6.1.3向量的减法 课件（共45张PPT）-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第二册

(共45张PPT)
人教B版（2019）必修第二册
6.1.3向量的减法
学习目标
Learning Objectives
探索新知
Explore new knowledge
题型突破
Breakthrough in question types
当堂检测
Classroom test
学习目录
parent conference directory
壹
叁
贰
肆
学习目标
part 01
学习目标
01
理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量减法的意义
01
掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算
02
能将向量的减法运算转化为向量的加法运算
03
探索新知
part 02
探索新知
02
尝试与发现
知识点1 向量减法的三角形法则
问题　已知向量是向量与向量的和，如图所示，你能作出表示向量的有向线段吗？
由向量加法的三角形法则可知，
A
B
D
x
向量实际上就是向量．
探索新知
02
抽象概念
知识点1 向量减法的三角形法则
向量的差：
一般地，平面上任意给定两个向量 ，，如果向量 能满足 + = ，则称 为向量 与 的差，并记作 = – ；
在平面内任取一点O，作=，=，作出向量，则，因此向量就是向量 与 的差 (差向量)，即：
探索新知
02
尝试与发现
知识点1 向量减法的三角形法则
向量减法的三角形法则：
当 与 不共线时：求 – 可用下图表示，此时向量， ， – 正好能构成一个三角形，因此这种求两向量差的作图方法称为向量减法的三角形法则；
a
b
a
b
探索新知
02
尝试与发现
知识点2 相反向量
(1) 一架飞机由北京 上海，再由上海 北京，飞机的两次位移分别是什么
B
A
上海 北京
B 上海
A北京
北京 上海
探索新知
02
尝试与发现
知识点2 相反向量
(2)物理学中的作用力与反作用力有什么联系与区别？
大小相等
方向相反
探索新知
02
尝试与发现
知识点2 相反向量
(3)结合以上特点，你能否在正六边形中，找到也具有这种特点的两个向量？
A
O
D
C
B
E
F
探索新知
02
尝试与发现
知识点2 相反向量
思考：你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？
实数a的相反数记作－a。
给定一个向量，我们把与这个向量方向相反，大小相等的向量，叫做的相反向量，记作．
如何类比定义相反向量呢？
探索新知
02
尝试与发现
知识点2 相反向量
给定一个向量，我们把与这个向量方向相反，大小相等的向量，叫做的相反向量，记作．
性质：
（1）；
（2）零向量的始点与终点相同，即 = ；
（3）；
（4）如果是 a，b 互为相反的向量，那么 .
探索新知
02
尝试与发现
知识点2 相反向量
类比数的减法运算，向量的减法可以转化为向量的加法来进行，即：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
+ ()
a
b
– b
a + (– b)
a – b
探索新知
02
尝试与发现
知识点2 相反向量
已知向量a和b，你能尝试通过作图得到a－b吗？
O
A
B
D
C
探索新知
02
尝试与发现
知识点2 相反向量
ab
b
b
a＋(－b)
1．两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同.
2．差向量是减向量的终点指向被减向量的终点.
注意
a
向量减法的几何意义是什么
探索新知
02
尝试与发现
知识点2 相反向量
a
O
A
B
b
.
向量减法的三角形法则
共起点，连终点，指向被减向量.
注意
a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点，这就是向量减法的几何意义
向量减法的几何意义是什么
探索新知
02
尝试与发现
知识点2 相反向量
如果从a的终点到b的终点作向量，那么所得向量是什么？
向量b的方向指向向量的终点，向量b的方向指向向量b的终点，即：两个向量差向量的方向指向“被减向量”．
b
b
b
b
b
一句话总结向量的减法，即“共起点，连终点，方向指向被减向量”．
探索新知
02
尝试与发现
知识点2 相反向量
如果向量a∥b（ a 、 b均不为零向量），怎样作出b呢？
a
b
b
ab
O
A
B
O
A
B
探索新知
02
例1 已知平行四边形 ABCD 中， = ， = ，用 ， 分别表示向量 ，.
解：如图，由向量的加法的平行四边形法则可知：
= ＋ ＝ ＋ ，
按照减法的定义可知： ＝ － ＝ － .
a
b
A
B
C
D
探索新知
02
例2 已知 || = 1，|| = 2，求 | – | 的取值范围.
