浙江省台州市六校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题
1．（2024高二下·台州期中）设函数，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】∵，且，
∴．
故答案为：A．
【分析】
利用导数的定义可求的值.
2．（2024高二下·台州期中）已知随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】.
故答案为：D.
【分析】
根据随机变量的分布列结合互斥事件概率和公式计算即可.
3．（2024高二下·台州期中）若函数在处的导数等于，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】极限及其运算；导数的概念
【解析】【解答】.
答案为：B.
【分析】
根据给定条件，利用导数的定义直接计算可求解.
4．（2024高二下·台州期中）2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数使得是素数，素数对称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】依题意，20以内的素数共有8个，从中选两个共包含个基本事件，
而20以内的孪生素数有共四对，包含4个基本事件，
所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率为.
故答案为：B.
【分析】
根据古典概型概率公式的计算，即可求解.
5．（2024高二下·台州期中）展开式中的系数为（ ）
A．17 B．20 C．75 D．100
【答案】A
【知识点】二项式定理的应用；二项展开式的通项
【解析】【解答】因为，
因为的通项为：，
令可得，令可得，
所以展开式中的系数为：.
故答案为：A.
【分析】
由，先求出的通项，令和，
代入通项即可求解.
6．（2024高二下·台州期中）函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；斜率的计算公式
【解析】【解答】
设，由图可得，
而，
故，
故答案为：C.
【分析】
根据导数的几何意义和割线的斜率可得三者之间的大小关系.
7．（2024高二下·台州期中） 已知，，，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件；条件概率乘法公式
【解析】【解答】因为 ，所以
，故，故A错误；
，故D错误；
， 故B正确；
，故C错误.
故答案为：B.
【分析】根据条件概率公式即可判断A错误，B正确，C错误，根据事件的独立性公式，即可判断D错误.
8．（2024高二下·台州期中）把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图像．若对任意的，曲线与至多只有一个交点，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象与图象变化；函数恒成立问题；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】根据题意曲线C2的解析式为则方程，即，即对任意恒成立，于是的最大值，令则由此知函数在（0，2）上为增函数，在上为减函数，所以当时，函数取最大值，即为4，于是．
故答案为：B.
【分析】先得出曲线C2的解析式，将 任意的，曲线与至多只有一个交点 ，转化为对任意恒成立，令求导数，通过导数研究函数单调性、最值，即可求解.
9．（2024高二下·台州期中）设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.2 0.1 0.4 0.1
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】对于A：由，解得，
所以，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误.
故答案为：A、B、C.
【分析】
根据分布列的性质求得参数，结合分布列求得，再结合期望和方差的性质，即可判断和选择.
10．（2024高二下·台州期中）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】对于A：令，可得，故A正确；
对于B：令，，
所以，故B正确；
对于C：，
二项式的展开式的通项公式为，
所以，故C错误；
对于D：令，可得，
所以，
所以，故D正确.
故答案为：A、B、D.
【分析】
利用赋值法可判断A、B、D正确；由，利用二项式的展开式的通项公式求解可判断C错误.
11．（2024高二下·台州期中） 已知函数，其中，则（ ）．
A．不等式对恒成立
B．若直线与函数的图象有且只有两个不同的公共点，则k的取值范围是
C．方程恰有3个实根
D．若关于x的不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为
【答案】A,D
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，，
当或时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增，
所以在处取得极小值，，在处取得极大值，，
而时，恒有成立，所以的最小值是，即，
对恒成立，故A正确；
B、若函数与直线有且只有两个交点，由A可得函数的大致图象如下：
由图可知，当或时，函数与直线有且只有两个交点，故B错误；
C、由，得，解得，令，和，
而，由图象可知，和分别有两解，
综上，方程共有4个根，故C错误；
D、直线过原点，且，，记，，
易判断，，不等式恰有1个负整数解，即曲线在的图象下方对应的x值恰有1个负整数，由图可得，即，故D正确．
故答案为：AD.
【分析】对函数求导，判断其单调性，求出其最小值，可判断A选项；作出曲线的图象，根据图象可判断B选项；令，解得，数形结合可判断C选项；由直线过原点，再结合图象分析即可判断D选项．
12．（2024高二下·台州期中）方程的解是 .
【答案】1或2
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】由可得：或，
则：或，
解得：或或，
当时，显然不符合题意；
当时，则成立；
当时，则成立；
故或.
故答案为：或.
【分析】
由组合数的性质由可得或，求解并检验即可.
13．（2024高二下·台州期中）过原点的直线与相切，则切点的坐标是 .
