2024-2025学年安徽省池州市贵池区九年级（上）开学数学试卷(含答案）

2024-2025学年安徽省池州市贵池区九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”在这句英文中，字母“”出现的频率是( )
A. B. C. D.
2.适量的运动有助于身体健康经常运动的人在静息状态下心率的范围是次分、某班班主任随机测量了名学生的心率，统计结果如下表所示：
心率次分
人数名
这名学生的心率的中位数是( )
A. 次分 B. 次分 C. 次分 D. 次分
3.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
4.象棋是中国的传统棋种，如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是( )
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A. B. 且 C. 且 D.
7.生活中，我们可以用肘、拃、步长等来估计距离，某校教室里新安装了一台屏幕为矩形的多媒体设备，小明同学想知道屏幕有多大，他用手测得屏幕的长是拃，宽是拃，则屏幕的对角线长大约是如图，拃( )
A. B. C. D.
8.某校举办了运动会，在赛跑中，有位同学的成绩如下表所示，其中有两个数据被墨水遮盖了，那么被遮盖的两个数据依次是( )
同学 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 方差
时间
A. ， B. ， C. ， D. ，
9.如图，在 中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接，下列结论中错误的是( )
A. B.
C. D.
10.如图，在正方形中，，是对角线上的两点，且若，，则的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.计算： ______．
12.睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容为了了解学生的睡眠情况，张老师统计了八班名学生每天的睡眠时间，结果如下表所示该班学生每天的平均睡眠时间是______
睡眼时间
人数人
13.在中，，，，若，则的面积为______．
14.如图，在菱形中，，．
菱形的面积为______．
若点，分别在，上，且，连接，，则的最小值为______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
解方程．
．
．
16.本小题分
计算．
．
．
17.本小题分
如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”．
如图，在中，，求证：是“梦想三角形”．
在中，，若是“梦想三角形”，求的长．
18.本小题分
若关于的一元二次方程有实数根，，且．
求的取值范围．
若，求的值．
19.本小题分
年月日，杭州第届亚运会龙舟项目在温州龙舟运动中心开赛某商店为满足龙舟爱好者的需求，特推出了龙舟模型已知该模型每件成本元，当模型售价为元时，月售出件，月、月销量持续走高，假如月售出件．
求月、月这两个月的月平均增长率．
为了让利于爱好者，商店决定在每月售出件的基础上降价销售已知模型单价每降低元，可多售出件若要使该商店仍能获利元，则每件模型应降价多少元？
20.本小题分
观察下列等式．
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：．
请用含为正整数，且的等式表示上面的规律，并证明其正确性．
若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数例如，，，现有一个直角边为的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由．
21.本小题分
像，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”例如，与与与等都是互为“有理化因式”进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号．
化简： ______； ______．
计算：．
已知，试比较，，的大小，并说明理由．
22.本小题分
为了“弘扬载人航天精神，厚植爱国主义情怀”，某校团委从八、九年级学生中各抽取名进行航天知识竞赛为便于统计成绩，采用了取整数的计分方式，满分分此次竞赛的成绩如下表所示：
学生编号
八年级
九年级
若八年级学生和九年级学生的平均成绩都是分，则表中的 ______．
八年级学生成绩的中位数是多少？
若八年级学生成绩的方差是，请求出九年级学生成绩的方差，并判断哪个年级学生的成绩更为稳定．
23.本小题分
如图，在正方形中，为的延长线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，过点作于点．
求证：为等腰直角三角形．
求证：；
．
若，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得，总共有个，字母“”出现的次数为：次，
故字母“”出现的频率为．
故选：．
找出字母“”出现的次数，及总的字母数，再由频率即可得出答案．
本题考查了频数与频率，解答本题的关键是掌握频数是指每个对象出现的次数．
2.【答案】
【解析】解：共有名学生，中位数是第个数，
这名学生心率的中位数是次分；
故选：．
根据中位数的定义直接求解即可．
本题考查了确定一组数据的中位数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
3.【答案】
【解析】解：根据题意知：．
所以．
所以，
所以．
故选：．
根据二次根式有意义的条件求得，则，然后代入求值即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
4.【答案】
【解析】解：如图，当马走一步之后的落点与“帅”的距离最大，
当马走一步之后的落点与“帅”的最大距离为：，
故选：．
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：．，所以选项不符合题意；
B.，所以选项不符合题意；
C.，所以选项不符合题意；
D.，所以选项符合题意．
故选：．
利用二次根式的减法运算对选项进行判断；利用二次根式的乘法法则对选项进行判断；利用平方差公式对选项进行判断；利用二次根式的减法运算对选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、减法法则是解决问题的关键．
6.【答案】
【解析】解：因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
所以，且，
解得且．
故选：．
利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：多媒体屏幕的长是拃，宽是拃，拃，
多媒体屏幕的长，宽，
多媒体屏幕的对角线长度，
即多媒体屏幕的对角线长度约，
故选：．
根据勾股定理求出多媒体屏幕的对角线长度即可．
本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：丙的成绩为，
方差为：．
故选：．
先根据算术平均数的定义求出丙的成绩，再依据方差的定义列式计算即可．
本题主要考查算术平均数和方差，解题的关键是掌握算术平均数和方差的定义．
9.【答案】
【解析】解：，是的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
故A不符合题意；
延长、交于点，
，
，
在和中，
，
≌，
，
于点，
，
，
故B不符合题意；
，
，
，
，
