(共56张PPT)
丰县民族中学 李艳
§2.3 函数的奇偶性与周期性
自主学习
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数.( )
(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称.( )
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称.( )
×
√
√
√
√
√
解析
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题型一 判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3－x；
题型一 判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3－x；
解 定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－(x3－x)
＝－f(x)，
所以函数为奇函数.
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题型一 判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3－x；
(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：
解析
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题型一 判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3－x；
(2)在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
解析
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∵函数定义域不关于原点对称，
∴函数为非奇非偶函数.
解析
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(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：
解析
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(2)在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
解析
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解析
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∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x
＝－(－x2＋x)
＝－f(x)；
解析
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当x<0时，－x>0，f(x)＝x2＋x，
∴f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x
＝－(x2＋x)＝－f(x)．
所以对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
均有f(－x)＝－f(x)．
∴函数为奇函数．
解析
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(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：
解析
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(2)在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
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跟踪训练1 (1)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则下列命题正确的是________.
①f(x)与g(x)均为偶函数；②f(x)为偶函数，g(x)为奇函数；
③f(x)与g(x)均为奇函数；④f(x)为奇函数，g(x)为偶函数.
解析 由f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)可知f(x)为偶函数，由g(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－g(x)可知g(x)为奇函数.
②
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝________.
解析 ∵f(2)＝22－3＝1.
又f(x)为奇函数，
∴f(－2)＝－f(2)＝－1.
－1
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答案
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题型二 函数周期性的应用
例2 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＝________.
题型二 函数周期性的应用
利用函数的周期性求解.
∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.
∵当－3≤x<－1时，
f(x)＝－(x＋2)2，
当－1≤x<3时，f(x)＝x，
∴f(1)＝1，f(2)＝2，
f(3)＝f(－3)＝－1，
解析
答案
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例2 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＝________.
题型二 函数周期性的应用
f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＋f(2 016)
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答案
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例2 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＝________.
题型二 函数周期性的应用
又f(2 016)＝f(0)＝0.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＝336.
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答案
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例2 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＝________.
又f(2 016)＝f(0)＝0.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＝336.
题型二 函数周期性的应用
336
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例2 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＝________.
(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.
题型二 函数周期性的应用
336
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例2 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＝________.
题型二 函数周期性的应用
336
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答案
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例2 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＝________.
(2)求函数周期的方法
答案
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由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]
故函数的周期为4.
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∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5).
∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.
∴f(105.5)＝2.5.
答案
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∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5).
∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.
∴f(105.5)＝2.5.
答案
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2.5
答案
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(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.
2.5
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(2)求函数周期的方法
2.5
跟踪训练2 (1)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________.
－1
解析 由f(x)是R上周期为5的奇函数知
f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，
f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，
∴f(3)－f(4)＝－1.
解析 ∵f(x)是周期为2的奇函数，
题型三 函数性质的综合应用
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偶函数满足f(x)＝f(|x|)，根据这个结论，
答案
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题型三 函数性质的综合应用
答案
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题型三 函数性质的综合应用
答案
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题型三 函数性质的综合应用
(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.
答案
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题型三 函数性质的综合应用
答案
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题型三 函数性质的综合应用
(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便： ①f(x)为偶函数 f(x)＝f(|x|).②若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.
例3 (2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数.若a＝f(－25)，b＝f(11)，c＝f(80).则a、b、c的大小关系为________.
答案
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由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在[－2,2]上递增，
又f(x－4)＝－f(x) f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，
故函数f(x)以8为周期，
答案
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例3 (2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数.若a＝f(－25)，b＝f(11)，c＝f(80).则a、b、c的大小关系为________.
f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，
f(80)＝f(0),故f(－25)
答案
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例3 (2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数.若a＝f(－25)，b＝f(11)，c＝f(80).则a、b、c的大小关系为________.
答案
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例3 (2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数.若a＝f(－25)，b＝f(11)，c＝f(80).则a、b、c的大小关系为________.
af(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，
f(80)＝f(0),故f(－25)
答案
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(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.
例3 (2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数.若a＝f(－25)，b＝f(11)，c＝f(80).则a、b、c的大小关系为________.
a(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便： ①f(x)为偶函数 f(x)＝f(|x|).②若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.
答案
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例3 (2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数.若a＝f(－25)，b＝f(11)，c＝f(80).则a、b、c的大小关系为________.
a跟踪训练3 (1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________.
f(x)＝2x2－x，
∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.
－3
(2)(2013·天津改编)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)＋f( a)≤2f(1)，则a的取值范围是________.
解析 由题意知a>0，又 a＝log2a－1＝－log2a.
∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(log2a)＝f(－log2a)＝f( a).
(2)(2013·天津改编)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)＋f( a)≤2f(1)，则a的取值范围是________.
∵f(log2a)＋f( a)≤2f(1)，
∴2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1).
又因f(x)在[0，＋∞)上递增.
(2)(2013·天津改编)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)＋f( a)≤2f(1)，则a的取值范围是________.
∴|log2a|≤1，－1≤log2a≤1，
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
1.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1).若g(2)＝a，则f(2)＝________.
解析 ∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
∴f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)＝a，
∵f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，①
∴f(－2)＋g(－2)＝g(2)－f(2)＝a－2－a2＋2，②
由①②联立，g(2)＝a＝2，f(2)＝a2－a－2＝ .
2
3
4
5
1
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
解 f(x)为偶函数.
证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝ f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数.
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5
1
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围.
解 依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)<2 f(|x－1|)又f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
∴0<|x－1|<16，解得－15∴x的取值范围是{x|－15方 法 与 技 巧
1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.
2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：
①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中参数的值；④画函数图象，确定函数单调性.
方 法 与 技 巧
失 误 与 防 范
1.f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.
2.判断分段函数的奇偶性要有整体的观点，可以分类讨论，也可利用图象进行判断.