【答案】
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】由题意设切点坐标为，
由，得，故直线的斜率为，
则直线l的方程为，
将代入，得，
则切点的坐标为，
故答案为：
【分析】
设切点坐标为，根据导数的几何意义求出切线斜率、代入点斜式得切线方程，将代入，即可求解.
14．（2024高二下·台州期中）若函数在单调递增，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：函数的导数为，
由题意，函数在上单调递增，
∴在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，，
∵在上恒成立，
∴在上恒成立，
又∵的图象是开口向下的抛物线，
∴，解得：.
∴的取值范围是.
故答案为：.
【分析】
根据导数与函数单调性的关系，由函数在单调递增得到不等式，利用二倍角公式进行三角恒等变换、换元法转化为一元二次不等式在闭区间上的恒成立问题，解不等式组即可得解.
15．（2024高二下·台州期中）已知函数在处取得极大值6.
（1）求实数的值；
（2）当时，求函数的最小值.
【答案】（1）解：，
因为在处取得极大值6.
所以，得
此时，
令可得：；令可得或，
所以在上单调递减，在，上单调递增
所以在处取得极大值，符合题意，
所以.
又，所以
（2）解：，所以
列表如下：
0 1 2 3
+ 0 0 +
1 极大值6 极小值5 10
由于，故时，.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由即可求出，再由极值的定义检验即可.
（2）对求导，得出的单调性和极值，结合端点值即可求出函数在的最小值.
（1），
因为在处取得极大值6.
所以，得
此时，
令可得：；令可得或，
所以在上单调递减，在，上单调递增
所以在处取得极大值，符合题意，
所以.
又，所以
（2），所以
列表如下：
0 1 2 3
+ 0 0 +
1 极大值6 极小值5 10
由于，故时，.
16．（2024高二下·台州期中）在的展开式中，
（1）求二项式系数最大的项；
（2）若第项是有理项，求的取值集合；
（3）系数最大的项是第几项.
【答案】（1）解：展开式有9项，二项式系数最大项为中间项，即第5项，
则；
（2）解：二项式展开式的通项为，
当为整数时为有理项，即，则的取值集合为；
（3）解：设第项的系数最大，则，即，解得，
故系数最大的项为第6项和第7项.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】（1）由二项式系数的性质求解即可；
（2）由二项式展开式的通项公式代入计算求解即可；
（3）根据题意，由项的系数列出不等式，代入计算求解即可.
17．（2024高二下·台州期中）某班共有团员12人，其中男团员8人，女团员4人，并且男 女团员各有一名组长，现从中选5人参加学校的团员座谈会.（用数字做答）
（1）若至少有1名组长当选，求不同的选法总数；
（2）若至多有2名女团员当选，求不同的选法总数；
（3）若既要有组长当选，又要有女团员当选，求不同的选法总数.
【答案】（1）解：方法一（直接法）：至少有一名组长含有两种情况：
有一名组长和两名组长，故共有种．
方法二（间接法）：至少有一名组长可以采用排除法，有种．
（2）至多有2名女团员含有四种情况：有2名女团员，有1名女团员，没有女团员，
故共有种
（3）既要有组长当选，又要有女团员当选含两类情况：
第一类：女组长当选，有种，
第二类：女组长不当选，男组长当选，有种，
共有种.
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【分析】（1）方法一、分类讨论组长的人数，利用分类计数原理和分步计数原理计算即可；方法二、利用排除法，先选人参加座谈会，再把不选组长的情况去掉即可；
（2）分类讨论女团员当选的人数情况，利用分类计数原理和分步计数原理计算即可；
（3）分类讨论女组长当选情况，利用分类计数原理和分步计数原理计算即可.
（1）方法一（直接法）：至少有一名组长含有两种情况：
有一名组长和两名组长，故共有种．
方法二（间接法）：至少有一名组长可以采用排除法，有种．
（2）至多有2名女团员含有四种情况：有2名女团员，有1名女团员，没有女团员，
故共有种
（3）既要有组长当选，又要有女团员当选含两类情况：
第一类：女组长当选，有种，
第二类：女组长不当选，男组长当选，有种，
共有种.
18．（2024高二下·台州期中）有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同.
（1）如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用表示这3个球的得分之和，求的分布列及数学期望；
（2）先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球.若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率.
【答案】（1）解：由题意，的可能值为.
，
，
所以的分布列为
3 4 5 6
所以.
