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函数的奇偶性（二）
课前热身
练习：判断下列函数的奇偶性：
１）ｆ（ｘ）＝３ｘ
２）ｆ（ｘ）＝(ｘ－１)２
3）ｆ（ｘ）＝ ｘ(１－ｘ) ｘ＞０
ｘ(１＋ｘ) ｘ＜０
解：
1-x2≥0
|x+2|≠2
-1≦x≦1
x≠0且x≠-4
-1≦x ≦1且x ≠0
∴定义域为[-1,0) ∪(0,1]
√1-x2
∴f(x)=
(x+2)-2
∵f(-x)=
√1-(-x)2
-x
√1-x2
x
-
=
即f(-x)= - f(x)
∴ f(x) 为奇函数.
例1.判断函数f(x)= 的奇偶性。
|x+2|-2
√1-x2
√1-x2
x
=
⑴先求定义域，看是否关于原点对称;
⑵再判断f(－x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否恒成立。
☆ 说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:
2、已知函数
且f(-2)=10，则f(2)等于( )
A -26 B -18 C -10 D 10
1、2、4
例2：已知函数ｆ(ｘ)是定义在[-1,1]上的增函数,
且有f(x-1)＜f(3x-4),求x的取值范围.
变式：已知y=f(x)（x∈（-1，1））既是奇函数
又是减函数，且有f(1-x)+f(1-x2)＜0，
求X的取值范围.
例３；求下列函数的单调区间：
１）ｆ(X)=ｘ2－２ｘ－３的递增区间为 ．
递减区间是 ．
它们的最值分别是多少？
的递增区间为 ．
递减区间是 ．
的递增区间为 ．
递减区间是 ．
例4:已知函数f(x)对一切x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)
（1）求证：f(x)是奇函数；
（2）若f(-3)=a，试用a表示f(12)
练习:已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R都满足：
f (a·b) = a f (b) + b f (a).
（1）求 f (0)= , f (1)= .
例5：已知f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，
且满足f（x）+g（x）=
已知: f(x)是偶函数，g(x)是偶函数，x∈R, f(x) g(x)不恒为零
证明: f(x) +g(x)是偶函数。
延伸与拓展：
分析: 设h(x)=f(x)+g(x)
∵ h(x)=f(x)+g(x)不是具体给出的函数,
无法作出图象
∴ 只能用定义证明 即需证明G(-x) = G(x)
而G(-x)= f(-x) +g(-x) =f(x) +g(x)
∴ G(-x) = G(x) 命题得证
现在你能直接说明f(x)=x2+|x|是偶函数了吗？
延伸与拓展：
奇函数
非奇非偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
偶函数
类似的，同学们不难证明下面的结论：
已知: f1(x)、 f2(x)是奇函数， g1(x) 、g2(x)是偶函
数，且x∈R, f1(x)、 f2(x) 、 g1(x) 、g2(x) 不恒为零
f1(x)+ f2(x)是
f1(x) ×f2(x)是
g1(x) × g2(x)是
g1(x) +g2(x)是
f1(x)+ g1(x) 是
f1(x) × g1(x) 是
