2a 4a a 2a 2a 2a a 4a 3a ；故答案为：2 2 2 3a
2 ；（6分）
（3 2）构造 ABC所示， AB 2m 2n 2 2 m2 n2 ，（7分）
AC m2 4n 2 m2 16n2 BC 3m 2 2 ， 2n 9m2 4n2 ，（9分）
1 1 1
∴ S ABC 3m 4n m 4n 3m 2n 2m 2n 5mn．（10分）2 2 2
24．（10分）
【答案】(1)280(2) yz与 t之间的函数关系式是 yz 120t 600 5 t 8 (3)2小时或 6小时或 8小时
【详解】（1）解：由图象可得，甲组的工作效率为：120 3 40（个 /小时），
则a 40 [8 (4 3)] 280，即甲组加工零件总量 a的值是 280；（2分）
（2）解：设 yz与 t之间的函数关系式是 y k0x b0把 5，0 ， 8，360 代入 y k0x b0（3分）
0 5k0 b0 k0 120
得
360 8k b
解得 b （4分）0 0 0 600
∴ yz与 t之间的函数关系式是 yz 120t 600 5 t 8 ；（5分）
（3）解：当0 t 3时，设甲组加工零件的数量 yw与时间 t之间的函数关系式为 yw kt，
点 (3,120)在该函数图象上， 120 3k，解得 k 40，
即当0 t 3时，甲组加工零件的数量 yw与时间 t之间的函数关系式为 yw 40t；（6分）
当3 t 4时， y 120；
当 4 t 8时，设甲组加工零件的数量 yw与时间 t之间的函数关系式为 yw mt n，
4m n 120 m 40
点 (4,120)， (8,280)
在该函数图象上， ，解得 ，（7分）
8m n 280 n 40
即当 4 t 8时，甲组加工零件的数量 yw与时间 t之间的函数关系式为 yw 40t 40；
40t (0 t 3)
由上可得，甲组加工零件的数量 y与时间 t之间的函数关系式是 yw 120 (3 t 4)（8分）
40t 40 (4 t 8)
依题意，当0 t 3时，则 yw yz 40t 0 80解得 t 2；（9分）
当5 t 8时，则 yw yz 40t 40 120t 600 80 解得 t 6或 8；
综上：甲组加工 2小时或 6小时或 8小时，甲、乙两组加工零件数相差 80个．（10分）
25．（12分）
【答案】（1）① DEF的大小不发生变化，理由见解析；
②AF 2OE，理由见解析（2） AF CE理由见解析
【详解】解∶（1）① DEF的大小不发生变化， DEF 90 ，
作 EG AB， EH AD，垂足分别为点G， H （1分）
∵四边形 ABCD是正方形， AC， BD是对角线
∴ DAB EHA EGA 90 ， BAC DAC 45 （2分）
∴EG HE∴四边形HEGA是正方形；∴ HEG 90
∵EF DE∴Rt EFG≌Rt EDH HL ∴ 3 1
∵ 3 2 90 ∴ 1 2 90 DEF；（3分）
② AF 2OE，理由，如下：设 AG m，OE 2n，（4分）
∵四边形HEGA是正方形，∴ AH AG EH m，∠AHE 90 ，
∴ AE AH 2 HE 2 2m，∴ AO AE OE 2m 2n 2 n m ，（5分）
∵四边形 ABCD是正方形， AC， BD是对角线，∴OA OD，
∴ AD OA2 AD2 2OA 2 2 n m 2 n m ，
∴DH AD AH 2 n m m m 2n，（6分）
∵Rt EFG≌Rt EDH HL ，∴DH FG m 2n，∴ AF FG AG m 2n m 2n，
∵OE 2n n 2 ，∴ OE 2，∴ AF 2n 2 OE 2OE ．（7分）
2 2
（2） AF CE，理由：如下：作 EM AB，EN AD，垂足分别为点M ，N ，令 AM a，OE b，
∵四边形 ABCD是菱形， AC，BD是对角线，（8分）
∴ AB BC AD， BAC DAC， AC BD， AC 2OA，∴EN EM ，
∵EF DE，∴Rt EFM≌Rt EDN HL ，∴FM DN，（9分）
∵ AB BC， ABC 60 ，∴ ABC是等边三角形，∴ DAC BAC 60 ， AC AB，
∵ EAM EAN， EMA ENA 90 ， AE AE，（10分）
∴△AEM≌△AEN，∴ AN AM a，在Rt△AEN 中， AEN 90 NAE 30 ，
∴ AE 2AN 2a，∴OA AE OE 2a b，∴ AC 2OA 4a 2b，（11分）
∴CE AC AE 4a 2b 2a 2a 2b，∵ FM ND AD AN 4a 2b a 3a 2b，
∴ AF FM AM 3a 2b a 2a 2b CE，∴ AF CE．（12分）
26．（12分）
【答案】(1)8 (2) S t2 16 (3)15
【详解】（1）对于 y kx 4k，当 y 0时， kx 4k 0， k 0 x 4 A 4,0 OA 4
2
在Rt△AOB中， AOB 90 , AB 4 5， OB AB2 OA2 4 5 4 2 8（2分）
（2）过D作DH OA于H ,DG OB于G
DGE COE 90
在△DEG和 CEO 中 DEG CEO DEG≌ CEO AAS ， DG CO,EG EO（4分）
DE CE
C t,0 ， OC DG t OB 8 B 0,8 设直线 AB解析式为： y px q （5分）
4 p q 0 p 2 A 4,0 y 2x 8 D t, 2t 8 （6分）
q 8 q 8
1 1
OG 2t 8 HD OG 2t 8 S AC DH 4 t 2t 8 t 2 16；（7分）
2 2
OE 1（3） OG t 4， E 0, t 4 BE OB OE 8 t 4 4 t，
2
OEF BFE EBF，且 BFE 2 BED OEF，
BFE EBF BFE 2 BED， EBF 2 BED （8分）
设 OEC a，则 BED OEC a， OBF 2 BED 2a
BOF 90 ， OBF OFB 90 OFB 90 OBF 90 2a，
由题得： CEF 45 ， OEF CEF CEO 45 a （9分）
OEF OFE 90 ， OFE 90 OEC 45 a
又 BFE OEF EBF 45 a EFO EFB
在FB上截取FK FC，连接 EK ，在V EFK和 EFC中
FK FC
EFK EFC EFK≌ EFC SAS EK EC, FEK FEC 45 ， （10分）
EF EF
CEK FEC FEK 90 过点K作KQ y轴于点Q，
QKE KEQ 90 ， KEQ OEC 90 QKE OEC
QKE OEC
在 KEQ和 ECO 中 KQE EOC KEQ≌ ECO AAS ， （11分）
KE EC
EQ CO t,KQ EO t 4 BQ BE EQ 4 t t 4，
又 BKE BEK 90 a， BK BE 4 t
在Rt BKQ中， BQK 90 ，KQ2 BQ2 BK 2
t 4 2 42 4 t 2 2解得： t 1 S t2 16 1 16 15 （12分）
