高考物理一轮复习：万有引力
一、选择题
1．（2024高一下·丰城期末）2023年3月16日，在湖北省举行的科技创新大会，华中科技大学获奖41项，其中“万有引力常数G的精确测量”项目获湖北省科技进步特等奖。关于万有引力定律及引力常量，下列说法正确的是（ ）
A．由公式可知，当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
B．万有引力定律只适用于天体之间
C．开普勒发现了万有引力定律，但没有测定出引力常量
D．引力常量G值最早是英国物理学家卡文迪什用扭称实验测得
2．（2024高一下·荥经期末）下列说法中正确的是（ ）
A．开普勒提出行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
B．牛顿发现万有引力定律，并测得引力常量
C．相对论物理学研究的是物体在低速运动时所遵循规律
D．相对论物理学和量子力学的出现，使牛顿力学失去了意义
3．（2024高二上·望城开学考）北京时间2021年10月16日，我国长征二号F运载火箭搭载神舟十三号载人飞船顺利升空，11月8日两名航天员圆满完成出舱活动全部既定任务。如图为三舱做匀速圆周运动的在轨简图，已知三舱飞行周期为T，地球半径为，轨道舱的质量为m，距离地面的高度为，引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．返回舱和轨道舱对接时各自受力平衡
B．长征二号F运载火箭需要把神舟十三号载人飞船加速到第二宇宙速度，然后停止加速
C．三舱在轨运行的速度大小为
D．由已知数据可以求出地球的质量和密度
4．（2024高一下·渌口期末）北京时间2024年4月26日，神舟十八号载人飞船升空6.5小时后采用自主快速交会对接模式，对接于中国空间站天和核心舱径向对接口。当天05时04分，在轨执行任务的神舟十七号航天员乘组顺利打开舱门，迎接神舟十八号航天员乘组入驻“天宫”。若神舟十八号载人飞船绕地球的运动看做匀速圆周运动，周期为T，离地高度为h，已知地球半径为R，引力常量为G，则（ ）
A．神舟十八号载人飞船的运行速度大于7.9 km/s
B．地球的质量为
C．地球表面重力加速度为
D．若离地高度增大为2h，神舟十八号载人飞船运行周期将会减小
5．（2024高一下·红桥期末）2022年6月5日，我国神舟十四号载人飞船成功发射。已知飞船质量为m，地球质量为M，地球半径为R。万有引力常量为G，当飞船离地面的高度为h时，飞船与地球之间的万有引力大小为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·平度月考） 如图所示，是卡文迪什测量万有引力常数的实验示意图，根据胡克定律及转动理论可知，两平衡球受到的等大反向且垂直水平平衡杆的水平力F与石英丝N发生扭转的角度成正比，即，k的单位为，可以通过固定在T形架上平面镜M的反射点在弧形刻度尺上移动的弧长求出来，弧形刻度尺的圆心正是光线在平面镜上的入射点，半径为R。已知两平衡球质量均为m，两施力小球的质量均为，与对应平衡球的距离均为r，施加给平衡球的力水平垂直平衡杆，反射光线在弧形刻度尺上移动的弧长为，则测得万有引力常数为（平面镜M扭转角度为时，反射光线扭转角度为）（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·贵州） 土星的部分卫星绕土星的运动可视为匀速圆周运动，其中的两颗卫星轨道半径分别为，且，向心加速度大小分别为，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·重庆） 在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体（图中未画出）质量为m（m << M），若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则（ ）
A．c的线速度大小为a的倍 B．c的向心加速度大小为b的一半
C．c在一个周期内的路程为2πr D．c的角速度大小为
9．（2024·海南） 嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高一下·西城期末）已知地球质量为M，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G。用上述物理量计算地球的第一宇宙速度是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高一下·西城期末）我国高分系列卫星的高分辨率，为现代农业、防灾减灾、环境监测等提供了可靠稳定的卫星数据支持。系列卫星中的“高分四号”轨道高度约为36000km、“高分五号”轨道高度约为705km，它们都绕地球做匀速圆周运动。与“高分五号”相比，“高分四号”有较大的（ ）
A．周期 B．角速度 C．线速度 D．向心加速度
12．（2024高一下·东坡期末）2020年7月23日，我国在中国文昌航天发射场，成功发射首次火星探测任务天问一号探测器，目前系统状态良好，将于2021年2月抵达火星。已知火星半径约为地球半径的二分之一，质量约为地球质量的十分之一，近地卫星绕地球运行速度大小为v。若天问一号探测器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动，其速度大小约为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
13．（2024高二上·望城开学考）万有引力作用下的物体具有引力势能，取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为r时的引力势能为Ep = - G（G为引力常量，M、m分别为星球和物体的质量），在一半径为R的星球上，一物体从星球表面某高度处自由下落(不计空气阻力)，自开始下落计时，得到物体在星球表面下落高度H随时间t变化的图象如图所示，则（ ）
A．在该星球表面上以的初速度水平抛出一物体，物体将不再落回星球表面
B．在该星球表面上以的初速度水平抛出一物体，物体将不再落回星球表面
C．在该星球表面上以的初速度竖直上抛一物体，物体将不再落回星球表面
D．在该星球表面上以的初速度竖直上抛一物体，物体将不再落回星球表面
14．（2024高一下·周至期末）太阳系有八大行星，离太阳由近至远的行星分别为水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星，如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．水星的周期小于海王星的周期
B．金星的加速度小于木星的加速度
C．地球的线速度小于水星的线速度
D．火星的角速度小于天王星的角速度
15．（2024高一下·红桥期末）下图中a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是（ ）
A．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
B．b、c的向心加速度大小相等，且小于a的向心加速度
C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的c
D．a卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将减小
16．（2024高一下·江岸期末）如图是2023年清华大学摄影爱好者成功拍摄到的中国空间站“凌月”画面。空间站与月球在同一轨道平面且绕行方向相同，在地球上观测月球时看到空间站在月球前面快速掠过的过程即为“凌月”过程，整个过程持续时间极短，仅约半秒钟。已知地球半径为，月球半径为，空间站绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r，月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球表面的重力加速度为g，引力常数为G，则下列说法正确的是（ ）
