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3 探索与表达规律
第1课时 探索规律
课题 第1课时 探索规律
学习目标 1.会用代数式表示简单问题中的数量关系；能用去括号法则、合并同类项验所探索的结果. 2.通过找日历中数学规律的学习，培养了学生的实践能力及创新意识.. 3.在独立思考的基础上,积极参与对数学问题的讨论,培养学生自主探究与合作交流相结合.
学习策略 理解概念，掌握形式，主动探索
学习过程 课堂导入 探索规律：观察下面算式，并解答问题． 1+3＝4＝22 1+3+5＝9＝32 1+3+5+7＝16＝42 1+3+5+7+9＝25＝52 （1）试猜想1+3+5+7+…+19＝ ； （2）试猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）＝ ；
新课学习 问题一：日历中的数字规律 (1)请找出同一横行上三个相邻数、竖列上三个相邻数之间的关系: 同一横行上相邻三个数之间的关系:相差1，竖列上三个相邻数的关系:相差7. (2)请同学们找一找右上左下、左上右下对角线上三个相邻数的关系. 左上右下对角线上三个相邻数的关系:下一行比上一行多8. 左下右上对角线上三个相邻数的关系:下一行比上一行多6. 问题二：解决日历中的数学问题 一、 (1)日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系 (2)这个关系对其他这样的方框成立吗 你能用代数式表示这个关系 a-8a-7a-6a-1aa+1a+6a+7a+8
(a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)+(a+8)=9a. 9个数的和是中间这个数的9倍. 变式：当是“十字型”“H型”“M型”时，周围数字与中间数字有什么关系？ 十”字形:5个数的和是中间这个数的5倍; “H” 形和“M型”:7个数的和是中间这个数的7倍. 二、看看下面图形，还有其他规律吗？ 范例应用 例1 按如图方式摆放餐桌和椅子,照这样的方式继续排列餐桌,摆4张桌子可坐多少人 摆5张桌子呢 摆n张桌子呢 【方法归纳】对于探索图形规律的题目,我们应该先观察图形排列顺序的规律, 然后把它们转化为相应的数据,并根据规律用代数式表示事物的数量关系以及它们的变化规律.
尝试应用 1、按规律填空：，—，，—，， ，. 2、下列一组数：—4，—1，4，11，20，…则第6个数是 . （2）拼第13个图形需要多少根火柴棒？ 3.如图是用棋子摆成的“上”字图案，按照这种规律继续摆下去，通过观察、对比、总结，找出规律，解答下列问题． （1）摆成图1需要 枚棋子，摆成图2需要 枚棋子，摆成图3需要 枚棋子； （2）摆成图n需要 枚棋子； （3）七（1）班有46名同学，把每名同学当成一枚“棋子”，能否让这46枚“棋子”按照以上规律恰好站成一“上”字？若能，请问能站成图几？并计算最下面一“横”的学生数；若不能，请说明理由．
达标测试 1、将一张长方形的纸对折，可以得到一条折痕。继续对折，保证每次对折的折痕与上次的折痕保持平行。（1）完成下表
次数1234……n折痕数……层数……
（2）、对折10次后有 条折痕 。 2、用火柴棒按下图中的方式拼图形： （1）按图示规律填空： 图形标号①②③④⑤火柴棒根数
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第1课时 探索规律
能根据特定的问题找到所需公式,并会代入具体的值进行计算。
1.经历由特殊到一般和由一般到特殊的过程,体会代数推理的特点和作用。
2.能用代数式表示并借助代数式运算验证所探索规律的一般性。
3.解释具体问题中蕴含的一般规律或现象。
重点:利用代数式表示规律。
难点:探索规律的方法。
日历问题是学生非常熟悉的情境,同时数量关系的规律比较容易发现。问题重心在于用字母表示并借助运算将具体规律推广到一般,这是由不同层次的问题组成的“问题串”。本节课可通过学生合作探究和交流,让学生之间相互学习,取长补短,相互激发灵感,开拓思维。但用符号表达规律对学生来说还有一定的难度。
(一)情境导入
请同学们伸出左手,一起做下面的游戏:从大拇指开始,像图中显示的这只手那样依次数数字1,2,3,4,5,…,请问数字20落在哪个手指上
当学生说出数字20刚好落在无名指上后,教师继而追问:你们能很快地说出数字200落在哪个手指上吗 2 000 呢 你能迅速找到规律吗
(二)新知初探
探究一 探索日历中的规律
活动1 观察课本图37的日历图,回答下列问题:
(1)日历图中的数有什么规律
(2)日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系
(3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗 为什么
(4)你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗 用代数式表示。
追问1 图37所示的日历图中,能否使框中9个数的和为144 180呢 为什么
追问2 在某个月的日历中,恰好有五个星期日位于同一列且日期数的和为80,这个月的第一个星期日是几号
追问3 课本中如图38所示,如果将方框改为十字形框,你能发现哪些规律 如果改为H形框呢 它们有什么共同规律
追问4 你还能设计出其他形状的包含数字规律的数框吗 与同伴进行交流。
任务一 意图说明
