(共45张PPT)
1.3.2 奇偶性
观察下列图片，你有何感受
x
y
0
y=x2
观察下图，思考并讨论以下问题：
(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？
(2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？
f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1)
f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1)
f(x)=x2
f(x)=|x|
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数y=x2为偶函数.
偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
例如，函数 都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.
小结：偶函数的图象关于y轴对称。
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数（evenfuntion)。
观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？
f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x为奇函数.
f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)= -f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数（oddfuntion)。
小结：奇函数的图象关于原点对称。
注意：
1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
函数的奇偶性
概念：
对于函数f(x),在它的定义域内，把任
意一个x换成－x，（x,－x都在定义域）。
①如果都有f(－x)=f(x)，则函数f(x)叫
做偶函数。
②如果都有f(－x)=-f(x)，则函数f(x)叫
做奇函数。
3．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．
【答案】(－2,0)∪(2,5)
变式训练3
答案：C
答案：a=-1,b=0
例5、判断下列函数的奇偶性：
(1)解：定义域为R
f(-x)=(-x)4=x4=f(x)
即f(-x)=f(x)
∴f(x)偶函数
(2)解：定义域为R f(-x)=(-x)5=- x5 =-f(x)
即f(-x)=-f(x)
∴f(x)奇函数
(3)解：定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)
即f(-x)=-f(x)
∴f(x)奇函数
(4)解：定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x)
即f(-x)=f(x)
∴f(x)偶函数
(2)f(x)的定义域是R，
又f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
奇、偶函数定义的逆命题也成立，即
若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立.
若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.
如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.
知识探究
思考:是否存在函数f(x)既是奇函数又是偶函数？若存在，这样的函数有何特征？一个函数就奇偶性而言有哪几种可能情形？
例：判断下列函数的奇偶性
函数按是否有奇偶性可分为四类：
奇函数
偶函数
既是奇函数又是偶函数
既不是奇函数又不是偶函数
既是奇函数又是偶函数的函数是函数值为0的常值函数. 前提是定义域关于原点对称.
若函数f(x)为奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)的值能确定吗？
由奇函数的定义知f(－0)＝－f(0)，
即f(0)＝－f(0)，
∴f(0)＝0.
0
第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称；
第二步判断f (－x)＝f (x)还是判断f (－x)＝－f (x).
归 纳：
根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法和步骤是：
*
3.若f(x)是偶函数，其定义域为R，且在[0，＋∞)上是减函数，则f(－3/4)与f(a2-a＋1)的大小关系是_______
思路：a2-a＋1＝(a-1/2)2＋3/4≥3/4，
f(－3/4)＝f(3/4)≥f(a2-a＋1)
解：函数f(x)的定义域是R，关于原点对称，
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x－1＝－(x＋1)＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)＝－f(x)，
而f(0)＝0，
∴f(x)是奇函数．
题型一 利用奇偶性求函数解析式
【例1】 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1.
(1)求f(0)的值；
(2)当x<0时，求f(x)的解析式；
(3)求f(x)在R上的解析式．
典例剖析
解：(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
(2)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝2x2＋3x－1，x<0.
题型二 函数奇偶性与单调性的综合应用
【例2】 已知奇函数y＝f(x)，x∈(－1,1)在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－3x)<0.
解：∵y＝f(x)，x∈(－1,1)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＋f(1－3x)<0
f(1－x)<－f(1－3x)
f(1－x)又y＝f(x)在(－1,1)上是减函数，
4.若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5，则f(x)在(－∞，0)上有( )
A．最小值－5 B．最大值－5
C．最小值－1 D．最大值－3
解析：选C.φ(x)、g(x)都是奇函数，
∴f(x)－2＝aφ(x)＋bg(x)为奇函数．
又f(x)有最大值5，∴f(x)－2在(0，＋∞)上有最大值3.
∴f(x)－2在(－∞，0)上有最小值－3，
∴f(x)在(－∞，0)上有最小值－1.
