2024-2025学年北京师大附属实验中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京师大附属实验中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知角的终边经过，则等于( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.的值为( )
A. B. C. D.
4.在中，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
7.将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于点对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.在中，已知，则下列说法正确的是( )
A. 当时，是锐角三角形 B. 当时，是直角三角形
C. 当时，是钝角三角形 D. 当时，是等腰三角形
9.已知，是非零向量，则“”是“对于任意的，都有成立”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐一般早潮叫潮，晚潮叫汐在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋下面是某港口在某季节某天的时间与水深值单位：
的部分记录表．
时间 ： ： ： ： ：
水深值
据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似地用三角函数来描述试估计：的水深值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若，则 ______．
12.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称若角的终边与单位圆交于点，则 ______．
13.已知菱形的边长为，，，则 ______．
14.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成如图已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的高为，则该圆柱的侧面积为______，该陀螺的体积为______．
15.在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且给出下列四个结论：
平面；
点轨迹的长度为；
存在点，使得直线平面；
平面截正方体所得的截面面积为．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数．
Ⅰ求的值和的零点；
Ⅱ求的单调递增区间．
17.本小题分
如图，在长方体中，，，为的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证：平面平面；
Ⅲ求点到平面的距离．
18.本小题分
已知，，，，，．
Ⅰ求；
Ⅱ若，求的最小值．
19.本小题分
在中，．
Ⅰ求；
Ⅱ若的面积是，求的最小值．
20.本小题分
如图，在中，，，，，分别为，的中点将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图．
Ⅰ求证：；
Ⅱ若是线段上的点，平面与线段交于点再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知使点唯一确定，并解答问题．
求证：为的中点；
求证：平面．
条件：；
条件：；
条件：B.
21.本小题分
已知维向量，给定，定义变换：选取，再选取一个实数，对的坐标进行如下改变：
若此时，则将，，，同时加上，其余坐标不变；
若此时，则将，，及，，，同时加上，其余坐标不变．
若经过有限次变换每次变换所取的，的值可能不同后，最终得到的向量满足，则称为阶可等向量．
例如，向量经过两次变换可得：
，所以是阶可等向量．
Ⅰ判断是否是阶可等向量？说明理由；
Ⅱ若取，，，的一个排序得到的向量是阶可等向量，求；
Ⅲ若任取，，，的一个排序得到的维向量均为阶可等向量，则称为阶强可等向量求证：向量是阶强可等向量．
参考答案
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16.解：Ⅰ，
；
令，得，
的零点为；
Ⅱ由，得，
的单调递增区间为．
17.解：Ⅰ证明：如图，设，连接，
在长方体中，，
为的中点，又为的中点，
，又平面，平面，
平面；
Ⅱ证明：在长方体中，，
，且底面，又底面，
，又，
平面，又平面，
平面平面；
Ⅲ由Ⅱ知平面平面，
在平面内过作垂直两平面的交线于点，
则平面，即即为所求，
在中，易知，，，
．
18.解：Ⅰ因为，，，，
所以，
所以；
Ⅱ因为，
所以
，
所以当时，取得最小值为．
19.解：Ⅰ因为，
由正弦定理可得：，
在中，，
所以，而，
所以，
因为，
可得；
Ⅱ因为，，
可得，
由余弦定理可得，当且仅当时取等号，
所以，
即的最小值为．
20.证明：Ⅰ在中，因为，，，
所以，即，
因为，分别为，的中点，
所以，所以，
所以，，
又因为，
所以平面，
又因为平面，
所以A.
Ⅱ选条件：，
因为，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以，
又因为，所以，
因为，
所以，即为的中点．
(ⅱ)因为，由得，
所以，
由Ⅰ得，
又因为，
所以平面．
Ⅱ选条件：，
又因为，所以，
因为，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以，
又因为，所以，
因为，
所以，即为的中点．
(ⅱ)因为，由得，
所以，
由Ⅰ得，
又因为，
所以平面．
21.解：Ⅰ，，是阶可等向量，
例如，向量经过两次变换可得：
，
所以是阶可等向量．
Ⅱ设进行一次变换后得，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上可得，
因为是阶可等向量，即，
所以，
所以．
Ⅲ证明：任取的一个排序，记为，
注意到，是阶可等向量，等价于是阶可等向量，
变换，即对连续五个维度的坐标首尾也看成连续同时加上，
相当于对剩余两个连续维度的坐标同时加上，
对，；，；，依次加上，相当于对单独加上；
对，；，；，依次加上，相当于对单独加上，
基于上述分析，相当于可以对，，，分别单独加上，，，，
所以为阶可等向量，为阶强可等向量．
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