A．月球绕地球运动的轨道半径为
B．地球的质量为
C．空间站绕地球运动周期大于T
D．再次出现空间站凌月现象的时间为
17．（2024高一下·防城港期末）下图中四幅图片涉及物理学史上的四个重大发现，下列说法正确的是（ ）
A．甲图，亚里士多德根据理想斜面实验，提出了力不是维持物体运动的原因
B．乙图，牛顿通过引力扭秤实验，测定出了万有引力常量
C．丙图，伽利略通过实验加推理的研究方法得到自由落体的速度与时间成正比
D．丁图，开普勒通过大量天文观测数据总结了行星运动的规律
三、非选择题
18．（2024高一下·成都期中） 1798年，卡文迪许在《伦敦皇家学会哲学学报》论文中发表了“扭秤”的思想，如图1所示。
（1）卡文迪许扭秤实验采用的主要研究方法是（ ）
A．控制变量法 B．累积法
C．转换研究对象法 D．放大法
（2）关于卡文迪许扭秤实验下列说法正确的是（ ）
A．大球和小球之间的距离和其尺寸数量级相当，不可当作质点，万有引力定律不适用
B．扭秤装在封闭的箱子里是为了防止空气不均匀受热引起的气流对微小力测量的干扰
C．卡文迪许利用扭秤测定了万有引力常数的数值，被称为第一个测量地球质量的人
D．大球和小球除了相互之间的引力之外还会受到重力，重力对该实验的测量有影响
（3）卡文迪许扭秤的某种现代简化模型如图2所示，两个质量为的小球固定在一根总长度为L的轻杆两端，用一根石英悬丝将轻杆水平的悬挂起来，距离小球r处放置两个质量为的大球。根据万有引力定律，固定小球的轻杆会受到一个力矩而转动，从而使石英悬丝扭转。引力力矩与悬丝的弹性恢复力矩大小相等，已知引力力矩大小可以表示为引力的大小乘以作用点到支点的距离，弹性恢复力矩可以表示为常数k乘以悬丝旋转角。激光水平入射到固定于悬丝上的平面镜上，弧形标尺到平面镜的距离为d。从静止释放轻杆到最终平衡的过程中，弧形标尺上反射光点移动的距离为s，则万有引力常数的表达式为 ．（用题干中已知的物理量表示）
19．（2024高一下·朝阳期末）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。
（1）求区域的恒星做匀速圆周运动的角速度大小与r的关系；
（2）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。求区域的恒星做匀速圆周运动的角速度大小；
（3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的角速度大小随的变化关系图像，如图所示。根据在范围内的恒星角速度大小与距离r的倒数成正比，科学家预言螺旋星系周围（）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求内暗物质的质量。
20．（2024高一下·鄄城月考）已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球自转的周期为T，试求地球同步卫星的向心加速度大小。
21．（2024高一下·博爱期末）中国空间站的机械臂具有七个自由度，类似于人类手臂的灵活性，可实现抓取、拖拽、爬行、对接等功能。如图所示，在长为d的机械臂作用下，微型卫星、空间站、地球位于同一直线，伸直的机械臂沿该直线方向抓住微型卫星，微型卫星与空间站一起做角速度为的匀速圆周运动。已知地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，微型卫星质量为m，空间站轨道半径为r，求：
（1）在轨运行时，空间站的线速度和微型卫星的线速度之比；
（2）机械臂对微型卫星的作用力大小F；（忽略空间站与卫星之间的万有引力以及机械臂对空间站的作用力，用m，g，R，r，d表示）
（3）物体在引力场中具有的势能叫做引力势能。若取无穷远处为引力势能零点，质量为m的物体在地球引力场中具有的引力势能为（式中G为引力常量，M为地球的质量，r为物体到地心的距离）。若让机械臂松开卫星，通过控制卫星上自带的火箭发动机，使卫星由当前半径为r的圆轨道变轨到离地球更远的半径为的圆轨道，则在此过程中，万有引力对卫星做的功为多少？（用g、R、m、r、表示）
22．（2024高一下·防城港期末）高空遥感探测卫星在距地球表面高为R处绕地球做圆周运动，已知该卫星的质量为m，地球半径为R，地球表面重力加速度大小为g，万有引力常量为G。求：
（1）这颗卫星运行的运行速度大小v；
（2）这颗卫星绕地球做圆周运动的周期T；
23．（2024高一下·仁怀月考）某同学为探月宇航员设计了如下实验：在月球表面高h处以初速度水平抛出一个物体，然后测得该物体的水平位移为x。通过查阅资料知道月球的半径为R，引力常量为G，若物体只受月球引力的作用，求：
（1）月球表面的重力加速度9月；
（2）月球的质量M；
（3）月球的第一宇宙速度速度v。
24．（2024高一下·岳阳月考）“嫦娥七号”探测器在2019年1月14日发射升空，已知月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g月，引力常量为G，若嫦娥四号运行轨道看作圆轨道，离月球中心的距离为r，求：
（1）月球的质量M；
（2）嫦娥四号的运行周期T；
（3）月球上的第一宇宙速度v。
25．（2024高一下·丰台期末）利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。
（1）已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，求地球的第一宇宙速度v。
（2）开普勒第三定律指出：所有行星轨道的半长轴a的三次方跟它的公转周期T的二次方的比都相等，即，比值k是一个对所有行星都相同的常量。
已知月球绕地球做圆周运动的半径为、周期为；探月卫星绕月球做圆周运动的半径为、周期为。小明认为，若不计周围其他天体的影响，根据开普勒第三定律可以得到。请通过推导分析小明的观点是否正确。
（3）物体间由于存在万有引力而具有的势能称为引力势能。若取物体距离地心无穷远处引力势能为零，质量为m的物体距离地心为r时的引力势能，式中M为地球的质量，G为引力常量。
材料：空间站在距离地心约6770km的轨道绕地球飞行。如果没有外力干扰，它会稳定地绕地球运动。然而空间站的轨道属于近地轨道，那里存在稀薄的大气，受微弱大气阻力的影响，空间站的高度会缓慢下降。由于阻力很小，空间站下降的高度远小于其轨道半径，例如我国空间站受大气阻力的影响1年下降的高度约为30km。
已知万有引力常量为G，地球的质量为M，空间站的质量为m，空间站最初运行的轨道半径为，由于阻力的影响，经过一段时间t后的轨道半径减小为。求：
a.时间t内空间站损失的机械能；
b.空间站受到的微弱阻力f的大小。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】万有引力定律；引力常量及其测定
【解析】【解答】A．r趋于零时，万有引力公式不适用，故A错误；
B．万有引力定律适用于自然界中任何两个物体之间的作用，故B错误；
CD．引力常量G值是英国物理学家卡文迪什用扭称实验测得，故C错误，D正确；
故选D。
【分析】 牛顿发现了万有引力定律，万有引力定律适用质点间引力计算，趋于零时，万有引力公式不适用。
2．【答案】A
【知识点】开普勒定律；引力常量及其测定；相对论时空观与牛顿力学的局限性
【解析】【解答】A．行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，故A正确；
B．卡文迪许测得引力常量，故B错误；
C．物体在高速运动时所遵循规律是相对论物理学，故C错误；
D．牛顿力学是相对论物理学和量子力学的一种特殊情况 ，所以牛顿力学没有失去意义，故D错误。
故选A。
【分析】熟记物理学历史是解题关键。
3．【答案】D
【知识点】万有引力定律；第一、第二与第三宇宙速度；卫星问题
