2024-2025学年湖南省天壹名校联盟高二（上）入学数学试卷（含解析）

2024-2025学年湖南省天壹名校联盟高二（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量，，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知空间向量，，则以为单位正交基底时的坐标为( )
A. B. C. D.
4.样本数据：，，，，，，，的方差为( )
A. B. C. D.
5.底面圆周长为，母线长为的圆锥内切球的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知函数图象的两个相邻对称中心为，，则( )
A. B. C. D.
7.近日，我国某生命科学研究所的生物研究小组成员通过大量的实验和数据统计得出睡眠中的恒温动物的脉搏率单位时间内心跳的次数与其自身体重满足的函数模型已知一只恒温动物兔子的体重为、脉搏率为次，若经测量一匹马的脉搏率为次，则这匹马的体重为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若方程在区间上有且仅有个不等的实根，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则( )
A.
B.
C.
D.
10.已知函数，则( )
A. 为偶函数 B. 的值域为
C. 在上单调递减 D.
11.已知正数，满足且，则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数在上单调递减，则 ______．
13.的取值范围为______．
14.已知正方体的棱长为，，分别为棱，的中点，建立如图所示空间直角坐标系，点在平面内运动，则点到，，，这四点的距离之和的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在空间直角坐标系中，已知点，，．
若，求的值；
求的最小值．
16.本小题分
已知为纯虚数．
求；
求．
17.本小题分
年西部数学邀请赛于月日至日在上海隆重举行，此次赛事不仅是对中学生数学能力的一次全面考验，更是对数学教育未来发展的深刻实践探索，共有多名学生参赛，引起社会广泛关注，点燃了全社会对数学的热情甲、乙、丙名同学各自独立去做年西部数学邀请赛预赛中的某道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为．
求乙、丙各自解出该题的概率；
求甲、乙、丙人中至少有人解出该题的概率．
18.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别为，的中点．
证明：平面；
求四棱柱被平面截得的截面周长；
求直线与平面所成角的正切值．
19.本小题分
已知，，分别为锐角内角，，的对边，，，为外接圆的半径．
证明：；
求的最小值．
答案解析
1.
【解析】解：因为，，且，所以，解得．
故选：．
由空间向量垂直的坐标表示即可求解．
本题考查空间向量数量积的坐标运算，属于基础题．
2.
【解析】解：因为，所以，即，
所以，，
所以．
故选：．
先解对数不等式求出集合，再结合交集定义计算即可．
本题主要考查了对数不等式的解法，考查了集合的交集运算，属于基础题．
3.
【解析】解：空间向量，，则，
故以为单位正交基底时的坐标为．
故选：．
由空间向量的线性运算和空间向量基本定理，结合单位正交基底，求向量的坐标．
本题考查了空间向量的线性运算和空间向量基本定理，属于基础题．
4.
【解析】解：样本数据的平均数，
方差．
故选：．
先求出数据的平均值，由方差公式计算方差．
本题主要考查了方差的定义，属于基础题．
5.
【解析】解：由题意可知，圆锥的母线，底面半径，
根据题意可作圆锥与其内切球的轴截面如图所示：
根据圆锥和球的对称性可知，球的截面为圆，即为等腰的内切圆，
即，，，，
在中，，由，，则，
在中，，即，
可得，解得，即内切球的半径，
故内切球体积为．
故选：．
作圆锥与其内切球的轴截面，利用直角三角形求出内切球的半径，再计算内切球的体积．
本题考查了圆锥内切球的体积计算，属于中档题．
6.
【解析】解：由图象的两个相邻对称中心为，，
可得，
解得，
又，，
则，，又，故．
故选：．
利用正弦函数的周期性可求得，再利用其对称性可求得．
本题考查正弦函数的奇偶性和对称性的应用，属于中档题．
7.
【解析】解：根据题意，
当时，，则，
当时，则，
故．
故选：．
根据已知函数模型代入，，即可得出，最后再根据脉搏率得出体重．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
8.
【解析】解：因为，
当时，，当时，，
作出函数在区间上的图象如图所示，
结合图象可得，当时，方程在上有且仅有个不等的实根，，
且，所以的取值范围是．
故选：．
先化简的解析式，作出的图象，结合余弦函数的对称性即可求解．
本题主要考查了三角函数图象的变换及三角函数对称性的应用，属于中档题．
9.
【解析】解：四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，
则，
即，，故A选项错误、选项正确；
，
即，，故C选项错误，选项正确．
故选：．
运用空间向量的基底表示，结合平面向量的三角形法则和线性运算规则可解．
本题考查了空间向量的基底表示和平面向量的三角形法则，属于中档题．
10.
