(共39张PPT)
2．2.2 函数的奇偶性
2．2 函数的简单性质
提示：
问题2：观察它们的图象有何对称性？
问题3：填写下表
表一
x －3 －2 －1 0 1 2 3
f(x)＝x2
f(x)＝|x|
9 4 1 0 1 4 9
3 2 1 0 1 2 3
表二
问题4：从上面两个表格中，可以得出什么结论？
提示：表一中：f(－x)＝f(x)，
表二中：f(－x)＝－f(x)．
奇函数 偶函数
定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对任意的x∈A，都有 ，那么称函数y＝f(x)是奇函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对任意的x∈A，都有 ，那么称函数y＝f(x)是偶函数
图象
特点 奇函数的图象关于 对称 偶函数的图象关于
对称
奇偶性 如果函数是奇函数或偶函数，就说函数f(x)具有奇偶性
f(－x)＝－f(x)
f(－x)＝f(x)
原点
y轴
函数的奇偶性定义的理解
(1)函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质．
(2)如果函数的定义域不关于原点对称，那么该函数就不具有奇偶性．所以函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
[思路点拨] 先确定函数的定义域，然后再严格按照函数奇偶性的定义来判断．
[一点通]
判断函数的奇偶性的步骤
(1)看函数的定义域是否关于原点对称．(若不对称则为非奇非偶函数)
(2)判断f(－x)与f(x)的关系．
(3)根据定义，写出结论．
①若f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数．
②若f(－x)＝f(x)，则函数f(x)为偶函数．
③若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数．
④若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．
解析：利用函数奇偶性的定义知，①④为偶函数，②⑤为非奇非偶函数，只有③为奇函数．
答案：③
2．(2011·广东高考改编)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶
函数和奇函数，则下列结论恒成立的是________．
①|f(x)|－g(x)是奇函数
②|f(x)|＋g(x)是偶函数
③f(x)－|g(x)|是奇函数
④f(x)＋|g(x)|是偶函数
解析：设F(x)＝f(x)＋|g(x)|，由f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，得F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数，又可判断其他选项不恒成立．
答案：④
②当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1
＝－(x3＋3x2－1)＝－f(x)．
由①②知，当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，都有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
[思路点拨] 设x>0，则－x<0，利用奇函数的性质f(x)＝－f(－x)得出x>0的解析式，然后用分段函数的形式写出f(x)．
[例2] 已知f(x)是R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2－x(1＋x)，求f(x)．
[一点通]
(1)利用函数的奇偶性求解函数的解析式，主要利用函数奇偶性的定义．求解一般分以下三个步骤：①设所求函数解析式中所给的区间上任一个x，即求哪个区间上的解析式，就设x在哪个区间上．②把所求区间内的变量转化到已知区间内．③利用函数奇偶性的定义f(x)＝－f(－x)或f(x)＝f(－x)求解所求区间内的解析式．
(2)由奇函数的定义可知，奇函数f(x)在x＝0处有定义时，一定有f(0)＝0.
(3)根据奇函数、偶函数图象的对称性，作出y轴一侧的图象，另一侧的图象可以由对称性得到．
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x) ＝
2x2－x，则f(1)＝__________.
答案：－3
5．(1)已知函数f(x)是奇函数，且x∈[3a＋1,3a＋5]，则a
的值为__________．
(2)已知函数f(x)＝x2＋2mx＋1是偶函数，则m的值为__________．
解析：(1)∵f(x)是定义域为[3a＋1,3a＋5]的奇函数，
∴3a＋1＋3a＋5＝0.∴a＝－1.
(2)∵f(x)＝x2＋2mx＋1是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．
∴x2＋2mx＋1＝x2－2mx＋1.∴m＝0.
答案：(1)－1 (2)0
6．如图，给出偶函数y＝f(x)的
局部图象，试作出它的y
轴右侧的图象，并比较f(1)
与f(3)的大小．
解：偶函数y＝f(x)在y轴右侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴的对称点为P′(x，f(x))，下图为补充完后的图象．易知f(1)>f(3)．
[例3] 设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
[思路点拨] 首先由奇偶性把不等式转化为f(x1)>f(x2)的形式，再利用单调性转化为x1，x2的大小关系．注意函数的定义域．
[一点通] 解决有关奇偶性与单调性的综合问题，要注意利用奇偶性进行化简，奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，同时不能漏掉函数定义域对参数的影响．
7．设f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0)上为减函数，
若x1<0，且x1＋x2>0，则f(x1)与f(x2)的大小关系为__________．
解析：∵x1＋x2>0，x1<0，∴x2>－x1>0.
∵f(x)在(－∞，0)上为减函数，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(x2)>f(－x1)，又∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－x1)＝f(x1)．故f(x2)>f(x1)．
答案：f(x2)>f(x1)
8．若函数y＝f(x)是奇函数，且y＝f(x)在[a，b](a>0)上是
单调递增的，则y＝f(x)在[－b，－a]上的单调性如何？并证明你的结论．
解：y＝f(x)在[－b，－a]上也是单调递增的．
其证明过程如下：
设－b≤x1＜x2≤－a，则b≥－x1＞－x2≥a.
又y＝f(x)在[a，b]上单调递增，
∴f(－x1)＞f(－x2)．
而y＝f(x)是奇函数，
∴f(－x1)＝－f(x1)，f(－x2)＝－f(x2)，
∴－f(x1)＞－f(x2)，即f(x1)故y＝f(x)在[－b，－a]上也是单调递增的．
(2)图象法：奇(偶)函数的等价条件是它的图象关于原点(或y轴)对称．
(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