【解析】【解答】A．返回舱和轨道舱对接时二者相对静止均做匀速圆周运动，并非处于受力平衡状态，A错误；
B．第一宇宙速度为地球卫星的最小发射速度也是最大环绕速度，当卫星的速度达到第二宇宙速度时，人造卫星将脱离地球的束缚，B错误；
C．三舱在轨飞行的速度大小为
选项C错误；
D．设地球质量为M，地球密度为ρ，由
得
D正确。
故选D。
【分析】根据万有引力提供向心力分析：
1.匀速圆周运动并非平衡态，做匀速圆周运动的物体合力指向圆心。
2.理解宇宙速度。
3.根据万有引力提供向心力计算环绕天体的环绕速度和计算中心天体的质量和密度。
4．【答案】C
【知识点】万有引力定律；第一、第二与第三宇宙速度；卫星问题
【解析】【解答】A．第一宇宙速度为7.9 km/s，是最大的环绕速度，是围绕地球表面运行时的线速度，而神舟十五号载人飞船不是绕地球表面运行，所以神舟十五号的运行速度小于7.9 km/s，故A错误；
B．由
可得，地球的质量为
故B错误；
C．由
可得，地球表面重力加速度为
故C正确；
D．根据开普勒第三定律可知，如果离地高度增大为2h，神舟十五号载人飞船运行周期将会变大，故D错误。
故选：C。
【分析】第一宇宙速度7.9km/s是卫星最大的环绕速度；根据万有引力提供向心力，求地球质量；在地球表面，根据万有引力等于重力大小，求地球表面重力加速度；根据开普勒第三定律，分析周期变化。
5．【答案】C
【知识点】万有引力定律
【解析】【解答】已知 飞船质量为m，地球质量为M，地球半径为R。万有引力常量为G ，当飞船离地面的高度为h时，飞船与地球之间的万有引力大小为
故选C。
【分析】根据万有引力公式可以求出飞船和地球之间引力的大小。
6．【答案】D
【知识点】引力常量及其测定
【解析】【解答】所施加的力为万有引力，由万有引力定律得：
，
根据平面镜反射定律及几何关系可知，石英丝 N发生扭转的角度为：
，
又F = k△θ，
联立解得：
，
故ABC错误， D正确；
故答案为：D。
【分析】为测量石英丝极的扭转角，实验采取了“微小量放大”，当引进m'时由于物体间引力作用，使石英丝极发生微小的扭转，从而带动平面镜转动，导致经平面镜反射过来的光线发生较大变化，根据平面镜反射定律及几何关系得出转动的角度，根据万有引力定律和水平力F与石英丝N发生扭转的角度△θ成正比，联立求解万有引力常数即可。
7．【答案】D
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】设土星的质量为M，两颗卫星的质量分别为、，土星对卫星的万有引力充当卫星做圆周运动的向心力，对两颗卫星，有
解得
ABC不符合题意，D符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据万有引力充当向心力，由牛顿第二定律列式求解即可。
8．【答案】A
【知识点】万有引力定律的应用；双星（多星）问题
【解析】【解答】D． a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆，由于m<解得
故D错误；
A．设c与a、b的连线与a、b连线中垂线的夹角为α，则a、b天体与c的距离为
a、b天体对c的万有引力大小相等，均为
则根据力的合成与分解及牛顿第二定律，对c天体有
联立解得
则c做匀速圆周运动的轨道半径为
根据
可知c的线速度大小为a的倍，故A正确；
B．由
由于 a、b、c的角速度相等，可知c的向心加速度大小是b的倍，故B错误；
C．根据几何关系可知，c在一个周期内运动的路程为
故C错误。
故选A。
【分析】m<9．【答案】D
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】设月球半径为R，则卫星高度
由于万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律可得
又
联立解得
故ABC错误，D正确。
故选： D。
【分析】 嫦娥六号绕月球转动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有，根据质量密度公式有，联立推导出月球的平均密度。
10．【答案】A
【知识点】万有引力定律的应用；第一、第二与第三宇宙速度
【解析】【解答】地球对近地卫星的引力提供向心力，根据牛顿第二定律可得
解得第一宇宙速度为
根据黄金代换式
解得
故选A。
【分析】根据引力提供向心力结合黄金代换等式可以求出第一宇宙速度的大小。
11．【答案】A
【知识点】万有引力定律的应用；卫星问题
【解析】【解答】A．卫星受到地球的引力做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律可知
解得卫星的周期为：
因此轨道半径越高，周期就越长，故“高分五号”的运行周期小于“高分四号”，故A正确；
B．卫星受到地球的引力做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律可知
解得角速度的大小为
可知半径越大，角速度越小，故“高分五号”的角速度大于“高分四号”的角速度，故B错误；
C．卫星受到地球的引力做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律可知
解得线速度的大小为
可知半径越大，速度越小，故“高分五号”的运行速度大于“高分四号”的运行速度，故C错误；
D．卫星受到地球的引力做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律可知
解得
可知半径越大，向心加速度越小，故“高分五号”的向心加速度大于“高分四号”的向心加速度，故D错误。
故选A。
【分析】卫星做匀速圆周运动，利用引力提供向心力结合半径的比较可以比较卫星线速度、角速度、周期和向心加速度的大小。
12．【答案】D
【知识点】万有引力定律的应用；卫星问题
【解析】【解答】设地球的质量为M，近地卫星的质量为m，近地卫星做匀速圆周运动的轨道半径为地球半径R，由地球的吸引力提供向心力，根据牛顿第二定律得
则近地卫星的线速度为：
设探测器质量为m＇，在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速度大小为v＇根据牛顿第二定律有
解得探测器的线速度大小为：
ABC错误，D正确。
故选D。
【分析】根据引力提供向心力可以求出探测器绕火星运动的线速度大小。
13．【答案】A,B,D
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】AB．由图像可知星球表面处的重力加速度
得
水平抛出要使物体不再落回星球表面，即成为星球的卫星
AB正确；
CD．竖直上抛要使物体不再落回星球表面，即脱离星球的引力，根据
得
由
将
代入得
C错误、D正确。
故选ABD。
【分析】根据H-t图像分析：
1.根据图像知，物体下落位移为h时，所需的时间为t0，根据运动学公式分析星球表面的重力加速度。
2.水平抛和竖直抛出物体后不再落回星球表面的意义即分别为成为星球的卫星和脱离星球的引力。根据万有引力提供向心力分析对应的速度。
14．【答案】A,C
【知识点】万有引力定律的应用；卫星问题
【解析】【解答】A．行星受到太阳的引力提供向心力，根据牛顿第二定律得
解得
轨道半径越小，周期越小，所以水星的周期小于海王星的周期，A正确；
B．行星受到太阳的引力提供向心力，根据牛顿第二定律得
解得
轨道半径越小，加速度越大，所以金星的加速度大于木星的加速度，B错误；
C．行星受到太阳的引力提供向心力，根据牛顿第二定律得
解得
轨道半径越小，线速度越大，地球的线速度小于水星的线速度，C正确；
D．行星受到太阳的引力提供向心力，根据牛顿第二定律得
解得
轨道半径越小，角速度越大，火星的角速度大于天王星的角速度，D错误。
故选AC。
【分析】利用太阳对行星的引力提供向心力结合半径的大小可以比较角速度、线速度、周期和加速度的大小。