（2）解：记“摸出球的结果是一红一白”为事件，“选择1号盒子”为事件，“选择2号盒子”为事件，则，
，，
由贝叶斯公式，若摸球的结果是一红一白，出自1号盒子的概率为：
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式；条件概率乘法公式；贝叶斯公式
【解析】【分析】（1）由题设的可能值为，并计算出对应概率，即得分布列，进而可求数学期望.
（2）应用条件概率公式及贝叶斯概率公式求解即可.
（1）由题意，的可能值为.
，
，
所以的分布列为
3 4 5 6
所以.
（2）记“摸出球的结果是一红一白”为事件，“选择1号盒子”为事件，“选择2号盒子”为事件，
则，
，，
由贝叶斯公式，若摸球的结果是一红一白，出自1号盒子的概率为：.
19．（2024高二下·台州期中）已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个极值点.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：
【答案】（1）解：当时，，
.
显然，当且仅当时等号成立，
所以在上单调递增.
（2）解：（i）由题设且，
若，则在上恒成立，
即单调递减，不可能有两个极值点，不符合题意；故，
又有两个极值点，
则是的两个不同正根，
所以，可得，即的取值范围是.
（ii）由（i）且，不妨设，
则
，
要证，需证，即，
只需证，
即，令，则证，
由（1）可知当时，在上递增，
又，故，
即，
综上，
【知识点】函数恒成立问题；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由题意得恒成立，即可得到单调性.
（2）（i）根据二次函数分析不符合题意，则，有两个极值点，则是的两个不同正根，根据二次函数性质，可得的取值范围.
（ii）将解析式代入中，根据韦达定理得到，代入要证明的式子，结合第一问结果，化简即可得到结果.
（1）当时，，
.
显然，当且仅当时等号成立，
所以在上单调递增.
（2）（i）由题设且，
若，则在上恒成立，
即单调递减，不可能有两个极值点，不符合题意；故，
又有两个极值点，
则是的两个不同正根，
所以，可得，即的取值范围是.
（ii）由（i）且，不妨设，
则
，
要证，需证，即，
只需证，
即，令，则证，
由（1）可知当时，在上递增，
又，故，
即，
综上，
1 / 1浙江省台州市六校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题
1．（2024高二下·台州期中）设函数，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．（2024高二下·台州期中）已知随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·台州期中）若函数在处的导数等于，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·台州期中）2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数使得是素数，素数对称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·台州期中）展开式中的系数为（ ）
A．17 B．20 C．75 D．100
6．（2024高二下·台州期中）函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高二下·台州期中） 已知，，，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高二下·台州期中）把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图像．若对任意的，曲线与至多只有一个交点，则的最小值为
A． B． C． D．
9．（2024高二下·台州期中）设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.2 0.1 0.4 0.1
若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高二下·台州期中）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高二下·台州期中） 已知函数，其中，则（ ）．
A．不等式对恒成立
B．若直线与函数的图象有且只有两个不同的公共点，则k的取值范围是
C．方程恰有3个实根
D．若关于x的不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为
12．（2024高二下·台州期中）方程的解是 .
13．（2024高二下·台州期中）过原点的直线与相切，则切点的坐标是 .
14．（2024高二下·台州期中）若函数在单调递增，则的取值范围是 ．
15．（2024高二下·台州期中）已知函数在处取得极大值6.
（1）求实数的值；
（2）当时，求函数的最小值.
16．（2024高二下·台州期中）在的展开式中，
（1）求二项式系数最大的项；
（2）若第项是有理项，求的取值集合；
（3）系数最大的项是第几项.
17．（2024高二下·台州期中）某班共有团员12人，其中男团员8人，女团员4人，并且男 女团员各有一名组长，现从中选5人参加学校的团员座谈会.（用数字做答）
（1）若至少有1名组长当选，求不同的选法总数；
（2）若至多有2名女团员当选，求不同的选法总数；
（3）若既要有组长当选，又要有女团员当选，求不同的选法总数.
18．（2024高二下·台州期中）有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有4个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同.
（1）如果从两个盒子中摸出3个球，其中从1号盒子摸1个球，从2号盒子摸两个球，规定摸到红球得2分，摸到白球得1分，用表示这3个球的得分之和，求的分布列及数学期望；
（2）先等可能地选择一个盒子，再从此盒中摸出2个球.若摸出球的结果是一红一白，求这2个球出自1号盒子的概率.
19．（2024高二下·台州期中）已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个极值点.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】∵，且，
∴．
故答案为：A．
【分析】
利用导数的定义可求的值.
2．【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】.
故答案为：D.
【分析】
根据随机变量的分布列结合互斥事件概率和公式计算即可.
