2024-2025学年湖南省益阳市沅江市小波学校八年级（上）开学数学试卷(含答案）

2024-2025学年湖南省益阳市沅江市小波学校八年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将周长是的三角形三条边展开，展开图正确的是( )
A. B.
C. D.
2.如图，将三角形纸片折叠，使点，重合，折痕与，分别交于点、点，连接，下列是的中线的是( )
A. 线段
B. 线段
C. 线段
D. 线段
3.如图，工人师傅砌门时，常用木条 固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是( )
A. 两点之间的线段最短 B. 长方形的四个角都是直角
C. 长方形是轴对称图形 D. 三角形具有稳定性
4.如图，，，，则( )
A. B. C. D.
5.一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每一个角等于( )
A. B. C. D.
6.如图，≌，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7.若，，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，是的角平分线，的角平分线交于点，若，，则( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定≌的是( )
A. B. C. D.
10.如图，≌，，，，，则的度数等于( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如图，在中，，，以为斜边作等腰直角连接，则的面积为______．
12.如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是______．
13.如图，在中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，使得，则等于______．
14.两个完全相同的正五边形都有一边在直线上，且有一个公共顶点，其摆放方式如图所示，则等于______度．
15.定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形若等腰是倍长三角形，且一边长为，则的底边长为______．
16.如图，和都是等边三角形，且点，，分别在边，，上，若的周长为，，则 ______．
17.如图，在中，为边上的中线，于点，与交于点，连接若平分，，，则的面积为 ．
18.已知，，为三角形的三边，则______．
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
19.如图，在中，，，是边上的高线，平分，求的度数．
四、解答题：本题共7小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
如图，方格纸中每个小正方形的边长都为，在方格纸内将经过一次轴对称变换后得到图中已标出点的对应点在给定方格纸中画出；
画出边上的中线和边上的高线；
求的面积．
21.本小题分
如图，在中，，，点为边上一动点点不与点，重合以为顶点作，射线交边于点．
求证：；
试探究当的长为多少时，？请给出你的结论，并说明理由；
过点在右侧作，交射线于点，连接当为等腰三角形时，求的度数．
22.本小题分
如图所示，中，，于点，于点，交于．
若，求的度数；
若点是的中点，求证：．
23.本小题分
如图，为线段上一点，，≌，判断与的关系，并证明你的结论．
24.本小题分
探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究：
如图，在中，，，点为边中点，点为边上的动点，过点作交于点．
【初步感知】
在点的运动过程中，线段与始终相等，请证明；
【深入探究】
取线段中点，连接交于点，试探究线段，之间的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；
【拓展运用】
在的条件下，连接当平分时，求的值．
25.本小题分
如图，在中，的平分线与垂直平分线交于点，于点，，交的延长线于点，求证：．
26.本小题分
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算．
我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系请你利用如图对勾股定理即下列命题进行验证，从中体会“数形结合”的思想：
已知：如图，在和中，，点，，在一条直线上，，，．
证明：；
请利用“数形结合”思想，画图推算出的结果．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、由，不符合题意；
B、由，不符合题意；
C、由，不符合题意；
D、由，符合题意，
故选：．
由三角形的任意两边之和大于第三边可得答案．
本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形的任意两边之和大于第三边是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：将三角形纸片折叠，使点，重合，
，
线段是的中线，
故选：．
根据折叠的性质和三角形中线的定义即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，三角形中线的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用，三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，根据三角形具有稳定性解答即可。
【解答】
解：用木条固定长方形门框，通过利用的稳定性使门框固定，使其不变形的根据是三角形具有稳定性。
故选D。
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和是解题的关键在中由三角形外角的性质可求得，在中，利用三角形外角的性质可求得．
【解答】
解：是的一个外角，
，
是的一个外角，
．
故选C．
5.【答案】
【解析】解：设正多边形的边数为，则
，
，
．
则这个正多边形的每一个内角为．
故选：．
根据正多边形的内角和定义，先求出边数，再用内角和除以边数即可求出这个正多边形的每一个内角度数．
此题考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握好多边形内角和公式：．
6.【答案】
【解析】解：≌，
，
即，
，
又
．
故选：．
本题根据全等三角形的性质并找清全等三角形的对应角即可．
本题考查了全等三角形的判定及全等三角形性质的应用，利用全等三角形的性质求解．
7.【答案】
【解析】解：，，
，
故选：．
根据完全平方公式计算即可．
本题主要考查了完全平方公式，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
8.【答案】
【解析】解：如图，过点分别作，，，垂足分别为，，，连接．
是的平分线，是的平分线，
．
在中，，，由勾股定理得，
．
，
，
即，
解得．
，
四边形是矩形．
又，
四边形是正方形，
，
．
在中，由勾股定理得，
，
故选：．
过点分别作，，，垂足分别为，，，连接由角平分线的性质得出根据面积法求出的长，再证明四边形是正方形，得出，在中，由勾股定理得出的长即可．
本题考查了角平分线的性质，三角形的面积计算，勾股定理．正确作出辅助线是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
A、，才能判定≌，故A不符合题意；
B、由，得到，由判定≌，故B符合题意；
C、，和分别是和的对角，不能判定≌，故C不符合题意；
D、，不能判定≌，故D不符合题意．
故选：．
