2024-2025学年山东省德州九中九年级（上）开学数学试卷(含答案）

2024-2025学年山东省德州九中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.如图，在平行四边形中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点，分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接并延长，交于点，连接，恰好有，则的长为( )
A. B. C. D.
3.下列命题，其中是真命题的是( )
A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形
4.如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到连接，若点，，在同一条直线上，则的长为( )
A. B. C. D.
5.已知，是方程的两个实数根，则的值是( )
A. B. C. D.
6.勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时即水平距离，随板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是( )
A. B. C. D.
7.已知点、点在一次函数的图象上，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知两个一次函数与，它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是下列选项中的( )
A. B.
C. D.
9.已知二次函数的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，错误的是( )
A. 对称轴是直线
B. 当时，函数随的增大而增大
C. 图象的顶点坐标是
D. 图象与轴的另一个交点是
10.如图，在正方形中，为上一点，，过点作于，交于，为的中点，若则的长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.若、都是实数，且，的值为______．
12.坐标平面内的点与点关于原点对称，则 ．
13.已知关于的一次函数与的图象如图所示，则关于的不等式的解集是______．
14.甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离米与甲出发的时间分之间的关系如图所示，则乙到达终点时，甲离终点还有______米．
15.如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点，分别在轴、轴正半轴上滑动．顶点、在第一象限，若，在滑动过程中，点与坐标原点的距离的最大值为______．
三、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：
；
．
17.本小题分
已知关于的一元二次方程．
若该方程有两个实数根，求的最小整数值；
若该方程的两个实数根为，，且，求的值．
18.本小题分
某校开展了“预防溺水、珍爱生命”的安全知识竞赛先从该校七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩百分制进行整理、描述和分析竞赛成绩用表示，共分成四组，，，，．
部分信息如下：
七年级名学生竞赛成绩：，，，，，，，，，；
八年级名学生竞赛成绩在组中的数据：，，．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级
八年级
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
______， ______， ______， ______；
根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生安全知识竞赛成绩更好？请说明理由；
若该校七、八年级共人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动获得优秀成绩的学生有多少人．
19.本小题分
为降低空气污染，公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车．计划购买型和型两种公交车共辆，其中每台的价格，年均载客量如表：
型 型
价格万元辆
年均载客量万人年辆
若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元
求购买每辆型公交车和每辆型公交车分别多少万元？
如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过万元，且确保这辆公交车年均载客总和不少于万人次，有哪几种购车方案？请你设计一个方案，使得购车总费用最少．
20.本小题分
如图，矩形的对角线、交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接、、．
求证：四边形是菱形．
若，，则菱形的面积为______．
21.本小题分
如图，函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称．
求直线的函数解析式；
设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点．
若的长为，求点的坐标；
如图，连接，在点的运动过程中是否存在点，使，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．，与不是同类二次根式，不符合题意；
B.与不是同类二次根式，不符合题意；
C.，与是同类二次根式，符合题意；
D.，与不是同类二次根式，不符合题意．
故选：．
根据同类二次根式的定义即可求解．
本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
2.【答案】
【解析】解：由作法得平分，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到，，接着证明，然后利用勾股定理计算．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了平行四边形的性质．
3.【答案】
【解析】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以选项是假命题，本选项不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以选项是假命题，本选项不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以选项是假命题，本选项不符合题意；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题，本选项符合题意．
故选：．
根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法一一判断即可．
本题考查正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定方法，属于中考常考题型．
4.【答案】
【解析】解：在中，，，
，
由旋转知，，
点，，在同一条直线上，
，
，
，
，
，
，
故选：．
先根据含角的直角三角形的性质求出，再由旋转的性质得出，进而判断出，得出，求和即可得出答案．
此题主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等角对等边，判断出是解本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，
，
故选：．
将实数根代入方程得到，再利用根和系数关系得到，最后将代数式变形即可计算答案．
本题考查了一元二次方程的解的含义、一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，熟练掌握相关知识点是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：由题意可知，，，
．
设的长为，则，
所以．
在直角中，，即，
解得：，
即绳索的长是米．
故选：．
设的长为，则，故AD在直角中利用勾股定理即可求解．
本题考查勾股定理的实际应用，找到直角三角形并利用勾股定理构造方程是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：
点、点在一次函数的图象上，
当时，由题意可知，
随的增大而减小，
，解得，
故选：．
由题目条件可判断出一次函数的增减性，则可得到关于的不等式，可求得的取值范围．