15．【答案】A,B
【知识点】万有引力定律的应用；卫星问题
【解析】【解答】AB．卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得
可得线速度和向心加速度的表达式为：
，
根据卫星半径的比较可知b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度；b、c的向心加速度大小相等，且小于a的向心加速度，故AB正确；
C．c加速会导致向心力大于卫星受到的引力，卫星c将做离心运动，不能追上同一轨道上的b；b减速会导致向心力小于引力，卫星b将做近心运动，不可以等候同一轨道上的c，故C错误；
D．a卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，则引力对卫星做正功，其线速度将增大，故D错误。
故选AB。
【分析】根据引力提供向心力结合半径的大小可以比较线速度和向心加速度的大小；卫星进行加速或减速会变轨，所以不能与同一轨道的卫星相遇；当卫星轨道半径减小时，由于引力做正功则卫星速度增大。
16．【答案】A,D
【知识点】万有引力定律；卫星问题
【解析】【解答】A．万有引力提供向心力
故A正确；
B．根据万有引力提供向心力
解得
故B错误；
C．根据
可知，空间站的周期小于月球的周期，即空间站绕地球运动周期小于T，故C错误；
D．对空间站
解得
角速度
则
解得
故D正确。
故选AD。
【分析】月球受地球万有引力提供向心力，由于空间站“凌月”现象，所以空间站绕地球运动的角速度大于月球的角速度。
17．【答案】C,D
【知识点】物理学史；引力常量及其测定
【解析】【解答】A．在甲图中，伽利略根据理想斜面实验，提出了力不是维持物体运动的原因，A错误；
B．在乙图中，卡文迪许通过引力扭秤实验，测定出了万有引力常量，B错误；
C．在丙图中，伽利略通过斜面实验进行探究，通过实验加推理的研究方法得到自由落体的速度与时间成正比，C正确；
D．在丁图中，开普勒通过第谷的大量天文观测数据总结了行星运动的规律，D正确；
故选CD。
【分析】伽利略根据理想斜面实验，提出了力不是维持物体运动的原因；卡文迪许测定出了万有引力常量；伽利略通过实验加推理的研究方法得到自由落体的速度与时间成正比；开普勒通过第谷的大量天文观测数据总结了行星运动的规律。
18．【答案】（1）D
（2）B；C
（3）
【知识点】引力常量及其测定
【解析】【解答】（1）卡文迪许扭秤实验采用的主要研究方法是放大法，
故答案为：D。
（2）A．大球和小球之间的距离和其尺寸数量级相当，不可当作质点，但是可认为球的质量都集中在球心位置，万有引力定律仍适用，选项A错误；
B．扭秤装在封闭的箱子里是为了防止空气不均匀受热引起的气流对微小力测量的干扰，选项B正确；
C．卡文迪许利用扭秤测定了万有引力常数的数值，被称为第一个测量地球质量的人，选项C正确；
D．大球和小球除了相互之间的引力之外还会受到重力，但是重力在竖直方向，对水平方向的引力无影响，即对该实验的测量无影响，选项D错误。
故答案为：BC。
（3）平面镜转过的角度为
平衡时满足
由万有引力定律
联立解得
【分析】（1）在物理现象或待测物理量十分微小的情况下，把 物理现象或待测物理量按一定规律放大后再进行 观察和测量，这种方法称为放大法。
（2）重力在竖直方向，对水平方向的引力无影响；
（3）求出平面镜转过的角度， 弹性恢复力矩可以表示为常数k乘以悬丝旋转角， 引力力矩大小可以表示为引力的大小乘以作用点到支点的距离 ，二者相等列出等式求解。
19．【答案】解（1）根据万有引力提供向心力，对恒星有
得
，故答案为：
（2）在区域，设星系密度为，根据万有引力提供向心力，则有
根据，，联立可得
，故答案为：
（3）在区域，根据万有引力提供向心力，有
其中
根据题意有，，，得
，故答案为：
【知识点】万有引力定律；卫星问题
【解析】 【分析】根据万有引力提供向心力可列相关表达式，对各式子进行化简可求相关物理量。
20．【答案】解：设卫星离地面高度为
由以上三式解得
【知识点】向心加速度；引力常量及其测定
【解析】【分析】根据万有引力充当向心力和万有引力等于重力，结合向心加速度的公式，求解地球同步卫星的向心加速度大小。
21．【答案】解：（1）根据
可知在轨运行时，空间站的线速度和微型卫星的线速度之比为
（2）以空间站为对象，由万有引力提供向心力可得
在地球表面处有
以微型卫星为对象，根据牛顿第二定律可得
联立解得机械臂对微型卫星的作用力大小为
（3）卫星由当前半径为r的圆轨道变轨到离地球更远的半径为的圆轨道，则卫星在半径为r的圆轨道时具有的引力势能为
卫星在半径为的圆轨道时具有的引力势能为
根据
可得在此过程中，万有引力对卫星做的功为
【知识点】万有引力定律的应用；卫星问题
【解析】【分析】（1） 微型卫星与空间站一起做角速度为的匀速圆周运动，根据结合半径之比可得线速度之比；
（2）以空间站为对象，由万有引力提供向心力，在地球表面处重力近似等于万有引力，结合牛顿第二定律求解；
（3）根据引力势能表达式求解引力势能，根据功能关系，万有引力对卫星做的功等于卫星引力势能的变化。
22．【答案】解：（1）地球表面上的物体受到的万有引力近似等于物体的重力，有
卫星做圆周运动的向心力由地球对卫星的万有引力提供，有
联立以上两式，解得
（2）卫星绕地球做圆周运动的周期
【知识点】万有引力定律的应用；卫星问题
【解析】【分析】（1）地球对表面物体的引力形成重力，利用牛顿第二定律结合引力提供向心力可以求出卫星的运行速度；
（2）卫星绕地球做匀速圆周运动，利用线速度和周期的关系可以求出周期的大小。
23．【答案】（1）解：物体在月球表面做平抛运动，
水平方向上：，
竖直方向上：，
解得月球表面的重力加速度：
（2）解：对月球表面质量为m的物体，根据万有引力等于重力：，
解得：
（3）解：第一宇宙速度是近地飞行的线速度，根据万有引力提供向心力有：，
解得：
【知识点】牛顿第二定律；平抛运动；万有引力定律的应用；第一、第二与第三宇宙速度
【解析】【分析】（1）物体在月球表面做平抛运动，根据题意确定小球在水平和竖直方向的位移，再根据平抛运动规律进行解答；
（2）星球表面的物体，所受重力等于其万有引力，再根据万有引力定律及牛顿第二定律进行解答；
（3）第一宇宙速度是近地飞行的线速度，此时卫星绕月运行的轨道半径等于月球半径，此时万有引力提供向心力，再结合牛顿第二定律进行解答。
24．【答案】（1）解：假设月球表面有一质量为m的物体，则受到的重力等于与月球的万有引力
整理得到：
（2）解：嫦娥四号运行过程中，万有引力提供向心力G＝m'r
代入（1）中求到的M，得到：
（3）解：月球的第一宇宙速度为饶月球表面运动的速度，有：
代入（1）中得到的结果，整理得到：
【知识点】万有引力定律的应用；第一、第二与第三宇宙速度
【解析】【分析】（1）根据放在月球表面的物体受到的万有引力等于重力，求解月球质量；（2）根据万有引力等于重力，求解嫦娥四号的运行周期；（3）根据第一宇宙速度的物理意义，求解月球上的第一宇宙速度。
25．【答案】解： （1）近地卫星绕地球做匀速圆周运动，设离地面的高度为h，卫星质量为m，由万有引力提供向心力，由牛顿第二定律可得：
解得
当
h可以忽略不计，有
当质量为的物体在地球表面时，重力等于万有引力
得
联立解得地球的第一宇宙速度为
故答案为：
（2）已知月球绕地球做圆周运动的半径为、周期为，由周期定理可知
k与地球有关，当探月卫星绕月球做圆周运动的半径为、周期为，由开普勒第三定律知
与月球有关，所以有
得小明的观点不正确。
（3）a．根据题意，“中国空间站”在最初轨道上做圆周运动时，根据牛顿第二定律，得
解得
动能为
以无限远为零势能点，“天宫”在最初轨道上做圆周运动的引力势能为
所以，“中国空间站”在最初轨道上做圆周运动的机械能为
同理，“中国空间站”轨道高度下降后的机械能为
损失的机械能为
b．由于和相差不大，可认为空间站的线速度几乎不变，运动t时间后，阻力做功使机械能减少，即
联立解得
故答案为：a.，b.
