2024-2025学年北京市海淀区十一学校九年级上学期开学测试数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市海淀区十一学校九年级上学期开学测试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在北京市数字经济标杆企业评价报告中，昌平区共有家重点企业成功获评北京市数字经济标杆企业．以下是四家标杆企业的商标，其中商标图形是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在中，的对边分别为，，，下列条件中可以判断的是( )
A. B.
C. D.
3.如图，在平行四边形中，，为上一动点，，分别为，的中点，则的长为( )
A. B. C. D. 不确定
4.某商店销售种领口大小分别为，，，，单位：的衬衫，一个月内的销量如下表：
领口大小
销量件
你认为商店最感兴趣的是这组数据的( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
5.函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
6.如图，是的弦，是的直径，于点在下列结论中，不一定成立的是( )
A. B. C. D.
7.如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有函数关系下列叙述正确的是( )
A. 小球的飞行高度不能达到 B. 小球的飞行高度可以达到
C. 小球从飞出到落地要用时 D. 小球飞出时的飞行高度为
8.如图，四边形是正方形，点分别在的延长线上，且，设给出下面三个结论：；；上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.函数中，自变量的取值范围是 ．
10.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
11.如图，在正方形中．点，，分别在边，，上，若，，则的度数为 用含的式子表示．
12.在平面直角坐标系中，将直线向左平移个单位长度，得到直线，则 ．
13.如图，将纸片绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为 ，
14.在平面直角坐标系中，已知点，，在抛物线上，若，则，，的大小关系为 用“”表示
15.如图，为的直径，，分别与相切于点，，过点作的垂线，垂足为，交于点若，则线段的长为 ．
16.已知反比例函数则：
当时，的取值范围为 ；
当时，的取值范围为 ；
当且时，的取值范围为 ．
三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
解不等式组：
18.本小题分
已知，求分式的值．
19.本小题分
已知是的反比例函数，是的正比例函数．
当时，当时，求与之间的函数关系式；
证明：是的反比例函数．
20.本小题分
如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接．

求证：四边形是菱形；
若，求的长．
21.本小题分
小明的爸爸买了甲、乙两种不同的一年期理财产品共万元．甲种理财产品的预期年利率为，乙种理财产品的预期年利率为按预期，小明的爸爸一年共可获得收益元．小明的爸爸购买甲、两种不同的理财产品各多少万元？
22.本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象平行，且过点．
求这个一次函数的表达式；
当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出的取值范围．
23.本小题分
糖类是一类有机化合物，有研究表明，不同种类的糖熔化过程中的温度变化不同。某校兴趣小组为研究糖的种类对其熔化过程中温度变化随时间的影响，选取了两种不同种类的糖，在其他方面均相同的情况下，记录糖初始温度，每隔测定其温度与初始温度的温度差为，部分实验结果如下：
【说明】
此实验中均在同一实验室进行，糖的初温均相同；
可使用函数刻画温度差单位： 与时间单位：之间的关系．
糖完全熔化后持续吸热，温度保持不变，将保持不变的这个温度称为其熔点．
【实验结果】
白砂糖：
饴糖：
根据上述结果，回答下列问题：
建立平面直角坐标系，根据表格所给数据，分别画出与，与所满足的函数关系图象；
在相同条件下，更容易熔化的糖是 填“白砂糖”或“饴糖”；
查阅资料得知，该白砂糖的熔点在，该饴糖的熔点在．
若初始温度为整数．
初始温度是 ；
对于饴糖，当与初始温度的温度差为时，其加热时间为 ，此时白砂糖的温度为 结果均保留一位小数
24.本小题分
如图，是的直径，是的弦，于点，点在上且，连接．
求证：；
连接若，求的长．
25.本小题分
为了培养学生的爱国情感，某校在每周一或特定活动日举行庄严的升国旗仪式．该校的国旗护卫队共有名学生，测量并获取了所有学生的身高单位：，数据整理如下：
名学生的身高：
，，，，，，，，，
，，，，，，，，
名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
写出表中，的值；
该校的国旗护卫队由升旗手、护旗手、执旗手组成，其中名执旗手分为两组：
甲组学生的身高
乙组学生的身高
对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组的执旗效果越好．
据此推断：在以上两组学生中，执旗效果更好的是 填“甲组”或“乙组”；
该校运动会开幕式的升国旗环节需要名执旗手，因甲组部分学生另有任务，已确定四名执旗手的身高分别为，，，在乙组选另外两名执旗手时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的六名执旗手的身高的方差最小，则选出的另外两名学生的身高分别为 和 ．
26.本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，，它的对称轴为直线．
若该抛物线经过点，求的值；
当时，
若，则 ；填“”“”或“”
若对于，都有，求的取值范围．
27.本小题分
如图，正方形中，点为边上任一点不与、重合，作射线，过点作于点，连接，．
直接写出的度数；
判断线段，，之间的数量关系用等式表示，并证明你的结论；
过点作于点，直接写出，，之间的数量关系用等式表示．
28.本小题分
【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值．
【问题分析】
小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】
如图，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
证明：；
的大小为 度，线段长度的最小值为________．
【方法应用】
某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持钢丝绳长度的最小值为多少米．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.且
10.且
11.
12.
13.度
14.
15.
16.；
；
或．
17.原式
；
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为．

