2024-2025学年陕西省西安工业大学附中高一（上）期初数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省西安工业大学附中高一（上）期初数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.如图，已知矩形表示全集，、是的两个子集，则阴影部分可表示为( )
A.
B.
C.
D.
4.下列命题中，含有存在量词的是( )
A. 存在一个直角三角形三边长均为整数 B. 所有偶函数图象关于轴对称
C. 任何梯形都不是平行四边形 D. 任意两个等边三角形都相似
5.已知函数，则( )
A. 是偶函数，且在上是增函数 B. 是奇函数，且在上是增函数
C. 是偶函数，且在上是减函数 D. 是奇函数，且在上是减函数
6.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
7.已知：在中，，，为边上的高，则下列结论中，正确的是( )
A. B. C. D.
8.若是奇函数，且在上是增函数，又，则的解是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的有( )
A. 集合的所有真子集为，
B. 若其中，，则
C. 是菱形是平行四边形
D.
10.下列说法正确的有( )
A. “，使得”的否定是“，都有”
B. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是
C. 若，，，则“”的充要条件是“”
D. 已知，则的最小值为
11.下面命题正确的是( )
A. 若，且，则，至少有一个大于
B. 命题“若，则”的 否 定 是“存在，则”
C. 设，，则“且”是“”的必要而不充分条件
D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若集合，则 ______．
13.设圆与圆的半径分别为和，，，为两圆的交点，试求两圆的公共弦的长度______．
14.命题“，”为真命题，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
分解因式
；
分解因式．
16.本小题分
解方程．
17.本小题分
命题：关于的方程有两个不相等的正实根，命题：，
若命题为真命题，求的取值范围；
若是的充分条件，求的取值范围．
18.本小题分
设函数．
若不等式的解集为，求，的值；
若，，，求的最小值．
19.本小题分
已知元正整数集合满足：，且对任意，，，都有．
若，写出所有满足条件的集合；
若恰有个正约数，求证：；
求证：对任意的，，，都有．
参考答案
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15.解：令，原式可化为，
故；
．
16.解：，
，
，
，解得或，经验证不合题意，舍去，
．
17.解：若命题为真命题，则，解得．
若命题为真命题，则实数满足或，即的取值范围是；
若是的充分条件，则，
可得，解得，即的取值范围是．
18.解：不等式的解集为，
，是方程的两个根，
，解得，．
，，，
．
当且仅当，即时取等号，
的最小值为．
19.解：或或．
根据题意可知，若，则，满足题意；
若，则，满足题意；
显然易知当时，，所以或；
当，时，又满足，所以可得满足题意；
因此可得所有满足条件的集合为或或．
证明：由题分别令，，，，，
可知，
即，，，这个小于的数均为的正约数．
因为的正约数的个数恰为个其中最大的是，最小的是，
而，
所以，可得．
证明：由题可知，
且
所以 ，
将最后一个不等式整理得，即；
又，所以，所以．
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