【知识点】万有引力定律的应用；第一、第二与第三宇宙速度；卫星问题
【解析】【分析】利用黄金代换式可求第一宇宙速度，卫星做匀速圆周运动，利用牛顿运动定理与万有引力定律可求相关物理量的大小，根据能量的表达式结合速度求解相关能量的变化量。
1 / 1高考物理一轮复习：万有引力
一、选择题
1．（2024高一下·丰城期末）2023年3月16日，在湖北省举行的科技创新大会，华中科技大学获奖41项，其中“万有引力常数G的精确测量”项目获湖北省科技进步特等奖。关于万有引力定律及引力常量，下列说法正确的是（ ）
A．由公式可知，当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
B．万有引力定律只适用于天体之间
C．开普勒发现了万有引力定律，但没有测定出引力常量
D．引力常量G值最早是英国物理学家卡文迪什用扭称实验测得
【答案】D
【知识点】万有引力定律；引力常量及其测定
【解析】【解答】A．r趋于零时，万有引力公式不适用，故A错误；
B．万有引力定律适用于自然界中任何两个物体之间的作用，故B错误；
CD．引力常量G值是英国物理学家卡文迪什用扭称实验测得，故C错误，D正确；
故选D。
【分析】 牛顿发现了万有引力定律，万有引力定律适用质点间引力计算，趋于零时，万有引力公式不适用。
2．（2024高一下·荥经期末）下列说法中正确的是（ ）
A．开普勒提出行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
B．牛顿发现万有引力定律，并测得引力常量
C．相对论物理学研究的是物体在低速运动时所遵循规律
D．相对论物理学和量子力学的出现，使牛顿力学失去了意义
【答案】A
【知识点】开普勒定律；引力常量及其测定；相对论时空观与牛顿力学的局限性
【解析】【解答】A．行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，故A正确；
B．卡文迪许测得引力常量，故B错误；
C．物体在高速运动时所遵循规律是相对论物理学，故C错误；
D．牛顿力学是相对论物理学和量子力学的一种特殊情况 ，所以牛顿力学没有失去意义，故D错误。
故选A。
【分析】熟记物理学历史是解题关键。
3．（2024高二上·望城开学考）北京时间2021年10月16日，我国长征二号F运载火箭搭载神舟十三号载人飞船顺利升空，11月8日两名航天员圆满完成出舱活动全部既定任务。如图为三舱做匀速圆周运动的在轨简图，已知三舱飞行周期为T，地球半径为，轨道舱的质量为m，距离地面的高度为，引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．返回舱和轨道舱对接时各自受力平衡
B．长征二号F运载火箭需要把神舟十三号载人飞船加速到第二宇宙速度，然后停止加速
C．三舱在轨运行的速度大小为
D．由已知数据可以求出地球的质量和密度
【答案】D
【知识点】万有引力定律；第一、第二与第三宇宙速度；卫星问题
【解析】【解答】A．返回舱和轨道舱对接时二者相对静止均做匀速圆周运动，并非处于受力平衡状态，A错误；
B．第一宇宙速度为地球卫星的最小发射速度也是最大环绕速度，当卫星的速度达到第二宇宙速度时，人造卫星将脱离地球的束缚，B错误；
C．三舱在轨飞行的速度大小为
选项C错误；
D．设地球质量为M，地球密度为ρ，由
得
D正确。
故选D。
【分析】根据万有引力提供向心力分析：
1.匀速圆周运动并非平衡态，做匀速圆周运动的物体合力指向圆心。
2.理解宇宙速度。
3.根据万有引力提供向心力计算环绕天体的环绕速度和计算中心天体的质量和密度。
4．（2024高一下·渌口期末）北京时间2024年4月26日，神舟十八号载人飞船升空6.5小时后采用自主快速交会对接模式，对接于中国空间站天和核心舱径向对接口。当天05时04分，在轨执行任务的神舟十七号航天员乘组顺利打开舱门，迎接神舟十八号航天员乘组入驻“天宫”。若神舟十八号载人飞船绕地球的运动看做匀速圆周运动，周期为T，离地高度为h，已知地球半径为R，引力常量为G，则（ ）
A．神舟十八号载人飞船的运行速度大于7.9 km/s
B．地球的质量为
C．地球表面重力加速度为
D．若离地高度增大为2h，神舟十八号载人飞船运行周期将会减小
【答案】C
【知识点】万有引力定律；第一、第二与第三宇宙速度；卫星问题
【解析】【解答】A．第一宇宙速度为7.9 km/s，是最大的环绕速度，是围绕地球表面运行时的线速度，而神舟十五号载人飞船不是绕地球表面运行，所以神舟十五号的运行速度小于7.9 km/s，故A错误；
B．由
可得，地球的质量为
故B错误；
C．由
可得，地球表面重力加速度为
故C正确；
D．根据开普勒第三定律可知，如果离地高度增大为2h，神舟十五号载人飞船运行周期将会变大，故D错误。
故选：C。
【分析】第一宇宙速度7.9km/s是卫星最大的环绕速度；根据万有引力提供向心力，求地球质量；在地球表面，根据万有引力等于重力大小，求地球表面重力加速度；根据开普勒第三定律，分析周期变化。
5．（2024高一下·红桥期末）2022年6月5日，我国神舟十四号载人飞船成功发射。已知飞船质量为m，地球质量为M，地球半径为R。万有引力常量为G，当飞船离地面的高度为h时，飞船与地球之间的万有引力大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】万有引力定律
【解析】【解答】已知 飞船质量为m，地球质量为M，地球半径为R。万有引力常量为G ，当飞船离地面的高度为h时，飞船与地球之间的万有引力大小为
故选C。
【分析】根据万有引力公式可以求出飞船和地球之间引力的大小。
6．（2024高一下·平度月考） 如图所示，是卡文迪什测量万有引力常数的实验示意图，根据胡克定律及转动理论可知，两平衡球受到的等大反向且垂直水平平衡杆的水平力F与石英丝N发生扭转的角度成正比，即，k的单位为，可以通过固定在T形架上平面镜M的反射点在弧形刻度尺上移动的弧长求出来，弧形刻度尺的圆心正是光线在平面镜上的入射点，半径为R。已知两平衡球质量均为m，两施力小球的质量均为，与对应平衡球的距离均为r，施加给平衡球的力水平垂直平衡杆，反射光线在弧形刻度尺上移动的弧长为，则测得万有引力常数为（平面镜M扭转角度为时，反射光线扭转角度为）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】引力常量及其测定
【解析】【解答】所施加的力为万有引力，由万有引力定律得：
，
根据平面镜反射定律及几何关系可知，石英丝 N发生扭转的角度为：
，
又F = k△θ，
联立解得：
，
故ABC错误， D正确；
故答案为：D。
【分析】为测量石英丝极的扭转角，实验采取了“微小量放大”，当引进m'时由于物体间引力作用，使石英丝极发生微小的扭转，从而带动平面镜转动，导致经平面镜反射过来的光线发生较大变化，根据平面镜反射定律及几何关系得出转动的角度，根据万有引力定律和水平力F与石英丝N发生扭转的角度△θ成正比，联立求解万有引力常数即可。
7．（2024·贵州） 土星的部分卫星绕土星的运动可视为匀速圆周运动，其中的两颗卫星轨道半径分别为，且，向心加速度大小分别为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】设土星的质量为M，两颗卫星的质量分别为、，土星对卫星的万有引力充当卫星做圆周运动的向心力，对两颗卫星，有
解得
ABC不符合题意，D符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据万有引力充当向心力，由牛顿第二定律列式求解即可。
8．（2024·重庆） 在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体（图中未画出）质量为m（m << M），若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则（ ）
A．c的线速度大小为a的倍 B．c的向心加速度大小为b的一半
