2024-2025学年安徽省多校联考高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省多校联考高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. ， D. ，
2.某学校高二某班向阳学习小组位同学在一次考试中的物理成绩如下：，，，，，，，，则该小组本次考试物理成绩的第百分位数为( )
A. B. C. D.
3.已知，，则“”是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知命题：，为假命题，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.如图，在正三棱柱中，，分别为棱，的中点，，则异面直线，所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知是上的减函数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. 的虚部为 B. C. D. 为纯虚数
10.已知函数，当时，取得最大值，且与直线最近的一个零点为，则下列结论中正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 的单调递增区间为
C. 的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
D. 若为奇函数，则
11.已知定义域为的函数为奇函数，的图象关于直线对称，则( )
A. 的图象关于点中心对称 B. 为奇函数
C. 是周期为的函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量满足，，且，则 ______．
13.小耿与小吴参与某个答题游戏，此游戏共有道题，小耿有道题不会，小吴有道题不会，小耿与小吴分别从这道题中任意选取道题进行回答，且两人选题和答题互不影响，则小耿与小吴恰有人会答的概率为______．
14.已知一个圆台的侧面积为，下底面半径比上底面半径大，母线与下底面所成角的正切值为，则该圆台的外接球圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某校为促进学生对地震知识及避震自救知识的学习，组织了地震知识及避震自救知识竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图各区间分别为，，，，．
根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；每组数据用所在区间的中点值作代表
按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人成绩都在内的概率．
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，向，．
求；
若，求的面积的最大值．
17.本小题分
已知．
Ⅰ求的值；
Ⅱ已知，求的值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，，，，分别为棱，，，的中点，．
证明：平面平面；
求二面角的大小．
19.本小题分
已知是指数函数，且过点是定义域为的奇函数．
Ⅰ求，的值；
Ⅱ若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；
Ⅲ若函数恰有个零点，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：根据题意可得，解得．
则，则平均分成绩为；
根据分层抽样，知道和内的学生比为：，
则抽取的人中有个来自层，设为，；个来自层，设为，，，
再从这人中随机抽取人，总共有种可能，分别为：
，，，，，，，，，．
而这人成绩都在内的有：，，，共种，
故所求概率为．
16.解：由，，
可得，
由正弦定理，可得，即，
则由余弦定理，可得，
又，所以；
由得，，
则，即，
由基本不等式，可得，
当且仅当时等号成立，即．
故三角形面积，
当且仅当取最大值，
故的面积的最大值为．
17.解：Ⅰ已知．
则，
则，，
又，
则，，
则；
Ⅱ已知，
则，
则，
又，，
则，，
则，
则．
18.证明：连接，
因为，，，分别为棱，，，的中点，
所以，，，
又，，所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为，平面，平面，
所以平面，
又，，平面，
所以平面平面．
解：因为平面平面，，平面平面，平面，
所以平面，
又，平面，
所以，，
又，
故以分别为，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则，
所以，，，，
所以，
设平面的法向量，则，
令，可得，
设平面的法向量为，则，
令，可得，
所以，，
由图知，二面角的平面角为钝角，
所以二面角的大小为．
19.解：Ⅰ设，且，
函数过，代入得，解得，
则；
所以定义域为的奇函数，
则，解得，
则，
由于，
解得，则，
检验：，
则满足题意．
所以，；
Ⅱ，
即，
即存在，使得成立．
由于，
越大，则由指数函数的单调性知道越大，
则也变大，变小，变小，
则在定义域内单调递减．
即存在，使得成立．
即存在，使得．
则对于，使得即可．
对于，，则．
所以实数的取值范围为；
Ⅲ恰有个零点．
即有两个不同根．
即，
由于是定义域为的奇函数且单调递减，
即有两个不同根．
则有两个不同根即可．
则有两个不同根即可．
令，转化为有两个不同正根即可．
满足，解得，
即，
所以实数的取值范围为
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