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要点梳理
1.奇函数、偶函数的概念
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都
有_______________，那么函数f（x）就叫做偶函数.
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都
有_______________，那么函数f（x）就叫做奇函数.
奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴
对称.
§2.3 函数的奇偶性
f（-x）=f（x）
f（-x）=-f（x）
基础知识 自主学习
2.判断函数的奇偶性
判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般
步骤是:
（1）考查定义域是否关于______对称；
（2）考查表达式f（-x）是否等于f（x）或-f（x）：
若f（-x）=_______，则f（x）为奇函数；
若f（-x）=________，则f（x）为偶函数；
若f（-x）=_______且f（-x）=________,则f(x)既是
奇函数又是偶函数；
若f（-x）≠-f（x）且f（-x）≠f（x），则f（x）既
不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数.
原点
-f（x）
f（x）
-f（x）
f（x）
3.奇、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______,
偶函数在关于原点对称的区间上的单调性______(填
“相同”、“相反”）.
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和是________,两个奇函数的积是偶
函数；
②两个偶函数的和、积是_________；
③一个奇函数，一个偶函数的积是_________.
奇函数
偶函数
奇函数
相同
相反
基础自测
1.对任意实数x,下列函数为奇函数的是 （ ）
A.y=2x-3 B.y=-3x2
C.y=ln 5x D.y=-|x|cos x
解析 A为非奇非偶函数,B、D为偶函数,C为奇函数.
设y=f(x)=ln 5x=xln 5,∴f（-x）=-xln 5=-f（x）.
C
2.（2008·全国Ⅱ）函数 的图象关于
（ ）
A.y轴对称 B.直线y=-x对称
C.坐标原点对称 D.直线y=x对称
解析 ∵
∴f（x）是奇函数.∴f（x）的图象关于原点对称.
C
3.下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递
减的函数是 ( )
A.f(x)=sin x
B.f(x)=-|x-1|
C.
D.
解析 ∵函数是奇函数,排除B、C（B中函数是非奇
非偶函数，C中是偶函数），
∵［-1，1］
∴f（x）=sin x在[-1,1]上是增函数,排除A,故选D.
D
4.已知f(x）=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数,
那么a+b的值是 （ ）
A. B. C. D.
解析 依题意得
B
5.（2008·福建）函数f（x）=x3+sin x+1 (x∈R),
若f（a）=2，则f（-a）的值为 （ ）
A.3 B.0 C.-1 D.-2
解析 设g(x)=x3+sin x,很明显g(x)是一个奇函数.
∴f（x）=g（x）+1.∵f（a）=g（a）+1=2，
∴g（a）=1，
∴g（-a）=-1，∴f（-a）=g（-a）+1=-1+1=0.
B
题型一 函数奇偶性的判断
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)
(2)
判断函数的奇偶性,应先检查定义域是否
关于原点对称,然后再比较f(x)与f(-x)之间是否相等
或相反.
思维启迪
题型分类 深度剖析
解 (1) 定义域关于原点对称.
故原函数是奇函数.
(2) ≥0且1-x≠0? -1≤x<1,
定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数.
判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条
件:
一是定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的
必要不充分条件,所以首先考虑定义域对解决问题是
有利的;
二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇
偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关
系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函
数))是否成立.
探究提高
知能迁移1 判断函数f(x)= 的奇偶性.
解 ∵
∴-2≤x≤2且x≠0,
∴函数f(x)的定义域关于原点对称.
∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
4-x2≥0
|x+3|≠3,
题型二 函数奇偶性的应用
【例2】判断下面函数的奇偶性,并求函数的单调区间.
求定义域→判断奇偶性→研究在(0,1)
上的单调性.
解
所以函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1).
∵f(x)的定义域关于原点对称,且对定义域内的任
意x,
所以f(x)是奇函数.
思维启迪
任取x1,x2∈(0,1),且设x1得f(x1)-f(x2)>0，即f(x)在(0,1)内单调递减.
由于f(x)是奇函数,所以f(x)在(-1,0)内单调递减.
∴f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1).
探究提高 根据函数的奇偶性,讨论函数的单调区间
是常用的方法.奇函数在对称区间上的单调性相同；
偶函数在对称区间上的单调性相反.所以对具有奇偶
性的函数的单调性的研究,只需研究对称区间上的单
调性即可.
