2024-2025学年湖南省长沙市开福区北雅中学九年级（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市开福区北雅中学九年级（上）入学
数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.今年“五一”假期，湖南省文旅市场持续升温，文旅经济强劲复苏根据全省十四个市州综合测算情况汇总，年“五一”假期全省共接待游客万人次，同口径比年“五一”假期增长了，其中数据万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
4.将直线向下平移个单位得到的直线是( )
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，点、、分别是、、的中点，且，则的面积是( )
A.
B.
C.
D.
7.下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
8.若，，则的值为( )
A. B. C. D.
9.在 中，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
10.一次函数的图象经过第象限．
A. 一、二、三 B. 一、二、四 C. 一、三、四 D. 二、三、四
11.如果、是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是( )
A. B. C. D.
12.如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，如图所示，下列结论：；方程的两个根是，；；当时，的取值范围是；当时，随增大而增大，其中结论正确的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.分解因式： ．
14.已知菱形的两条对角线的长分别是和，那么菱形的每条边长是______．
15.如图，直线与抛物线交于点，，且点在轴上，点在轴上，则不等式的解集为______．
16.如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为______．
17.关于的方程的解是正数，则的取值范围是 ．
18.设，是关于的方程的两个根，且，则 ______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
解下列方程：
20.本小题分
先化简，再求值：，其中．
21.本小题分
“让我们携起手来，构建网络空间命运共同体，让互联网更好造福世界各国人民，共同创造人类更加美好的未来”月日上午，国家主席习近平向年世界互联网大会乌镇峰会开幕式发表视频致辞，科学分析全球互联网发展治理面临的新形势新要求，为携手推动构建网络空间命运共同体提供了重要指引与会人士纷纷表示，习近平主席的致辞凝聚合作共识、激发奋进力量，为共同推动构建网络空间命运共同体迈向新阶段进一步指明了方向为了共同推动构建网络空间命运共同体发展，某高校计划在图书馆引进计算网络书籍，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型网络安全，计算软件计算，计算数学，通信技术数据后，绘制出两幅不完整的统计图．
本次抽样调查的样本容量是______；
请补全条形统计图；
求出扇形统计图中类型所对应的扇形的圆心角的度数；
请你估计该校参加调查的名学生中喜欢类型的学生人数．
22.本小题分
如图，等腰直角三角形和等腰直角三角形，、、三点共线，，延长交于点．
求证：≌；
若，，求的长度．
23.本小题分
如图，平行四边形的对角线，交于点，于点，点在延长线上，且．
求证：四边形是矩形；
连接，若，，求的长．
24.本小题分
定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长．
求抛物线的雅礼弦长；
求抛物线的雅礼弦长的取值范围；
设，为正整数，且，抛物线的雅礼弦长为，抛物线的雅礼弦长为，，试求出与之间的函数关系式，若不论为何值，恒成立，求，的值．
25.本小题分
已知抛物线为常数，交轴于，，交轴于点．
求该抛物线解析式；
点为第四象限内抛物线上一点，连接，过作交轴于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；
在的条件下，将抛物线向右平移经过点，得到新抛物线，点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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4.
5.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.或
16.
17.且
18.
19.解：，
，
或；
，
，
，
或
20.解：原式
，
当时，原式．
21.；
喜欢类型的人数：人，
喜欢类型的人数：人，补全的条形统计图如下：
扇形统计图中类型所对应的扇形的圆心角的度数，
答：扇形统计图中类型所对应的扇形的圆心角的度数为．
名学生中喜欢类型的学生人数占比为：，
该校参加调查的名学生中喜欢类型的学生人数为：人，
答：估计该校参加调查的名学生中喜欢类型的学生人数有人．
22.证明：在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，，，
在和中，
，
≌；
解：在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，
，，
，
，，
，
负值已舍．
23.证明：在平行四边形中，
且，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
四边形是矩形；
解：由知：四边形是矩形，
，
在中，，
．
24.解：，
，
，，
雅礼弦长；
，，
，
，，
，
，
当时，最小值为，
当时，最大值小于，
；
由题意，令，
，，
则，
同理，
，
，
要不论为何值，恒成立，
即：恒成立，
由题意得：，，
解得：，
，为正整数，且，
则，或，．
25.解：将，代入抛物线，
，解得．
抛物线的解析式为：．
如图，连接，则的面积面积，过点作轴交于点，
令，则，
；
，直线的解析式为：，
设点的横坐标为，则，，
，
，
，
当时，的最大值为；此时．
综上，面积的最大值为，此时．
将抛物线向右平移经过点，
点向右平移个单位，
平移后的抛物线为：．
点在平移后抛物线的对称轴上，
设点，该对称轴与轴交于点，
当点为直角顶点时，过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线交于点，
，，，，
，
，
∽，
：：，解得，
；
由矩形的性质可知，，，
，，
，，
；
当点为直角顶点时，过点作轴的平行线交于点，
同理可得∽，
：：，解得，
，
由矩形的性质可知，，，
，，
，，
；
当点为直角顶点，如图，
同理可得∽，
：：，
：：，
解得或，
当时，
由矩形的性质可知，，，
，，
；
同理可得，当时，；
综上可得，符合题意的点的坐标为：或或或
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