本题主要考查一次函数的性质，得出一次函数的增减性是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：、一次函数的图象经过一三四象限，
，；
由一次函数图象可知，，，两结论矛盾，故错误；
B、一次函数的图象经过一三四象限，
，；
由的图象可知，，，两结论不矛盾，故正确；
C、一次函数的图象经过一二四象限，
，；
由的图象可知，，，两结论矛盾，故错误；
D、一次函数的图象经过一二四象限，
，；
由的图象可知，，，两结论相矛盾，故错误．
故选：．
先由一次函数图象得到字母系数的符号，再与一次函数的图象相比较看是否一致．
此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数的图象有四种情况：
当，，函数的图象经过第一、二、三象限；
当，，函数的图象经过第一、三、四象限；
当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；
当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．
9.【答案】
【解析】解：抛物线的对称轴为直线，所以选项的说法正确，不符合题意；
当时，函数随的增大而增大，所以选项的说法正确，不符合题意；
点关于直线的对称点为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为，所以选项错误，符合题意；
设抛物线解析式为，把代入得，解得，
所以抛物线解析式为，即，
所以抛物线的顶点坐标为，所以选项的说法正确，不符合题意．
故选：．
利用抛物线的顶点的横坐标为可对进行判断；根据二次函数的性质对进行判断；利用对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，则可对进行判断；利用交点式求出抛物线解析式，然后配成顶点式后可对进行判断．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，图象与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
10.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，
，即，
，
，
≌，
，，
四边形是正方形，，，
，
，则，
在直角中，，
在直角中，，
，
，
在直角中，点是的中点，
，
故选：．
根据正方形的性质可证≌，可得，根据题意可算出，，，的值，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：根据题意得，且，
解得且，
，
，
．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式求出的值，再求出的值，然后计算即可得解．
本题考查了算术平方根有意义的条件，明确被开方数是非负数是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：点与点关于原点对称，
，，
所以，．
故答案为：．
根据“关于原点对称的两点，横坐标与纵坐标都互为相反数”求出、的值，然后相加计算即可得解．
本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，关于原点对称的两点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
13.【答案】
【解析】解：关于的不等式的解集是．
故答案为．
写出一次函数图象在的图象上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14.【答案】
【解析】解：设甲的速度为米分钟，乙的速度为米分钟，
米分钟，
由图象可知：乙追上甲需要分钟，
，
米分钟，
此时乙共走了米，
乙离终点还有米，
乙到达终点时需要的时间为：分钟，
甲离终点还有米，
故答案为：．
设甲的速度为米分钟，乙的速度为米分钟，根据图象的信息科求出甲乙两人的速度，以及相遇所需要的时间，从而可求出答案．
本题考查函数图象的应用，解题的关键是正确理解图象并求出甲乙两人的速度，本题属于中等题型．
15.【答案】
【解析】解：如图，取的中点，连接，，，
，点是的中点，
中，，
又，，，
中，，
又，
的最大值为，
即点到原点距离的最大值是，
故答案为：．
取的中点，连接，，，根据勾股定理和矩形的性质解答即可．
本题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和勾股定理解答．
16.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】根据二次根式的混合运算法则即可求解；
计算完全平方公式、多项式乘多项式即可求解；
本题考查了二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
17.【答案】解：根据题意得，
解得，
所以的最小整数值为；
根据题意得，，
，
，
，
整理得，解得，，
，
的值为．
【解析】利用判别式的意义得到，然后解不等式得到的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
利用根与系数的关系得到，，再利用得到，接着解关于的方程，然后利用中的范围确定的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
18.【答案】
【解析】解：，
分，
八年级名学生的竞赛成绩的中位数是第和第个数据的平均数，
A、两组共有人，
分；
在七年级名学生的竞赛成绩中出现的次数最多，
；
故答案为：，，，．
八年级学生成绩更好，理由如下：八年级学生成绩的中位数、众数都比七年级的高，而方差比七年级的小，成绩比七年级稳定；
人，
答：估计参加此次竞赛活动获得优秀成绩的学生约有人．
根据平均数、中位数和众数的定义即可得到结论；
根据八年级的中位数和众数均高于七年级，于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识较好；
利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
19.【答案】解：根据题意，得：，
解得：，
答：购买每辆型公交车万元，购买每辆型公交车万元；
设购买型公交车辆，则购买型公交车辆，
根据题意得：，
解得：，
设购车的总费用为，
则，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值为万元．
【解析】根据“购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元”列方程组求解可得；
设购买型公交车辆，则购买型公交车辆，根据“总费用不超过万元、年均载客总和不少于万人次”求得的范围，设购车的总费用为，列出关于的函数解析式，利用一次函数的性质求解可得．
本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式组及一次函数的应用，解题的关键是根据题意确定相等关系或不等式关系以列出方程组和不等式组是解题的关键．
20.【答案】
【解析】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形；
解：四边形是矩形，
，
四边形是菱形，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
．
故答案为：．
先由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，即可得出结论；
由矩形的性质得出，由菱形的性质得出，，、的长，然后由菱形的面积公式即可得出结果．
本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】解：对于，
当时，，
当时，，
解得：，
点，，
点与点关于轴对称，
点，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为；
设，则点，，
，
解得：，
点的坐标为或；
如图，当点在轴的左侧时，
点与点关于轴对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，，，
，
解得：，
，
当点在轴的右侧时，
同理可得，
综上所述，点的坐标为或．
【解析】先确定出点坐标和点坐标，进而求出点坐标，最后用待定系数法求出直线解析式；
用三角形面积公式即可得出结论；
分点在轴左侧和右侧，由对称得出，可得当时，利用勾股定理建立方程即可求解．
此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键．
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