18.解：，
，
原式．
19.解：是的反比例函数，是的正比例函数，
设，，
，
时，，
，解得：，
当时，，
，解得：，
，
与之间的函数关系式为；
是的反比例函数，是的正比例函数，
设，，
，
是的反比例函数．

20.解：证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形；
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
21.解：设甲种理财产品万元，乙种理财产品万元，
依题意可得：，
解得：，
万元，
答：甲种理财产品万元，乙种理财产品万元．
22.解：一次函数的图象与函数的图象平行，
，
一次函数的图象过点，
，
，
这个一次函数的表达式为；
解：如图，
当时，，
把点代入，
，
当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，
．
23.解：根据题意，画图如下：
解：根据熔点低的容易融化，
故饴糖更易融化，
故答案为：饴糖．
解：初始温度是；
答案为：．
根据题意，得 ，此时时间为， ，
故答案为：；．

24.证明：是的直径，，
．
又，
．
．
．
解：如图，连接，连接，
设的半径为，
是的直径，
，
，
，
，
，
又，
，
，即．
解得，
，，
由勾股定理得，，
是的直径，，
，
由勾股定理得，，
的长为．
25.将名学生的身高从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，
从中可以看出第个数据和第个数据分别是，，所以这组数据的中位数为，故；
其中，出现的次数最多，所以这组数据的众数为，故；
故答案为：，．
甲组学生的身高分布于，乙组学生的身高分布于，
据此可以看出甲组学生的身高波动比乙组学生的小，稳定性较大，
所以执旗效果更好的是甲组，
故答案为：甲．
根据题意，为保证方差最小，另外两名学生的身高应该在厘米厘米，
从乙组的数据可以知道，在厘米厘米的身高有个，分别是、，
故答案为：、．

26.抛物线经过点，
，
，
，
；
，
抛物线图象开口向下，
时，，
抛物线过原点，
，，
对称轴，
故答案为：；
，
，
，
，
，
抛物线的对称轴为直线，且经过原点，
与轴的另一个交点为，
，
或，
解得：或．

27.解：连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
四点共圆，
．
解：，证明如下：
连接，过点作，交的延长线于点，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
四点共圆，
，
，
，
，
，
，
．
正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
证明：，证明如下：
过点作于点，
则四边形是矩形，
．
正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．

28.解：证明：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，
四边形是平行四边形，
；
在等边中，，
；
当时，最小，此时最小，
在中，
，
线段长度的最小值为；
方法应用：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
当时，最小，此时最小，
作于点，
在中，
，
在中，
，
线段长度的最小值为米．

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