由全等三角形的判定，即可判断．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
10.【答案】
【解析】解：由题意得：，，
又三角形外角的性质，
，
又≌，
．
故选：．
在中，利用外角的知识求出的度数，再根据≌，得出，这样即可得出答案．
本题考查全等三角形的性质，属于基础题，比较简单，解答本题用到的三角形的外角的性质及全等三角形的对应边、对应角分别相等的性质．
11.【答案】或
【解析】解：分两种情况讨论：
当点在下方时，如图所示，
把绕点顺时针旋转，得到，
则，，，且．
在四边形中，，
．
．
、、三点共线．
．
在等腰中，，
即，解得．
利用面积法可得边上的高．
的面积．
当点在上方时，如图所示，
把绕点顺时针旋转得到，
则，，且，
所以，
，即，
，即、、三点共线．
．
在等腰中，，解得．
利用面积法可得边上的高．
的面积．
故答案为：或．
依据题意，当固定后，根据“以为斜边作等腰直角”可知分两种情况讨论：当点在上方时，如图，把绕点逆时针旋转得到，证明、、三点共线，在等腰中，利用勾股定理可求长，进而求出边上的高，故可得解；当点在下方时，如图，把绕点顺时针旋转得到，类似于求解．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．
12.【答案】三角形的稳定性
【解析】【分析】
本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
根据三角形的稳定性，可直接填空．
【解答】
解：加上后，原图形中具有了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
13.【答案】
【解析】解：绕点逆时针旋转到的位置，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据旋转的性质得，，根据平行线的性质由得到，根据等腰三角形的性质得，然后根据三角形内角和定理得，所以．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
14.【答案】
【解析】解：如图，
由正五边形的内角和，得，
，
．
，
故答案为：．
根据多边形的内角和，可得，，，，根据等腰三角形的内角和，可得，根据角的和差，可得答案．
本题考查了多边形的内角与外角，利用多边形的内角和得出每个内角是解题关键．
15.【答案】或
【解析】解：等腰是倍长三角形，
腰长底边长的倍或底边长腰长的倍，
如果腰长是，底边长是或，
，
此时不能构成三角形，
底边长是，腰长是；
如果底边长是，腰长是或，
，
此时不能构成三角形，
底边长是，腰长是，
的底边长是或．
故答案为：或．
由倍长三角形的定义，分两种情况讨论，即可求解．
本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握倍长三角形的定义，并分两种情况讨论．
16.【答案】
【解析】解：是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
的周长为且是等边三角形，
，
，
故答案为：．
先证≌，得出，，再由的周长为且是等边三角形，推出，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：过点作，垂足为，如图，
平分，，，
，
，为边上的中线，
，
．
故答案为：．
过点作，由角平分线的性质可得，再由是中线，则有，利用三角形的面积公式可求得的面积．
本题主要考查角平分线的性质，解答的关键是熟记角平分线的性质．
18.【答案】
【解析】解：，，为三角形的三边，
，，，
，，，
．
故答案为：．
由，，为三角形的三边，根据三角形三边关系，即可得，，，又由，即可求得答案．
此题考查了二次根式的性质．此题难度适中，注意掌握．
19.【答案】解：因为，，
所以，
因为平分，
所以，
因为，是边上高线，
所以，
所以．
【解析】根据可知，求出，即可解决问题；
本题考查了三角形的角平分线、中线和高等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
20.【答案】解：如图，即为所求作．
如图，线段，即为所求作．
．
【解析】连接，线段的垂直平分线即为对称轴，作出，的对应点，即可．
根据三角形中线，高的定义画出图形即可．
求出的面积即可．
本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积，轴对称的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】证明：是的外角，
，
，，
；
解：当时，，理由如下：
，
，
在和中，
，
≌，
，
时，；
解：如图，
，，
，，
，
，
≌，
，
当时，
，
，故这种情况不成立，
当时，
在中，；
当时，
，
，
，
综上：或．
【解析】利用三角形外角的性质得，再利用，，可得结论；
利用证明≌，得；
首先利用证明≌，得，再利用等腰三角形的性质分类讨论即可．
本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：，
，
，，
，
在中，
，
，
，
．
连接
，且点是的中点，
，，
，
，
，
．
【解析】求得的度数后利用四边形的内角和定理求得结论即可；
连接，根据，且点是的中点，得到，，证得后即可证得．
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是从复杂的图形中找到相等的线段，这是利用等腰三角形性质的基础．
23.【答案】解：，．
，
．
≌，
，，．
，，
，
，即．
【解析】先根据得出，再由≌可知，，，由，可知，故，由此可得出结论．
本题考查的是全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应角相等是解答此题的关键．
24.【答案】证明：如图，连接，
，，为中点，
，平分，，，
，
，，
，
≌，
；
解：，，理由如下：
如图，过点作交于点，
同得：，
，，
，
，
≌，
，，
由得：≌，
，
为的中点，
，
，
为中点，
是的中位线，
，，
，，
；
解：如图，过点作于点，于点，
则四边形为矩形，
，
平分，
，
，
，
又，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，
．
【解析】连接，证≌，即可得出结论；
过点作交于点，同得，证≌，得出，，再证，得出是的中位线，即可得出结果；
过点作于点，于点，则四边形为矩形，再由角平分线的性质得出，然后证≌，得出，最后证得，即可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理、平行线的性质、矩形的判定与性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】证明：连接，
是的平分线，，，
，
垂直平分线，
，
在和中，
≌，
．
【解析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到，，根据证明≌，即可得出．
本题主要考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟悉角平分线的性质和线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．
26.【答案】解：梯形的面积，
梯形的面积，
，
化简可得：；
如图所示：
大正方形的面积；
大正方形的面积，
．

【解析】依据梯形的面积计算方法，即可得到；
依据大正方形的面积的计算方法，即可得到．
本题主要考查了证明勾股定理，关键是用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
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