知能迁移2 已知定义域为R的函数f(x)=
是奇函数.
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒
成立,求k的取值范围.
解 (1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，
(2)由(1)知
由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0
等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).
因f(x)是减函数,由上式推得t2-2t>-2t2+k.
即对一切t∈R有3t2-2t-k>0.
从而判别式Δ=4+12k<0,解得k<
题型三 抽象函数的奇偶性与单调性
【例3】(12分)已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)
=f(x)+f(y).
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)如果x为正实数，f（x）<0,并且f(1)= 试
求f(x)在区间［-2，6］上的最值.
(1)根据函数的奇偶性的定义进行证明,
只需证f(x)+f(-x)=0;
(2)根据函数的单调性定义进行证明,并注意函数奇
偶性的应用.
思维启迪
(1)证明 ∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称.
∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,
∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,
∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.
∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数. 4分
（2）解 方法一 设x,y∈R+，
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x+y）-f（x）=f（y）.
∵x∈R+，f（x）<0,
∴f(x+y)-f(x)<0,
∴f(x+y)∵x+y>x,
∴f(x)在（0，+∞）上是减函数. 8分
又∵f（x）为奇函数，f（0）=0，
∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数.
∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值. 10分
∵f(1)= ∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,
f(6)=2f(3)=2[f（1）+f（2）]=-3.
∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值
为-3. 12分
方法二 设x1则f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)
=f(x2)-f(x1).
∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0.
即f(x)在R上单调递减.
∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值. 10分
∵f（1）= ∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1
f（6）=2f（3）=2[f（1）+f（2）]=-3.
∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值
为-3. 12分
探究提高 （1）满足f(a+b)=f(a)+f(b)的函数，只
要定义域是关于原点对称的，它就是奇函数.
（2）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用
方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注.
知能迁移3 函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足
对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).
（1）求f(1)的值；
（2）判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
（3）如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在
(0，+∞)上是增函数，求x的取值范围.
解 （1）∵对于任意x1,x2∈D,
有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)，
∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.
(2)令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1).
∴f(-1)= f(1)=0.
令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),
∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.
（3）依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,
f（16×4）=f（16）+f（4）=3，
∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3,
∴f((3x+1)(2x-6))≤f(64) (*)
∵f(x)在（0，+∞）上是增函数，
∴(*)等价于不等式组
∴x的取值范围为
1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个
问题:
(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函
数或偶函数的必要非充分条件;
(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.
2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为
了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化
简,或应用定义的等价形式:f(-x)=±f(x)? f(-x)±
f(x)=0? =±1(f(x)≠0).
方法与技巧
思想方法 感悟提高
3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴
对称,反之也真.利用这一性质可简化一些函数图象
的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性.
1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否
关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶
性的一个必要条件.
失误与防范
2.判断函数f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个x,
均有f(-x)=-f(x).而不能说存在x0使f(-x0)=-f(x0).对
于偶函数的判断以此类推.
一、选择题
1.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数，
那么a+b的值是 ( )
A. B. C. D.
解析 依题意得
B
定时检测
2.若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞,0]
上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)<0的取值范围
是 ( )
A.(-∞,2)
B.(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-2,2)
解析 ∵f（x）是偶函数且在
(-∞,0]上是减函数，且f（2）
=f（-2）=0，可画示意图如图所
示，由图知f(x)<0的解集为（-2，2）.
D
3.（2009·辽宁）已知偶函数f(x)在区间［0, +∞)