故C不符合题意；
，
，
故D符合题意，
故选：．
由，是的中点，得，由平行四边形的性质得，，可证明，可判断不符合题意；延长、交于点，可证明≌，得，因为，所以，可判断不符合题意；由，推导出，可判断不符合题意；由“垂线段最短”可证明，可判断符合题意，于是得到问题的答案．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，
，
，
旋转，
，，，
在和中，
，
≌，
，
，
．
故选：．
将绕点逆时针旋转得到，连接，证明≌，可得，最后利用勾股定理有，即可解题．
本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定定理和正确作辅助线是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
先把化简，再进行二次根式的乘法运算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
12.【答案】
【解析】解：小时，
即该班级学生每天的平均睡眠时间是小时．
故答案为：．
根据加权平均数的公式计算即可．
本题考查了加权平均数，掌握加权平均数的定义是解答本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由题意，，
．
．
又，
．
．
．
故答案为：．
依据题意，由，从而，则，又，可得，进而求出的值，可以得解．
本题主要考查了勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
14.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，
四边形是菱形，，，
，，
，
，，
菱形的面积，
故答案为：；
如图，连接，作关于直线的对称点，连接，，，，可得，，，
四边形是菱形，
，，，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
当，，三点共线时，此时取等于号，最小，
四边形是菱形，，
，，
为等边三角形，
，
，
，
，，
≌，
，，
，≌，
，，
，
，
，，三点共线，
当，，三点共线时，，重合，
，
，即最小值为．
故答案为：．
由菱形的性质可得，，由直角三角形的性质可求的长，即可求解；
如图，连接，作关于直线的对称点，连接，，，，可得，，，证明四边形为平行四边形，可得，则，当，，三点共线时，此时取等于号，最小，证明当，，三点共线时，，重合，从而可得答案．
本题主要考查了菱形的性质，轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，作出合适的辅助线是解本题的关键．
15.【答案】解：，
，
则或，
所以．
，
，
，
，
则或，
所以，．
【解析】用因式分解法对所给方程求解即可．
用因式分解法对所给方程求解即可．
本题主要考查了解一元二次方程因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
16.【答案】解：
；
．
【解析】先计算乘法，再计算加减即可；
利用平方差公式，完全平方公式计算即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．
17.【答案】证明：如图，过点作于点．
，，
是边上的中线，，
由勾股定理得：，
，
是“梦想三角形”．
解：如图，若是“梦想三角形”，有两种情况：
当边上的中线时，，
此时，，
当边上的中线时，，
此时，，即，
解得：，
综上所述，或．
【解析】过点作于点，根据等腰三角形三线合一可知是边上的中线，且，再利用勾股定理求出的长度，可知，即可证明；
当边上的中线时，，利用勾股定理即可求得答案；当边上的中线时，，利用勾股定理即可求得答案．
本题考查了“梦想三角形”的定义，等腰三角形三线合一，三角形中线的性质，勾股定理，读懂题意并熟练掌握以上知识点是解题的关键．
18.【答案】解：由得，
，
所以．
因为此方程有两个实数根且不相等，
所以，
解得，
故的取值范围是：．
因为方程的两个实数根为，，
所以，．
因为，
所以，
即，
解得，
故的值为．
【解析】根据所给一元二次方程有实数根，利用根的判别式即可解决问题．
利用根与系数的关系，用表示出两根之和及两根之积即可解决问题．
本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的解及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．
19.【答案】解：设月、月这两个月的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
答：月、月这两个月的月平均增长率为；
设当模型降价元时，该商店获利元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每件模型应降价元．
【解析】设月、月这两个月的月平均增长率为，根据月售出件，月、月销量持续走高，假如月售出件．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
设当模型降价元时，该商店获利元，根据该商店仍能获利元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20.【答案】解：第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：，
由题中等式的规律可得，
证明：左边右边．
它的三边长能为勾股数，理由如下：
，
把代入，得，
即，
它的三边长能为勾股数，这组勾股数为，，．
【解析】，证明见解析；
它的三边长能为勾股数，为，，；理由见解析．
本题考查了勾股数的定义，列代数式，数字类变化规律等知识点，能够根据题意得出是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解： ．
故答案为： ．
．
，
同理：，
，
，
．
分母有理化即可；
分母有理化可得结论；
利用倒数法判断大小．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．
22.【答案】
【解析】解：，
解得，
故答案为：；
把八年级学生的成绩按从小到大的顺序排列为，，，，，，，，，，
所以中位数是分．
九年级学生成绩的方差是，
八年级学生成绩的方差是，九年级学生成绩的方差是，
九年级学生的成绩更为稳定．
根据算术平均数的定义列出关于的方程，解之即可得出答案；
根据中位数的定义求解即可；
先根据方差的定义求解出九年级成绩的方差，再由方差的意义求解即可得出答案．
本题主要考查中位数、算术平均数及方差，解题的关键是掌握中位数、算术平均数和方差的定义及方差的意义．
23.【答案】证明：，
，
四边形是正方形，
，
，
为等腰直角三角形．
如图，在上取一点，使，连接，，，
在和中，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
，
；
如图，连接交于点，
根据题意，
，，
≌，
，
．
设，，则，
，，
，，
，
若，则，
，
即．
【解析】因为，则四边形是正方形，所以，则，推出为等腰直角三角形．
如图，在上取一点，使，连接，，，证明≌，得出，，因为，得出，因为，推出，则，所以四边形是平行四边形，则，因为，，则，，所以四边形是平行四边形，则，，因为，则，即，因为，则；
如图，连接交于点，根据正方形，则，因为，所以四边形是矩形，则，，根据全等，推出，则．
设，，则，则，，因为，，则，若，则，所以，即．
本题考查正方形的性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
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