C．c在一个周期内的路程为2πr D．c的角速度大小为
【答案】A
【知识点】万有引力定律的应用；双星（多星）问题
【解析】【解答】D． a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆，由于m<解得
故D错误；
A．设c与a、b的连线与a、b连线中垂线的夹角为α，则a、b天体与c的距离为
a、b天体对c的万有引力大小相等，均为
则根据力的合成与分解及牛顿第二定律，对c天体有
联立解得
则c做匀速圆周运动的轨道半径为
根据
可知c的线速度大小为a的倍，故A正确；
B．由
由于 a、b、c的角速度相等，可知c的向心加速度大小是b的倍，故B错误；
C．根据几何关系可知，c在一个周期内运动的路程为
故C错误。
故选A。
【分析】m<9．（2024·海南） 嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】设月球半径为R，则卫星高度
由于万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律可得
又
联立解得
故ABC错误，D正确。
故选： D。
【分析】 嫦娥六号绕月球转动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有，根据质量密度公式有，联立推导出月球的平均密度。
10．（2024高一下·西城期末）已知地球质量为M，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G。用上述物理量计算地球的第一宇宙速度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】万有引力定律的应用；第一、第二与第三宇宙速度
【解析】【解答】地球对近地卫星的引力提供向心力，根据牛顿第二定律可得
解得第一宇宙速度为
根据黄金代换式
解得
故选A。
【分析】根据引力提供向心力结合黄金代换等式可以求出第一宇宙速度的大小。
11．（2024高一下·西城期末）我国高分系列卫星的高分辨率，为现代农业、防灾减灾、环境监测等提供了可靠稳定的卫星数据支持。系列卫星中的“高分四号”轨道高度约为36000km、“高分五号”轨道高度约为705km，它们都绕地球做匀速圆周运动。与“高分五号”相比，“高分四号”有较大的（ ）
A．周期 B．角速度 C．线速度 D．向心加速度
【答案】A
【知识点】万有引力定律的应用；卫星问题
【解析】【解答】A．卫星受到地球的引力做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律可知
解得卫星的周期为：
因此轨道半径越高，周期就越长，故“高分五号”的运行周期小于“高分四号”，故A正确；
B．卫星受到地球的引力做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律可知
解得角速度的大小为
可知半径越大，角速度越小，故“高分五号”的角速度大于“高分四号”的角速度，故B错误；
C．卫星受到地球的引力做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律可知
解得线速度的大小为
可知半径越大，速度越小，故“高分五号”的运行速度大于“高分四号”的运行速度，故C错误；
D．卫星受到地球的引力做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律可知
解得
可知半径越大，向心加速度越小，故“高分五号”的向心加速度大于“高分四号”的向心加速度，故D错误。
故选A。
【分析】卫星做匀速圆周运动，利用引力提供向心力结合半径的比较可以比较卫星线速度、角速度、周期和向心加速度的大小。
12．（2024高一下·东坡期末）2020年7月23日，我国在中国文昌航天发射场，成功发射首次火星探测任务天问一号探测器，目前系统状态良好，将于2021年2月抵达火星。已知火星半径约为地球半径的二分之一，质量约为地球质量的十分之一，近地卫星绕地球运行速度大小为v。若天问一号探测器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动，其速度大小约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】万有引力定律的应用；卫星问题
【解析】【解答】设地球的质量为M，近地卫星的质量为m，近地卫星做匀速圆周运动的轨道半径为地球半径R，由地球的吸引力提供向心力，根据牛顿第二定律得
则近地卫星的线速度为：
设探测器质量为m＇，在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速度大小为v＇根据牛顿第二定律有
解得探测器的线速度大小为：
ABC错误，D正确。
故选D。
【分析】根据引力提供向心力可以求出探测器绕火星运动的线速度大小。
二、多项选择题
13．（2024高二上·望城开学考）万有引力作用下的物体具有引力势能，取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为r时的引力势能为Ep = - G（G为引力常量，M、m分别为星球和物体的质量），在一半径为R的星球上，一物体从星球表面某高度处自由下落(不计空气阻力)，自开始下落计时，得到物体在星球表面下落高度H随时间t变化的图象如图所示，则（ ）
A．在该星球表面上以的初速度水平抛出一物体，物体将不再落回星球表面
B．在该星球表面上以的初速度水平抛出一物体，物体将不再落回星球表面
C．在该星球表面上以的初速度竖直上抛一物体，物体将不再落回星球表面
D．在该星球表面上以的初速度竖直上抛一物体，物体将不再落回星球表面
【答案】A,B,D
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】AB．由图像可知星球表面处的重力加速度
得
水平抛出要使物体不再落回星球表面，即成为星球的卫星
AB正确；
CD．竖直上抛要使物体不再落回星球表面，即脱离星球的引力，根据
得
由
将
代入得
C错误、D正确。
故选ABD。
【分析】根据H-t图像分析：
1.根据图像知，物体下落位移为h时，所需的时间为t0，根据运动学公式分析星球表面的重力加速度。
2.水平抛和竖直抛出物体后不再落回星球表面的意义即分别为成为星球的卫星和脱离星球的引力。根据万有引力提供向心力分析对应的速度。
14．（2024高一下·周至期末）太阳系有八大行星，离太阳由近至远的行星分别为水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星，如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．水星的周期小于海王星的周期
B．金星的加速度小于木星的加速度
C．地球的线速度小于水星的线速度
D．火星的角速度小于天王星的角速度
【答案】A,C
【知识点】万有引力定律的应用；卫星问题
【解析】【解答】A．行星受到太阳的引力提供向心力，根据牛顿第二定律得
解得
轨道半径越小，周期越小，所以水星的周期小于海王星的周期，A正确；
B．行星受到太阳的引力提供向心力，根据牛顿第二定律得
解得
轨道半径越小，加速度越大，所以金星的加速度大于木星的加速度，B错误；
C．行星受到太阳的引力提供向心力，根据牛顿第二定律得
解得
轨道半径越小，线速度越大，地球的线速度小于水星的线速度，C正确；
D．行星受到太阳的引力提供向心力，根据牛顿第二定律得
解得
轨道半径越小，角速度越大，火星的角速度大于天王星的角速度，D错误。
故选AC。
【分析】利用太阳对行星的引力提供向心力结合半径的大小可以比较角速度、线速度、周期和加速度的大小。
15．（2024高一下·红桥期末）下图中a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是（ ）
A．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
