2024-2025学年辽宁省部分高中高二（上）开学数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年辽宁省部分高中高二（上）开学数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，在复平面内对应的点的坐标分别为，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，是两个平面，，是两条直线，则下列命题正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
3.已知，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.已知函数的图象关于点中心对称，则( )
A. B. C. D.
5.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为已知点，，若，的余弦距离为，则( )
A. B. C. D.
6.在三棱锥中，，，，，二面角的大小为，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.如图，某校数学兴趣小组为了测量某古塔的高度，在地面上共线的三点，，处测得点的仰角分别为，，，且，则古塔高度约为结果保留整数参考数据：
A.
B.
C.
D.
8.在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则
的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，，则( )
A. B. 当时，
C. 当时， D. 在上的投影向量的坐标为
10.在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则( )
A. B. 当有两解时，的取值范围是
C. 面积的最大值为 D. 当边上的中线的长为时，
11.已知正三棱柱的棱长均为，点在棱上，且，为的中点，为侧面内一动点包括边界，则下列选项正确的是( )
A. B. 若平面，则动点的轨迹长度为
C. 点到平面的距离为 D. 以为球心，为半径的球面与该棱柱的棱的公共点的个数为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ______．
13.已知函数满足下列条件：
的图象是由的图象经过变换得到的；
对于，均满足；
的值域为．
请写出符合上述条件的一个函数解析式：______．
14.如图，正三棱锥的侧面和底面所成的角为，正三棱锥的侧面和底面所成的角为，，和位于平面的异侧，且这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，则 ______，的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，正四棱台是一块铁料，上、下底面的边长分别为和，，分别是上、下底面的中心，棱台高为．
求正四棱台的表面积；
若将这块铁料最大限度地打磨为一个圆台，求圆台的体积．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
求周长的取值范围；
求内切圆半径的最大值．
17.本小题分
如图，在平面四边形中，，点在边上，，，为的中点，将四边形沿折起，使得二面角的大小为，得到如图所示的几何体．
证明：平面；
若点在上，，求二面角的余弦值．
18.本小题分
离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面如图，在三棱锥中．
求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为．
求点到平面的距离；
点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度．
19.本小题分
射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点，，，经过中心投影之后的投影点分别为，，，对于四个有序点，，，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．
证明：；
已知，点为线段的中点，，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
15.解：如图所示，正四棱台的每个侧面皆为全等的等腰梯形，
分别取，的中点为，，连接，，，
过点作于，
则，，，，
故，
所以正四棱台的表面积为；
若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，
则圆台的上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高，
则圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，
则圆台的体积为．
16.解：由正弦定理可得：，
又因为，
所以，
则，因为，所以，
则，即，所以或，
所以或舍去，
故，
由余弦定理得，可得，
由，当且仅当“”时取等，
得，解得：，
所以有，所以，
故周长的取值范围为：；
令内切圆的半径为，故，
得，代入，
得
，
故，
故内切圆半径的最大值为．
17.证明：如图，取的中点，连接，，
又因为为的中点，所以，且，
因为，所以且，
所以四边形是平行四边形，则，
由题设易知，，，、平面，
所以平面，且为二面角的平面角，
因为平面，所以，则，
因为二面角的大小为，所以，
因为，所以为等边三角形，
因为是的中点，所以，所以，
因为，、平面，
所以平面；
解：如图，在平面内，过点作，连接，，
由知，平面，由线面垂直的性质定理知，
因为，、平面，，
所以平面，因为平面，所以，
所以是二面角的平面角，
在中，，
所以，
因为，
所以，
所以，即，所以，
在中，，所以，
在中，，
所以，
即二面角的余弦值为．
18.解：根据离散曲率的定义得：
，
，
，
所以．
因为平面，平面，所以，
又，，，平面，所以平面，
又平面，所以，即，
又，
即，所以，
过点作于点，因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
所以点到平面的距离为线段的长，
在中，
即点到平面的距离为；
过点作交于点，连接，
因为平面，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
依题意可得，，，
所以，，
设，，，
在中，，
又，所以，
所以，
所以，解得或舍去，故．
19.解：证明：在、、、中，
，
，
所以，
又在、、、中，
，
，
所以，
又，，，，
所以，
所以．
由题意可得，所以，
即，所以，
又点为线段的中点，即，
所以，
又，则，，
设，且，
由，
所以，
即，
解得，
在中，由正弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，
且，
得，，
即，
由解得负值舍去，
即
所以．
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