上单调递增,则满足 的x的取值范围
是 （ ）
A. B.
C. D.
解析 方法一 当2x-1≥0,即x≥ 时，因为f(x)在
［0，+∞）上单调递增，故需满足
当2x-1<0,即x< 时，由于f(x)是偶函数，故f(x)在
（-∞,0］上单调递减， 此时需满足
方法二 ∵f(x)为偶函数,∴f(2x-1)=f(|2x-1|)
又∵f(x)在区间（0，+∞）上为增函数,
∴不等式 等价于
答案 A
4.(2009·陕西)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1,
x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 则
（ ）
A.f(3)B.f(1)C.f(-2)D.f(3)解析 对任意x1,x2∈［0,+∞)(x1≠x2),有
则x2-x1与f(x2)-f(x1)异号，因此函
数f(x)在［0，+∞）上是减函数.又f(x)在R上是偶函
数，故f(-2)=f(2),由于3>2>1,故有f(3)答案 A
5.函数y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域，且都不是常
数函数，对定义域中任意x，有f(x)+f(-x)=0，
g(x)g(-x)=1,且x≠0,g(x)≠1,则F(x)=
( )
A.是奇函数但不是偶函数
B.是偶函数但不是奇函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
解析 由条件知f(-x)=-f(x),
答案 B
6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，
f(x)=1-2-x,则不等式f(x)< 的解集是 （ ）
A.(-∞,-1) B.（-∞，-1］
C.（1，+∞） D.［1，+∞）
解析 当x>0时，1-2-x= >0与题意不符，
当x<0时，-x>0，∴f（-x）=1-2x，
又∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=1-2x，∴f（x）=2x-1，
∴f（x）=2x-1< ∴2x< ∴x<-1,
∴不等式 f(x)< 的解集是（-∞，-1）.
答案 A
二、填空题
7.已知函数y=f(x)为奇函数,若f(3)-f(2)=1,则f(-2)-
f(-3)=____.
解析 ∵f(x)为奇函数且f(3)-f(2)=1，
∴f(-2)-f(-3)=f(3)-f(2)=1.
1
8.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[0，5]时,
函数y=f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的
取值集合为______________.
解析 由原函数是奇函数,所以
y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐
标原点对称,由y=f(x)在[0,5]上
的图象，得它在[-5，0]上的图
象,如图所示.由图象知，使函数值y<0的x的取值集
合为(-2,0)∪(2,5).
(-2,0)∪(2,5)
9.（2009·山东）已知定义在R上的奇函数f(x)满足
f(x-4)=-f(x)，且在区间［0，2］上是增函数,若方
程f(x)=m(m>0)，在区间［-8,8］上有四个不同的
根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=________.
解析 因为定义在R上的奇函数，满足f(x-4)=-f(x),
所以f(4-x)=f(x).因此，函数图象关于直线x=2对称
且f(0)=0,由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x).又因为f(x)
在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间［-2,0］
上也是增函数,
如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间［-8，8］上
有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1性知x1+x2=-12,x3+x4=4,所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.
答案 -8
三、解答题
10.设函数f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3),
(1)证明f(x)是偶函数；
(2)画出这个函数的图象；
(3)指出函数f(x)的单调区间,并说明在各个单调区
间上f(x)是增函数还是减函数；
(4)求函数的值域.
(1)证明 ∵x∈[-3,3],
∴f(x)的定义域关于原点对称。
f(-x)=(-x)2-2|-x|-1
=x2-2|x|-1=f(x),
即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.
(2)解 当x≥0时，f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2，
当x<0时，f(x)=x2+2x-1
=(x+1)2-2,
即f(x)=
(x-1)2-2 (0≤x≤3)
(x+1)2-2 (-3≤x<0).
根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图.
(3)解 函数f(x)的单调区间为
[-3,-1),[-1,0),[0,1),[1,3].
f(x)在区间[-3,-1)和[0,1)上为减函数,
在[-1,0),[1,3]上为增函数.
(4)解 当x≥0时,函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2,
最大值为f(3)=2；
当x<0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2，最大值
为f(-3)=2.故函数f(x)的值域为［-2，2］.
11.已知f(x)是R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时，
f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.
解 ∵f（x）是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.
当x>0时，-x<0,由已知f(-x)=xlg(2+x),
∴-f（x）=xlg（2+x），
即f（x）=-xlg（2+x） （x>0）.
∴f(x)=
即f(x)=-xlg(2+|x|) (x∈R).
12.已知函数 (x≠0,常数a∈R).
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数f(x)在［2，+∞）上为增函数，求实数a
的取值范围.
解 （1）当a=0时，f（x）=x2对任意
x∈(-∞,0)∪(0,+∞)，
有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),∴f(x)为偶函数.
当a≠0时， (x≠0,常数a∈R)，
若x=±1，则f(-1)+f(1)=2≠0；
∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1).
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
综上所述，当a=0时，f(x)为偶函数；
当a≠0时，f（x)为非奇非偶函数.
（2）设2≤x1要使函数f(x)在x∈［2,+∞）上为增函数，
必须f(x1)-f(x2)<0恒成立.
∵x1-x2<0,x1x2>4,
即a又∵x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16,
∴a的取值范围是（-∞，16］.
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