3．【答案】B
【知识点】极限及其运算；导数的概念
【解析】【解答】.
答案为：B.
【分析】
根据给定条件，利用导数的定义直接计算可求解.
4．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】依题意，20以内的素数共有8个，从中选两个共包含个基本事件，
而20以内的孪生素数有共四对，包含4个基本事件，
所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成字生素数的概率为.
故答案为：B.
【分析】
根据古典概型概率公式的计算，即可求解.
5．【答案】A
【知识点】二项式定理的应用；二项展开式的通项
【解析】【解答】因为，
因为的通项为：，
令可得，令可得，
所以展开式中的系数为：.
故答案为：A.
【分析】
由，先求出的通项，令和，
代入通项即可求解.
6．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；斜率的计算公式
【解析】【解答】
设，由图可得，
而，
故，
故答案为：C.
【分析】
根据导数的几何意义和割线的斜率可得三者之间的大小关系.
7．【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件；条件概率乘法公式
【解析】【解答】因为 ，所以
，故，故A错误；
，故D错误；
， 故B正确；
，故C错误.
故答案为：B.
【分析】根据条件概率公式即可判断A错误，B正确，C错误，根据事件的独立性公式，即可判断D错误.
8．【答案】B
【知识点】函数的图象与图象变化；函数恒成立问题；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】根据题意曲线C2的解析式为则方程，即，即对任意恒成立，于是的最大值，令则由此知函数在（0，2）上为增函数，在上为减函数，所以当时，函数取最大值，即为4，于是．
故答案为：B.
【分析】先得出曲线C2的解析式，将 任意的，曲线与至多只有一个交点 ，转化为对任意恒成立，令求导数，通过导数研究函数单调性、最值，即可求解.
9．【答案】A,B,C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】对于A：由，解得，
所以，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误.
故答案为：A、B、C.
【分析】
根据分布列的性质求得参数，结合分布列求得，再结合期望和方差的性质，即可判断和选择.
10．【答案】A,B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【解答】对于A：令，可得，故A正确；
对于B：令，，
所以，故B正确；
对于C：，
二项式的展开式的通项公式为，
所以，故C错误；
对于D：令，可得，
所以，
所以，故D正确.
故答案为：A、B、D.
【分析】
利用赋值法可判断A、B、D正确；由，利用二项式的展开式的通项公式求解可判断C错误.
11．【答案】A,D
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，，
当或时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增，
所以在处取得极小值，，在处取得极大值，，
而时，恒有成立，所以的最小值是，即，
对恒成立，故A正确；
B、若函数与直线有且只有两个交点，由A可得函数的大致图象如下：
由图可知，当或时，函数与直线有且只有两个交点，故B错误；
C、由，得，解得，令，和，
而，由图象可知，和分别有两解，
综上，方程共有4个根，故C错误；
D、直线过原点，且，，记，，
易判断，，不等式恰有1个负整数解，即曲线在的图象下方对应的x值恰有1个负整数，由图可得，即，故D正确．
故答案为：AD.
【分析】对函数求导，判断其单调性，求出其最小值，可判断A选项；作出曲线的图象，根据图象可判断B选项；令，解得，数形结合可判断C选项；由直线过原点，再结合图象分析即可判断D选项．
12．【答案】1或2
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】由可得：或，
则：或，
解得：或或，
当时，显然不符合题意；
当时，则成立；
当时，则成立；
故或.
故答案为：或.
【分析】
由组合数的性质由可得或，求解并检验即可.
13．【答案】
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】由题意设切点坐标为，
由，得，故直线的斜率为，
则直线l的方程为，
将代入，得，
则切点的坐标为，
故答案为：
【分析】
设切点坐标为，根据导数的几何意义求出切线斜率、代入点斜式得切线方程，将代入，即可求解.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：函数的导数为，
由题意，函数在上单调递增，
∴在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，，
∵在上恒成立，
∴在上恒成立，
又∵的图象是开口向下的抛物线，
∴，解得：.
∴的取值范围是.
故答案为：.
【分析】
根据导数与函数单调性的关系，由函数在单调递增得到不等式，利用二倍角公式进行三角恒等变换、换元法转化为一元二次不等式在闭区间上的恒成立问题，解不等式组即可得解.
15．【答案】（1）解：，
因为在处取得极大值6.
所以，得
此时，
令可得：；令可得或，
所以在上单调递减，在，上单调递增
所以在处取得极大值，符合题意，
所以.
又，所以
（2）解：，所以
列表如下：
0 1 2 3
+ 0 0 +
1 极大值6 极小值5 10
由于，故时，.
