2024-2025学年安徽省六安市金安区皋城中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省六安市金安区皋城中学九年级（上）开学
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程的根是( )
A. ， B. ，
C. D.
2.一次函数的函数值随的增大而增大，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.如图，，，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
4.函数与轴的交点有个．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无法确定
5.已知四边形是平行四边形，若，要使得四边形是正方形，则需要添加条件( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，，，，点是边上的动点，则的长不可能是( )
A.
B.
C.
D.
7.学校组织音乐社团学生进行“青春旋律，你我飞翔”钢琴演奏比赛，全校共有名同学进入决赛，他们的决赛成绩如下表：
成绩分
人数
则这些学生决赛成绩的中位数是( )
A. B. C. D.
8.在体育选项报考前，某九年级学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度米与水平距离米之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
9.已知二次函数的图象如图所示，则在同一坐标系中与的图象可能是( )
A. B.
C. D.
10.如图，矩形中，，，点、分别是、上的动点，，则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.计算： ______．
12.若方程有一根是，则另一根是______．
13.如图，在中，，，为的中点，于点，则______．
14.已知二次函数．
若，则函数的最大值为______．
若当时，的最大值为，则的值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
15.已知抛物线顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式．
四、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
解方程：．
17.本小题分
如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知的顶点都在格点上，直线与网线重合．
以直线为对称轴，画出关于对称的；
将向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，画出，并连接、，直接判断四边形的形状．
18.本小题分
观察下列等式：
第个等式：
第个等式：，
第个等式：，
第个等式，
写出第个等式：______；
猜想并写出第个等式，并证明它的正确性．
19.本小题分
如图，在中，是边上的中线，是边上一点，延长至点，使，连结．
求证：≌．
当，时，求的度数．
20.本小题分
为了解学生寒假阅读情况，某学校进行了问卷调查，对部分学生假期的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为小时，阅读总时间分为四个类别：，，，，将分类结果制成如下两幅统计图尚不完整．
根据以上信息，回答下列问题：
本次抽样的样本容量为______；
补全条形统计图；
扇形统计图中的值为______，圆心角的度数为______；
若该校有名学生，估计寒假阅读的总时间少于小时的学生有多少名？
21.本小题分
已知抛物线中的，满足如表：
直接写出的值；
求抛物线的解析式；
当时，直接写出的取值范围．
22.本小题分
如图，在矩形中，垂直平分对角线，分别交，于点，，垂足为．
求证：四边形为菱形；
若，，求四边形的面积；
在的条件下，求线段的长．
23.本小题分
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是，宽是按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线的点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为
求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离；
一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. 或
15.解：已知抛物线的顶点坐标为，
设此二次函数的解析式为，
把点代入解析式，得：
，即，
此函数的解析式为．
16.解：，
，即，
解得：，．
17.解：如图所示．
如图所示．
根据题意得：，
四边形为平行四边形．
18.，
由题意可得，第个等式为，
证明：左侧右侧，
成立．
19.证明：是边上的中线，
，
在和中，
，
≌；
解：，，
，
，
，
≌，
．
20.；
组的人数为人，
补全统计图如下：
，；
总时间少于小时的学生的百分比为，
估计寒假阅读的总时间少于小时的学生有名，
答：估计寒假阅读的总时间少于小时的学生有名．
21.解：抛物线经过点和，
抛物线的对称轴为直线，
和所对应的函数值相等，
；
由题意可知抛物线的顶点为，
设抛物线，
代入得，
解得，
所以抛物线的解析式为：；
抛物线开口向下，经过点和，
当时，的取值范围是或．
22.解：，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
设，则，
，
在中，
，
，
，
．
在中，
，
，
，
．
23.解：根据题意得，，
把，代入得，
解得．
所以抛物线解析式为，
则，
所以，
所以拱顶到地面的距离为；
由题意得货运汽车最外侧与地面的交点为或，
当或时，，
所以这辆货车能安全通过；
令，则，解得，，
则，
所以两排灯的水平距离最小是
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