2024-2025学年北京市朝阳区人大附中朝阳校区九年级上学期开学数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市朝阳区人大附中朝阳校区九年级上学期开学
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各根式中，与不是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.下列各式中，计算正确的是( )
A. B. C. D.
3.一次函数的图象不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.如果直角三角形的边长为，，，则的值是( )
A. B. C. D. 或
5.若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，，且，则的值可能为( )
A. B. C. D.
7.如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是( )
A. 乙前秒行驶的路程为米
B. 在到秒内甲的速度每秒增加米秒
C. 两车到第秒时行驶的路程相等
D. 在至秒内甲的速度都大于乙的速度
8.如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、若，，则下列结论中正确结论的个数是( )
；四边形是菱形；；
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
10.已知，点是上的一个动点，则
线段长的最小值是 ．
11.如图，直线与相交于点，则关于，的方程
组的解是 ．
12.九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折
竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学
问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果
设，则可列方程为 ．
13.用配方法解方程时，可将方程变为的形式，
则的值为 ．
14.如图，四边形是对角线互相垂直的四边形，且，请你添加
一个适当的条件 ，使成为菱形只需添加一个即可
15.如图，已知四边形是矩形，，点在上，若平分
则的长为 ．
16.有一个边长为的正方形，经过次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过次这样的“生长”后，变成了如图所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
18.本小题分
解方程：．
19.本小题分
已知，如图，在中，是的中线，是的中点，连接并延长到，使，连接．
求证：四边形是菱形；
若求菱形的面积．
20.本小题分
已知：如图，．
求作：．
作法：作的平分线；
以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，作射线；
以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，连接；
四边形为所求．
使用直尺和圆规，依作法在图中补全图形保留作图痕迹；
完成下面证明．
，
________，
是的平分线，
，
________，
，
，
四边形为平行四边形___________填推理的依据．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．
求的值；
当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，则的取值范围是 ．
22.本小题分
如图，在正方形中，点和分别在和上，且关于对称，连接，过点作，点在的右侧，且连接交于，连接
请依题意补全图形，求证：；
猜想的数量关系并证明．
23.本小题分
在平面直角坐标系中，对于两个点，和图形，给出如下定义：若射线与图形的一个交点为，射线与图形的一个交点为，且满足四边形为平行四边形，则称点是点关于图形的“平心点”如图中，点是点关于图中线段的“平心点”已知点：．
点，中，是点关于直线“平心点”的有________；
若点关于线段的“平心点”的横坐标为时，求的取值范围；
已知点，点是线段上的动点点不与端点，重合，若直线：上存在点关于矩形的“平心点”，请直接写出的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.答案不唯一
15.
16.
17.解：原式，
，
，
18.解：，
，
，
或，
，．

19.证明：是的中点，
，
，
，
是中线，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：连接，
，
四边形是平行四边形，
，
是中线，
，
，
，
四边形是菱形，
菱形的面积．

20.解：补全图形如图所示：
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
四边形为平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
21.解：由题意，点在函数的图象上，
．
将代入，得，
；
解：当时，由题意得：，
解得：，
当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，
，
的取值范围是．
22.证明：图形如图所示：
四边形是正方形，
，．
，关于对称，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
；
解：结论：．
理由：连接交于点，连接．
，，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
垂直平分线段，
，
，
，，
，
，
．
23.解：根据题意作图如下：
，，，
直线所在直线为，
设直线所在直线为，
将点代入得：，
，
交直线于点，
设直线所在直线为，
，解得
直线所在直线为，
交直线于点，
两个交点之间的距离为，
所在直线平行于轴，
四边形为平行四边形，符合题意；
同理点不符合题意；点符合题意；
故答案为：、；
根据题意结合图象，连接，则中点即，
连接，则中点即，
；
根据题意得：“平心点”为平行四边形对角线的交点，
如图所示，将各点描出，然后连线，得四边形为矩形，
根据题意，平移，使得平移后的线段落在矩形上，点平移后的对应点为，点平移后的对应点为点，
平移线段，平移后的线段可能落在矩形左下角或右上角，
当落在左下角时，如图所示：
点接近点时，点接近点，点接近点时，由得点接近中点，
所在直线即为直线：，
将点代入得：，
将点代入得：，
；
当落在右上角时，如图所示：
点接近点时，点接近点，
点接近点时，，点接近点，
所在直线即为直线：，
将点代入得：，
将点代入得：，
；
综上可得：．
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