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由即可求出，再由极值的定义检验即可.
（2）对求导，得出的单调性和极值，结合端点值即可求出函数在的最小值.
（1），
因为在处取得极大值6.
所以，得
此时，
令可得：；令可得或，
所以在上单调递减，在，上单调递增
所以在处取得极大值，符合题意，
所以.
又，所以
（2），所以
列表如下：
0 1 2 3
+ 0 0 +
1 极大值6 极小值5 10
由于，故时，.
16．【答案】（1）解：展开式有9项，二项式系数最大项为中间项，即第5项，
则；
（2）解：二项式展开式的通项为，
当为整数时为有理项，即，则的取值集合为；
（3）解：设第项的系数最大，则，即，解得，
故系数最大的项为第6项和第7项.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】（1）由二项式系数的性质求解即可；
（2）由二项式展开式的通项公式代入计算求解即可；
（3）根据题意，由项的系数列出不等式，代入计算求解即可.
17．【答案】（1）解：方法一（直接法）：至少有一名组长含有两种情况：
有一名组长和两名组长，故共有种．
方法二（间接法）：至少有一名组长可以采用排除法，有种．
（2）至多有2名女团员含有四种情况：有2名女团员，有1名女团员，没有女团员，
故共有种
（3）既要有组长当选，又要有女团员当选含两类情况：
第一类：女组长当选，有种，
第二类：女组长不当选，男组长当选，有种，
共有种.
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【分析】（1）方法一、分类讨论组长的人数，利用分类计数原理和分步计数原理计算即可；方法二、利用排除法，先选人参加座谈会，再把不选组长的情况去掉即可；
（2）分类讨论女团员当选的人数情况，利用分类计数原理和分步计数原理计算即可；
（3）分类讨论女组长当选情况，利用分类计数原理和分步计数原理计算即可.
（1）方法一（直接法）：至少有一名组长含有两种情况：
有一名组长和两名组长，故共有种．
方法二（间接法）：至少有一名组长可以采用排除法，有种．
（2）至多有2名女团员含有四种情况：有2名女团员，有1名女团员，没有女团员，
故共有种
（3）既要有组长当选，又要有女团员当选含两类情况：
第一类：女组长当选，有种，
第二类：女组长不当选，男组长当选，有种，
共有种.
18．【答案】（1）解：由题意，的可能值为.
，
，
所以的分布列为
3 4 5 6
所以.
（2）解：记“摸出球的结果是一红一白”为事件，“选择1号盒子”为事件，“选择2号盒子”为事件，则，
，，
由贝叶斯公式，若摸球的结果是一红一白，出自1号盒子的概率为：
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式；条件概率乘法公式；贝叶斯公式
【解析】【分析】（1）由题设的可能值为，并计算出对应概率，即得分布列，进而可求数学期望.
（2）应用条件概率公式及贝叶斯概率公式求解即可.
（1）由题意，的可能值为.
，
，
所以的分布列为
3 4 5 6
所以.
（2）记“摸出球的结果是一红一白”为事件，“选择1号盒子”为事件，“选择2号盒子”为事件，
则，
，，
由贝叶斯公式，若摸球的结果是一红一白，出自1号盒子的概率为：.
19．【答案】（1）解：当时，，
.
显然，当且仅当时等号成立，
所以在上单调递增.
（2）解：（i）由题设且，
若，则在上恒成立，
即单调递减，不可能有两个极值点，不符合题意；故，
又有两个极值点，
则是的两个不同正根，
所以，可得，即的取值范围是.
（ii）由（i）且，不妨设，
则
，
要证，需证，即，
只需证，
即，令，则证，
由（1）可知当时，在上递增，
又，故，
即，
综上，
【知识点】函数恒成立问题；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）由题意得恒成立，即可得到单调性.
（2）（i）根据二次函数分析不符合题意，则，有两个极值点，则是的两个不同正根，根据二次函数性质，可得的取值范围.
（ii）将解析式代入中，根据韦达定理得到，代入要证明的式子，结合第一问结果，化简即可得到结果.
（1）当时，，
.
显然，当且仅当时等号成立，
所以在上单调递增.
（2）（i）由题设且，
若，则在上恒成立，
即单调递减，不可能有两个极值点，不符合题意；故，
又有两个极值点，
则是的两个不同正根，
所以，可得，即的取值范围是.
（ii）由（i）且，不妨设，
则
，
要证，需证，即，
只需证，
即，令，则证，
由（1）可知当时，在上递增，
又，故，
即，
综上，
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