B．b、c的向心加速度大小相等，且小于a的向心加速度
C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的c
D．a卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将减小
【答案】A,B
【知识点】万有引力定律的应用；卫星问题
【解析】【解答】AB．卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得
可得线速度和向心加速度的表达式为：
，
根据卫星半径的比较可知b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度；b、c的向心加速度大小相等，且小于a的向心加速度，故AB正确；
C．c加速会导致向心力大于卫星受到的引力，卫星c将做离心运动，不能追上同一轨道上的b；b减速会导致向心力小于引力，卫星b将做近心运动，不可以等候同一轨道上的c，故C错误；
D．a卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，则引力对卫星做正功，其线速度将增大，故D错误。
故选AB。
【分析】根据引力提供向心力结合半径的大小可以比较线速度和向心加速度的大小；卫星进行加速或减速会变轨，所以不能与同一轨道的卫星相遇；当卫星轨道半径减小时，由于引力做正功则卫星速度增大。
16．（2024高一下·江岸期末）如图是2023年清华大学摄影爱好者成功拍摄到的中国空间站“凌月”画面。空间站与月球在同一轨道平面且绕行方向相同，在地球上观测月球时看到空间站在月球前面快速掠过的过程即为“凌月”过程，整个过程持续时间极短，仅约半秒钟。已知地球半径为，月球半径为，空间站绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r，月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球表面的重力加速度为g，引力常数为G，则下列说法正确的是（ ）
A．月球绕地球运动的轨道半径为
B．地球的质量为
C．空间站绕地球运动周期大于T
D．再次出现空间站凌月现象的时间为
【答案】A,D
【知识点】万有引力定律；卫星问题
【解析】【解答】A．万有引力提供向心力
故A正确；
B．根据万有引力提供向心力
解得
故B错误；
C．根据
可知，空间站的周期小于月球的周期，即空间站绕地球运动周期小于T，故C错误；
D．对空间站
解得
角速度
则
解得
故D正确。
故选AD。
【分析】月球受地球万有引力提供向心力，由于空间站“凌月”现象，所以空间站绕地球运动的角速度大于月球的角速度。
17．（2024高一下·防城港期末）下图中四幅图片涉及物理学史上的四个重大发现，下列说法正确的是（ ）
A．甲图，亚里士多德根据理想斜面实验，提出了力不是维持物体运动的原因
B．乙图，牛顿通过引力扭秤实验，测定出了万有引力常量
C．丙图，伽利略通过实验加推理的研究方法得到自由落体的速度与时间成正比
D．丁图，开普勒通过大量天文观测数据总结了行星运动的规律
【答案】C,D
【知识点】物理学史；引力常量及其测定
【解析】【解答】A．在甲图中，伽利略根据理想斜面实验，提出了力不是维持物体运动的原因，A错误；
B．在乙图中，卡文迪许通过引力扭秤实验，测定出了万有引力常量，B错误；
C．在丙图中，伽利略通过斜面实验进行探究，通过实验加推理的研究方法得到自由落体的速度与时间成正比，C正确；
D．在丁图中，开普勒通过第谷的大量天文观测数据总结了行星运动的规律，D正确；
故选CD。
【分析】伽利略根据理想斜面实验，提出了力不是维持物体运动的原因；卡文迪许测定出了万有引力常量；伽利略通过实验加推理的研究方法得到自由落体的速度与时间成正比；开普勒通过第谷的大量天文观测数据总结了行星运动的规律。
三、非选择题
18．（2024高一下·成都期中） 1798年，卡文迪许在《伦敦皇家学会哲学学报》论文中发表了“扭秤”的思想，如图1所示。
（1）卡文迪许扭秤实验采用的主要研究方法是（ ）
A．控制变量法 B．累积法
C．转换研究对象法 D．放大法
（2）关于卡文迪许扭秤实验下列说法正确的是（ ）
A．大球和小球之间的距离和其尺寸数量级相当，不可当作质点，万有引力定律不适用
B．扭秤装在封闭的箱子里是为了防止空气不均匀受热引起的气流对微小力测量的干扰
C．卡文迪许利用扭秤测定了万有引力常数的数值，被称为第一个测量地球质量的人
D．大球和小球除了相互之间的引力之外还会受到重力，重力对该实验的测量有影响
（3）卡文迪许扭秤的某种现代简化模型如图2所示，两个质量为的小球固定在一根总长度为L的轻杆两端，用一根石英悬丝将轻杆水平的悬挂起来，距离小球r处放置两个质量为的大球。根据万有引力定律，固定小球的轻杆会受到一个力矩而转动，从而使石英悬丝扭转。引力力矩与悬丝的弹性恢复力矩大小相等，已知引力力矩大小可以表示为引力的大小乘以作用点到支点的距离，弹性恢复力矩可以表示为常数k乘以悬丝旋转角。激光水平入射到固定于悬丝上的平面镜上，弧形标尺到平面镜的距离为d。从静止释放轻杆到最终平衡的过程中，弧形标尺上反射光点移动的距离为s，则万有引力常数的表达式为 ．（用题干中已知的物理量表示）
【答案】（1）D
（2）B；C
（3）
【知识点】引力常量及其测定
【解析】【解答】（1）卡文迪许扭秤实验采用的主要研究方法是放大法，
故答案为：D。
（2）A．大球和小球之间的距离和其尺寸数量级相当，不可当作质点，但是可认为球的质量都集中在球心位置，万有引力定律仍适用，选项A错误；
B．扭秤装在封闭的箱子里是为了防止空气不均匀受热引起的气流对微小力测量的干扰，选项B正确；
C．卡文迪许利用扭秤测定了万有引力常数的数值，被称为第一个测量地球质量的人，选项C正确；
D．大球和小球除了相互之间的引力之外还会受到重力，但是重力在竖直方向，对水平方向的引力无影响，即对该实验的测量无影响，选项D错误。
故答案为：BC。
（3）平面镜转过的角度为
平衡时满足
由万有引力定律
联立解得
【分析】（1）在物理现象或待测物理量十分微小的情况下，把 物理现象或待测物理量按一定规律放大后再进行 观察和测量，这种方法称为放大法。
（2）重力在竖直方向，对水平方向的引力无影响；
（3）求出平面镜转过的角度， 弹性恢复力矩可以表示为常数k乘以悬丝旋转角， 引力力矩大小可以表示为引力的大小乘以作用点到支点的距离 ，二者相等列出等式求解。
19．（2024高一下·朝阳期末）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。
（1）求区域的恒星做匀速圆周运动的角速度大小与r的关系；
（2）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。求区域的恒星做匀速圆周运动的角速度大小；
（3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的角速度大小随的变化关系图像，如图所示。根据在范围内的恒星角速度大小与距离r的倒数成正比，科学家预言螺旋星系周围（）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求内暗物质的质量。
【答案】解（1）根据万有引力提供向心力，对恒星有
得
，故答案为：
（2）在区域，设星系密度为，根据万有引力提供向心力，则有
根据，，联立可得
，故答案为：
（3）在区域，根据万有引力提供向心力，有
其中
根据题意有，，，得
，故答案为：
【知识点】万有引力定律；卫星问题
【解析】 【分析】根据万有引力提供向心力可列相关表达式，对各式子进行化简可求相关物理量。
20．（2024高一下·鄄城月考）已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球自转的周期为T，试求地球同步卫星的向心加速度大小。
【答案】解：设卫星离地面高度为
由以上三式解得