通过学生自主探究和合作交流的学习方式,让师生共同经历探索数量关系、运用符号表示规律,通过计算验证规律的过程,进一步发展其符号感;让学生经历从特殊到一般再到特殊的认识过程,发展其辩证唯物主义观点。鼓励学生用不同的思维方式,可以有不同设法,分别尝试比较,得出最佳方案,培养学生发散思维能力。
探究二 探索并表达实际情境中的规律
活动2 阅读课本第97页“随堂练习”,并尝试回答下列问题:
下面是用棋子摆成的“小房子”。
(1)摆第10个这样的“小房子”需要多少枚棋子
(2)摆第n个这样的“小房子”呢 你是如何得到的
小结:图形中的规律探究方法
将图形转化为一列数,由这一列数寻找规律,或观察图形结构特点,归纳相对于某个基础图形的递推规律,从而将图形转化为一列数或等式,继而探究规律。
活动3 观察下列一组数:,,,,,…
(1)你能推断出第9个数是谁吗 请尝试写出来。
(2)小组合作交流:这组数中的第n个数的分母是谁,分子又是谁 那么,第n个数应如何用代数式表示
(3)根据(2)中所发现的规律,请求出这组数中的第14个数以及第29个数的值。
小结:数字中的规律的探究方法
(1)若数字为整数的数列,可考虑相邻两数的和、差、积、商、符号等方面是否存在规律,也可以是奇、偶、平方等方面的规律;
(2)若是数字方面的等式,可将每个等式对应写好,然后比较每一行、每一列数字之间的关系,从而找出规律;
(3)若数字为分数,可以对分子、分母分别进行考虑,找出它们之间的关系。
任务二 意图说明
教学中学生最直接的思考方式就是从图形上获取规律,让学生经历从感性到理性的思维上升过程,从图形的摆放方式上探索数量关系、运用符号表示规律、通过计算验证规律,进一步发展其符号感,让学生经历观察—分析—归纳—验证的过程,提升学生的分析能力和总结能力,同时加强学生的计算能力。
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
探索规律
探索规律
1.探索日历中的规律 3.探索数字中的规律
2.探索图形中的规律
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第1课时 探索规律
第三章 整式及其加减
3 探索与表达规律
1.经历由特殊到一般和由一般到特殊的过程,体会代数推理的特点和作用。
2.能用代数式表示并借助代数式运算验证所探索规律的一般性。
3.解释具体问题中蕴含的一般规律或现象。
学习目标
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
请同学们伸出左手，一起做下面的游戏：从大拇指开始，像图中显示的这只手那样依次数数字1，2，3，4，5，……，请问数字20落在哪个手指上？
问：你们能很快地说出数字200落在哪个手指上吗？2000呢？你能迅速找到规律吗？
大拇指 食指 中指 无名指 小拇指
1 2 3 4 5
9 8 7 6
10 11 12 13
17 16 15 14
……
新知初探
贰
新知初探
探究一 探索日历中的规律
贰
观察右面日历图，回答下列问题：
（1）日历图中的数有什么规律？
（4）你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？用代数式表示。
（3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？
（2）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
新知初探
贰
追问4：你还能设计出其他形状的包含数字规律的数框吗 与同伴进行交流。
追问1：课本图3-7所示的日历图中，能否各使框中9个数的和为144 180呢 为什么
追问2：在某个月的日历中，恰好有五个星期日位于同一列且日期数的和
为80，这个月的第一个星期日是几号
追问3：课本图3-8，如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律 如果改为
H形框呢 它们有什么共同规律
新知初探
探究二 探索并表达实际情境中的规律
贰
活动1：下面是用棋子摆成的“小房子”。
(1)摆第10个这样的“小房子”需要多少枚棋子？
(2)摆第n个这样的“小房子”呢？你是如何得到的？
将图形转化为一列数，由这一列数寻找规律，或观察图形结构特点，归纳相对于某个基础图形的递推规律，从而将图形转化为一列数或等式，继而探究规律。
小结：图形中的规律探究方法：
新知初探
贰
活动2：观察下列一组数：
(3)根据(2)中所发现的规律，请求出这组数中的第14个数以及第29个数的值。
(1)你能推断出第9个数是谁吗？请尝试写出来。
(2)小组合作交流：这组数中的第n个数的分母是谁，分子又是谁？那么，第n个数应如何用代数式表示？
新知初探
贰
（2）若是数字方面的等式，可将每个等式对应写好，然后比较每一行、每一列数字之间的关系，从而找出规律；
小结：数字中的规律的探究方法：
（1）若数字为整数的数列，可考虑相邻两数的和、差、积、商、符号等方面是否存在规律，也可以是奇、偶、平方等方面的规律；
（3）若数字为分数，可以对分子、分母分别进行考虑，找出它们之间的关系。
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1.按一定规律排列的单项式：－a，4a3，－9a5，16a7，－25a9，…，则第n个单项式是( )
A
A.(－1)nn2a2n－1 B．(－1)nn2a2n＋1
C.(－n)2a2n－1 D．(－n)2a2n＋1
2.观察点阵图的规律，第100个图的小黑点的个数应该是( )