解：当 与 不共线时：由向量减法的三角法则可知，
||，||，| － | 正好是一个三角形的三条边，从而
< < || ＋ ||，
a
b
–
因此 1 < < 3；
当 与 共线时：如果 与 方向相同，有 ＝ ＝1；
如果 与 方向相反，有 ＝ || ＋ || ＝ 3；
综上所述，1 ≤ | － | ≤ 3.
题型突破
part 03
题型突破
03
题型1 向量的减法运算
②用b，c表示.
例1.　(1)如图所示，
①用a，b表示；
＝ － ＝－－＝－a－b.
＝－＝－(＋ )＝－b－c.
题型突破
03
题型1 向量的减法运算
② (－)－(－)；
(2)化简下列各向量的表达式：
① ＋－；
③ (＋＋)－(－－)．
＋－＝ －
＝
(－)－(－) ＝ (＋)－(＋)
＝－
＝
(＋ ＋)－(－－)
＝－
＝
＝ (＋) －(－)
题型突破
03
题型1 向量的减法运算
② (－)－(－)；
一题多法
原式＝－－＋
＝(＋)－(＋)
＝ －
＝0
法一：加法法则
法二：减法法则(利用相反向量)
原式＝－－＋
＝( －)＋(－)
＝＋
＝0
题型突破
03
题型1 向量的减法运算
② (－)－(－)；
一题多法
原式＝－－＋
＝(－)－(－)－(－) ＋(－)
＝－－＋－＋＋－
＝0
法三：减法法则(创造同一起点)
题型突破
03
解题通法
向量减法运算的常用方法
(1)可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算
(2)运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同的起点
(3)引入点O，逆用向量减法的三角形法则，将各向量起点统一
题型1 向量的减法运算
题型突破
03
题型2 向量减法的几何意义及简单应用
例2.　(1)如图所示，四边形ABCD中，若＝a， ＝b， ＝c，则＝(　　)
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
＝
＝
＝ a＋c－b
A
题型突破
03
题型2 向量减法的几何意义及简单应用
(2)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
则＝a＋b－c.
法一：几何意义法
在平面内任取一点O，作＝a， ＝b，
O
A
a
B
b
则＝a＋b，
再作＝c，
a＋b
C
c
a＋b－c
题型突破
03
题型2 向量减法的几何意义及简单应用
(2)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
法二：定义法
再作＝－c，连接OC，则＝a＋b－c.
在平面内任取一点O，
作＝a， ＝b，则＝a＋b，
O
A
a
B
b
a＋b
－c
C
a＋b－c
题型突破
03
解题通法
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
题型2 向量减法的几何意义及简单应用
题型突破
03
题型3 求模的范围
例3.　已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．
∵|||－|||≤|－|≤||＋||，且||＝9，||＝6，
∴3≤|－|≤15.
当与同向时，| － |＝3；
当与反向时，| － |＝15.
∴| － |的取值范围为[3,15]．
题型突破
03
题型3 求模的范围
变式1 将本例的条件改为“||＝8，||＝5”，求||的取值范围．
因为＝ － ，||＝8，||＝5，
|||－|||≤|－ |≤||＋||，
所以3≤||≤13，
当与同向时，||＝3；
当与反向时，||＝13.
所以||的取值范围是[3,13]．
题型突破
03
题型3 求模的范围
变式2 在本例条件不变的条件下，求：|＋|的取值范围．
由|||－|||≤|＋|≤||＋||，
∵||＝6，||＝9，
∴3≤|＋|≤15.
当与同向时，| ＋ |＝15；
当与反向时，| ＋ |＝3.
题型突破
03
题型3 求模的范围
变式3 本例中条件“||＝9”改为“||＝9”，求||的取值范围．
＝ － ，又||＝||，
由|||－|||≤|－|≤||＋||，
∴3≤||≤15.
题型突破
03
解题通法
1.用向量法解决平面几何问题的步骤
(1)将平面几何问题中的量抽象成向量.
(2)化归为向量问题，进行向量运算.
(3)将向量问题还原为平面几何问题
题型3 求模的范围
2.用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键
(1)利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可．
(2)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键．
当堂检测
part 04
当堂检测
04
B
当堂检测
04
①
当堂检测
04
当堂检测
04
12
0
当堂检测
04
当堂检测
04
当堂检测
04
谢谢观看
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