【解析】解：函数的定义域为，且，
则不为偶函数，故A错误；
令，
则在上单调递减，
则其值域为，故B正确；
因为在上单调递增，且在上单调递减，
由复合函数单调性法则，可知函数在上单调递减，故C正确；
由于函数在上单调递减，所以，故D错误．
故选：．
根据函数的性质逐项分析判断即可．
本题考查函数性质的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
11.
【解析】解：由题意可得，，
，
，当且仅当时取等号，经检验后无法取得等号，故A、B错误；
由得，由得：，
，又当且仅当时取等号，
，故C正确；
，，，，故D正确．
故选：．
根据不等式的性质计算求和再结合基本不等式计算求出和的最小值判断，，，最后根据不等式性质判断．
本题主要考查了基本不等式及不等式性质在最值求解中的应用，属于中档题．
12.
【解析】解：由题意可得为幂函数，则，解得或．
当时，为增函数，不符合题意；
当时，在单调递减，符合题意．
故答案为：．
先根据函数是幂函数计算求参得出或，最后结合函数的单调性计算得出符合题意的参数．
本题主要考查了幂函数性质的应用，属于基础题．
13.
【解析】解：由题意可得：
，
又，
所以，
所以．
故答案为：．
利用辅助角公式及同角三角函数的平方关系、三角函数的性质计算即可．
本题考查同角三角函数间的基本关系及辅助角公式的应用，属于基础题．
14.
【解析】解：点与点和点的距离之和为，
因为关于平面的对称点为，故，
当且仅当为中点，即为正方体中心时等号成立；
点与点和点的距离之和可表示为，
则，当且仅当在所在直线上时等号成立，
故的最小值为，
当且仅当为正方体中心时等号成立．
故答案为：．
由图形的结构特征，当为正方体中心时，点到，两点的距离之和最小值为，到，这两点的距离之和的最小值为，求值即可．
本题考查图形的结构特征、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
15.解：由题意可得，
因为，
解得或；
由空间两点间的距离公式，
得，
当时，有最小值．
【解析】根据向量的数量积坐标运算公式计算求参；
先由空间两点间的距离公式计算，再结合二次函数值域求解．
本题考查了向量的数量积坐标运算和空间两点间的距离公式，属于中档题．
16.解：由题意可得，
因为是纯虚数，所以，
解得．
由得到，又，，，，
则，，，，，
即有，，
故．
【解析】根据复数的除法及乘法运算化简，最后根据复数类型求参；
根据复数的乘方计算，再结合复数的周期性，再求和即可．
本题考查复数的运算，属于基础题．
17.解：设“甲解出该题”为事件，“乙解出该题”为事件，“丙解出该题”为事件，
则，，相互独立，
由题意得，，
所以，，
所以，所以乙、丙各自解出该题的概率为，．
设“甲、乙、丙人中至少有人解出该题”为事件，
则，因为，，，
所以，，，
因为、、相互独立，
所以，
所以甲、乙、丙人中至少有人解出该题的概率为．
【解析】设出事件，运用相互独立事件概率的乘法公式及对立事件概率公式求解即可；
运用相互独立事件概率的乘法公式，结合对立事件概率公式计算即可．
本题考查相互独立事件概率的乘法公式、对立事件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.解证明：因为四边形是菱形，，为的中点，
所以，
在直四棱柱中，平面平面，
因为平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形是矩形，，，，分别为，的中点，
所以，
所以，因为，
所以，
所以，
所以，
因为，且，平面，
所以平面；
因为平面，所以平面与平面的交线与平行，
所以交线为，
连接，，，
则四棱柱被平面截得的截面为四边形，
，，，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以四边形的周长为；
过点作，垂足为，连接，
因为平面，平面，
所以，
因为，
所以平面，因为平面，
所以平面平面，
所以点在平面上的射影必在上，
所以直线与平面所成角为，
因为，，，，
所以，
所以，
即直线与平面所成角的正切值为．
【解析】利用线面垂直的判定与性质定理即可得证；
先确定四棱柱被平面截得的截面为四边形，再解三角形即可；
先确定直线与平面所成角为，再解三角形即可．
本题考查立体几何综合问题，属于中档题．
19.解：证明：因为，所以，
所以，
即；
又，
因为，所以，
所以，
令与夹角为，且，所以，即，
综上，．
，
又，，，且，即，
所以，且，
则，所以，
所以的最小值为．
【解析】由平面向量的数量积与夹角运算计算即可证明；
由平面向量模的求法计算后结合三角函数的有界性即可求得．
本题考查平面向量的数量积与夹角，属于中档题．
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