C
A.399 B．400 C．401 D．402
当堂达标
叁
3.下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定x的值为( )
A.135 B．170 C．209 D．252
C
当堂达标
叁
4.在日历上，我们会发现其中某些数满足一些规律．如图所示是2024年一元月份的日历，我们随机选择图中所示的方框部分，设左上角的数字为x,则方框内的四个数字的和用代数式可表示为 。
4x+16
当堂达标
叁
5.如图所示是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，按此规律排列下去，第20个图形中有 个实心圆。
42
课堂小结
肆
课堂小结
肆
探索日历中规律
数字与图形的规律
探索与表达规律
探索 猜想 验证
特殊 一般
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第2题
谢
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第1课时 探索规律
数学 七年级上册BSD
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探索规律的一般步骤:
(1)通过仔细观察思考,寻找数量关系;
(2)用代数式或等式表示规律;
(3)用具体数值验证规律。
课堂互动
知识点1:数据的变化规律
[方法归纳] (1)数字的变化规律:注意各个数与序号之间的倍分关系、平方关系等。对于分数要对分子、分母分别思考;
(2)算式的变化规律:仔细观察前、后两个等式的相同点与不同点,确定不同点变化的规律。
知识点2:图形中的规律
例2 如图所示是用棋子摆成的“上”字:
如果按照以上规律继续摆下去,那么第n个“上”字需用棋子( )
A.(n+4)颗 B.(2n+3)颗
C.(4n+2)颗 D.(6n+1)颗
C
基础题
1.按规律排列的一列数:-2,4,-8,16,…,第7个数与第8个数分别为
( )
A.64,-128 B.-64,128
C.-128,256 D.128,-256
C
2.探索规律:观察下面由※组成的图案和算式,解答问题:
1+3=4=22;
1+3+5=9=32;
1+3+5+7=16=42;
1+3+5+7+9=25=52;
则1+3+5+7+9+…+(2n-1)等于(n为正整数)( )
A.(2n-1)2 B.(n-1)2
C.n2 D.(n+1)2
C
3.如图所示是由一些火柴棒摆成的图案:按照这种方式摆下去,摆第
2 023个图案用几根火柴棒( )
A.8 093 B.8 095 C.8 092 D.8 091
A
4.将一列有理数-1,2,-3,4,-5,6,…,按如图所示进行排列,则2 022应排在( )
A.A位置 B.B位置 C.D位置 D.E位置
A
5.小明同学将2B铅笔笔尖从原点O开始沿数轴进行连续滑动,先将笔尖沿正方向滑动1个单位长度完成第1次操作,再沿负方向滑动2个单位长度完成第2次操作;又沿正方向滑动3个单位长度完成第3次操作;再沿负方向滑动4个单位长度完成第4次操作,…,以此规律继续操作,经过第99次操作后笔尖停留在点P处,则点P对应的数是( )
A.0 B.-10 C.-25 D.50
D
6.(2024贵阳花溪区期末)如图所示是一个数据运算程序,如果开始输入的x的值为10,那么第1次输出的结果是5,返回进行第2次运算,则第
2次输出的结果是16,…,以此类推,第2 023次输出的结果是( )
A.16 B.8 C.4 D.2
C
(1)按照这种方式搭下去,第4个图形需要 根火柴棒。
(2)按照这种方式搭下去,第2 024个图形需要多少根火柴棒
解:(1)29
(2)由(1)得出一般规律,第n个图形需要火柴棒(7n+1)根,将n=2 024代入上式,得 7×2 024+1=14 169(根)。
答:按照这种方式搭下去,第2 024个图形需要14 169根火柴棒。
7.如图所示,用火柴棒按下列方式搭几何图形。
中档题
C
9.生物学中,描述、解释和预测种群数量的变化,常常需要建立数学模型。在营养和生存空间没有限制的情况下,某种细胞可通过分裂来繁殖后代,我们就用数学模型2n来表示。即21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,
…,请你推算22 022的个位数字是( )
A.8 B.6 C.4 D.2
C
素养题
10.(推理能力)将连续的奇数1,3,5,7,9,…排成如图所示的数阵,用十字框按如图所示的方式任意框五个数(十字框只能平移)。
(1)若框住的5个数中,正中间的一个数为17,则这5个数的和为 。
(2)十字框内五个数的最小和是 。
(3)设正中间的数为a,用式子表示十字框内五个数的和。
解:(1)85
(2)75
(3)设正中间的数为a,则其余4个数分别为a-12,a-2,a+2,a+12,
所以十字框内5个数的和为(a-12)+(a-2)+a+(a+2)+(a+12)=5a。
(4)十字框能否框住这样的5个数,使它们的和等于2 035 若能,求出正中间的数a;若不能,请说明理由。
解:(4)不能。理由如下:
根据题意,得5a=2 035,
解得a=407。
所以407是第204个奇数。
204÷6=34。
所以407在数阵的第6列。
所以十字框不能框出这样的5个数使它们的和等于2 035。
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