2024-2025学年陕西省西安市雁塔区高新一中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省西安市雁塔区高新一中九年级（上）开学
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
2.如果分式的值为，那么的值为( )
A. B. C. D. 或
3.若，，，是成比例的线段，其中，，则线段的长为( )
A. B. C. D.
4.如图，在方格纸中，点、、、、、分别位于小正方形的格点上．从、、E、四个点中任意选取两个不同的点，以所取得这两个点与点、为顶点画四边形，则所画四边形是平行四边形的概率为( )
A. B.
C. D.
5.如图，正六边形外作正方形，连接交于点，则等于( )
A.
B.
C.
D.
6.若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是( )
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
7.如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，垂足为点，是的中点，连接，若，则矩形的周长是( )
A. B. C. D.
8.如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，则点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在平行四边形中，对角线相交于点，，是边的中点，、为上的点，连接和，若，，，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
10.如图，平面内三点、、，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知：，则 ______．
12.某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书本，第二组同学共带图书本已知第一组同学比第二组同学平均每人多带本图书，第二组人数是第一组人数的倍，则第一组的人数为______．
13.用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是______．
14.已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是______．
15.如图，在中，是的中点，的角平分线交于点，若：：，，则的周长为 ．
16.如图，点是菱形边的中点，点为边上一动点，连接，将沿直线折叠得到，连接，已知，，当为直角三角形时，线段的长为______．
三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解方程：
；
；
化简求值：，其中．
18.本小题分
如图，在 中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，延长至，使，连接．
求证：≌；
当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由．
19.本小题分
一个不透明的布袋里装有个白球，个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出个球，是白球的概率为．
布袋里红球有多少个？
先从布袋中摸出个球后不放回，再摸出个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．
20.本小题分
如图，在中，点为边的中点，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点求证：．
21.本小题分
某商场于今年年初以每件元的进价购进一批商品．当商品售价为每件元时，一月份销售件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销售量达到件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变．
求二、三这两个月的销售量月平均增长率；
从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价元，销售量增加件．为尽可能让利顾客，赢得市场、问：该商品售价定为多少时，商场当月获利元？
22.本小题分
定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形根据以上定义，解决下列问题：
如图，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连结．
求证：四边形是“直等补”四边形；
若，求四边形的面积．
如图，已知四边形是“直等补”四边形，其中，，过点作于点且，连接，若点是线段上的动点，请你直接写出周长的最小值．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.或
17.解：，
则，
解得：；
，
方程两边同乘以得：，
则，
解得：，
经检验是方程的根，
故方程的解为；
，其中．
则，
．
则原式．
18.证明：四边形是平行四边形，
，，，，
，
点，分别为，的中点，
，，
，
在和中，
≌；
解：当时，四边形是矩形；
理由如下：
，，
，
是的中点，
，
，
同理：，
，
，
由得：≌，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
19.解：设红球的个数为，由题意可得：
，
解得：，经检验是方程的根，
即红球的个数为个；
画树状图如下：
摸得两白．
20.证明：作于，交于，如图，
，
，
而为边的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
；
21.解：设二、三这两个月的销售量月平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为．
设该商品售价定为元，则每件的销售利润为元，当月的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽可能让利顾客，赢得市场，
．
答：该商品售价定为元时，商场当月获利元．
22.证明：四边形是菱形，
，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是“直等补”四边形；
解：如图，延长至，使，连接，
，
，
，
，
又，，
≌，
，，，
，四边形的面积，
四边形的面积；
如图，过点作直线于，连接，
，
四边形是矩形，
，，
，
四边形是“直等补”四边形，
，
，
，
又，，
≌，
，
四边形是正方形，
点，点关于对称，，
的最小值为的长，
，
的最小值为，
周长的最小值为．
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