【知识点】向心加速度；引力常量及其测定
【解析】【分析】根据万有引力充当向心力和万有引力等于重力，结合向心加速度的公式，求解地球同步卫星的向心加速度大小。
21．（2024高一下·博爱期末）中国空间站的机械臂具有七个自由度，类似于人类手臂的灵活性，可实现抓取、拖拽、爬行、对接等功能。如图所示，在长为d的机械臂作用下，微型卫星、空间站、地球位于同一直线，伸直的机械臂沿该直线方向抓住微型卫星，微型卫星与空间站一起做角速度为的匀速圆周运动。已知地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，微型卫星质量为m，空间站轨道半径为r，求：
（1）在轨运行时，空间站的线速度和微型卫星的线速度之比；
（2）机械臂对微型卫星的作用力大小F；（忽略空间站与卫星之间的万有引力以及机械臂对空间站的作用力，用m，g，R，r，d表示）
（3）物体在引力场中具有的势能叫做引力势能。若取无穷远处为引力势能零点，质量为m的物体在地球引力场中具有的引力势能为（式中G为引力常量，M为地球的质量，r为物体到地心的距离）。若让机械臂松开卫星，通过控制卫星上自带的火箭发动机，使卫星由当前半径为r的圆轨道变轨到离地球更远的半径为的圆轨道，则在此过程中，万有引力对卫星做的功为多少？（用g、R、m、r、表示）
【答案】解：（1）根据
可知在轨运行时，空间站的线速度和微型卫星的线速度之比为
（2）以空间站为对象，由万有引力提供向心力可得
在地球表面处有
以微型卫星为对象，根据牛顿第二定律可得
联立解得机械臂对微型卫星的作用力大小为
（3）卫星由当前半径为r的圆轨道变轨到离地球更远的半径为的圆轨道，则卫星在半径为r的圆轨道时具有的引力势能为
卫星在半径为的圆轨道时具有的引力势能为
根据
可得在此过程中，万有引力对卫星做的功为
【知识点】万有引力定律的应用；卫星问题
【解析】【分析】（1） 微型卫星与空间站一起做角速度为的匀速圆周运动，根据结合半径之比可得线速度之比；
（2）以空间站为对象，由万有引力提供向心力，在地球表面处重力近似等于万有引力，结合牛顿第二定律求解；
（3）根据引力势能表达式求解引力势能，根据功能关系，万有引力对卫星做的功等于卫星引力势能的变化。
22．（2024高一下·防城港期末）高空遥感探测卫星在距地球表面高为R处绕地球做圆周运动，已知该卫星的质量为m，地球半径为R，地球表面重力加速度大小为g，万有引力常量为G。求：
（1）这颗卫星运行的运行速度大小v；
（2）这颗卫星绕地球做圆周运动的周期T；
【答案】解：（1）地球表面上的物体受到的万有引力近似等于物体的重力，有
卫星做圆周运动的向心力由地球对卫星的万有引力提供，有
联立以上两式，解得
（2）卫星绕地球做圆周运动的周期
【知识点】万有引力定律的应用；卫星问题
【解析】【分析】（1）地球对表面物体的引力形成重力，利用牛顿第二定律结合引力提供向心力可以求出卫星的运行速度；
（2）卫星绕地球做匀速圆周运动，利用线速度和周期的关系可以求出周期的大小。
23．（2024高一下·仁怀月考）某同学为探月宇航员设计了如下实验：在月球表面高h处以初速度水平抛出一个物体，然后测得该物体的水平位移为x。通过查阅资料知道月球的半径为R，引力常量为G，若物体只受月球引力的作用，求：
（1）月球表面的重力加速度9月；
（2）月球的质量M；
（3）月球的第一宇宙速度速度v。
【答案】（1）解：物体在月球表面做平抛运动，
水平方向上：，
竖直方向上：，
解得月球表面的重力加速度：
（2）解：对月球表面质量为m的物体，根据万有引力等于重力：，
解得：
（3）解：第一宇宙速度是近地飞行的线速度，根据万有引力提供向心力有：，
解得：
【知识点】牛顿第二定律；平抛运动；万有引力定律的应用；第一、第二与第三宇宙速度
【解析】【分析】（1）物体在月球表面做平抛运动，根据题意确定小球在水平和竖直方向的位移，再根据平抛运动规律进行解答；
（2）星球表面的物体，所受重力等于其万有引力，再根据万有引力定律及牛顿第二定律进行解答；
（3）第一宇宙速度是近地飞行的线速度，此时卫星绕月运行的轨道半径等于月球半径，此时万有引力提供向心力，再结合牛顿第二定律进行解答。
24．（2024高一下·岳阳月考）“嫦娥七号”探测器在2019年1月14日发射升空，已知月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g月，引力常量为G，若嫦娥四号运行轨道看作圆轨道，离月球中心的距离为r，求：
（1）月球的质量M；
（2）嫦娥四号的运行周期T；
（3）月球上的第一宇宙速度v。
【答案】（1）解：假设月球表面有一质量为m的物体，则受到的重力等于与月球的万有引力
整理得到：
（2）解：嫦娥四号运行过程中，万有引力提供向心力G＝m'r
代入（1）中求到的M，得到：
（3）解：月球的第一宇宙速度为饶月球表面运动的速度，有：
代入（1）中得到的结果，整理得到：
【知识点】万有引力定律的应用；第一、第二与第三宇宙速度
【解析】【分析】（1）根据放在月球表面的物体受到的万有引力等于重力，求解月球质量；（2）根据万有引力等于重力，求解嫦娥四号的运行周期；（3）根据第一宇宙速度的物理意义，求解月球上的第一宇宙速度。
25．（2024高一下·丰台期末）利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。
（1）已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，求地球的第一宇宙速度v。
（2）开普勒第三定律指出：所有行星轨道的半长轴a的三次方跟它的公转周期T的二次方的比都相等，即，比值k是一个对所有行星都相同的常量。
已知月球绕地球做圆周运动的半径为、周期为；探月卫星绕月球做圆周运动的半径为、周期为。小明认为，若不计周围其他天体的影响，根据开普勒第三定律可以得到。请通过推导分析小明的观点是否正确。
（3）物体间由于存在万有引力而具有的势能称为引力势能。若取物体距离地心无穷远处引力势能为零，质量为m的物体距离地心为r时的引力势能，式中M为地球的质量，G为引力常量。
材料：空间站在距离地心约6770km的轨道绕地球飞行。如果没有外力干扰，它会稳定地绕地球运动。然而空间站的轨道属于近地轨道，那里存在稀薄的大气，受微弱大气阻力的影响，空间站的高度会缓慢下降。由于阻力很小，空间站下降的高度远小于其轨道半径，例如我国空间站受大气阻力的影响1年下降的高度约为30km。
已知万有引力常量为G，地球的质量为M，空间站的质量为m，空间站最初运行的轨道半径为，由于阻力的影响，经过一段时间t后的轨道半径减小为。求：
a.时间t内空间站损失的机械能；
b.空间站受到的微弱阻力f的大小。
【答案】解： （1）近地卫星绕地球做匀速圆周运动，设离地面的高度为h，卫星质量为m，由万有引力提供向心力，由牛顿第二定律可得：
解得
当
h可以忽略不计，有
当质量为的物体在地球表面时，重力等于万有引力
得
联立解得地球的第一宇宙速度为
故答案为：
（2）已知月球绕地球做圆周运动的半径为、周期为，由周期定理可知
k与地球有关，当探月卫星绕月球做圆周运动的半径为、周期为，由开普勒第三定律知
与月球有关，所以有
得小明的观点不正确。
（3）a．根据题意，“中国空间站”在最初轨道上做圆周运动时，根据牛顿第二定律，得
解得
动能为
以无限远为零势能点，“天宫”在最初轨道上做圆周运动的引力势能为
所以，“中国空间站”在最初轨道上做圆周运动的机械能为
同理，“中国空间站”轨道高度下降后的机械能为
损失的机械能为
b．由于和相差不大，可认为空间站的线速度几乎不变，运动t时间后，阻力做功使机械能减少，即
联立解得
故答案为：a.，b.
【知识点】万有引力定律的应用；第一、第二与第三宇宙速度；卫星问题
【解析】【分析】利用黄金代换式可求第一宇宙速度，卫星做匀速圆周运动，利用牛顿运动定理与万有引力定律可求相关物理量的大小，根据能量的表达式结合速度求解相关能量的变化量。
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