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问题解决策略：归纳
课题 问题解决策略：归纳
学习目标 1.理解归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略. 2.能从简单的情形开始思考，通过简单情形归纳一般性结论.
学习策略 理解概念，掌握形式，主动探索
学习过程 课堂导入 在数学中，3n叫做3的n次方，表示n个3相乘，例如32=3×3=9，34=3×3×3×3=81，观察下列各式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，……，根据你发现的规律回答：32024的个位数字是______． 22024的个位数是多少？
新课学习 问题一：运用归纳策略寻找规律 将长方形区域割成三角形的过程中是：在长方形区域内取一定数量的点，连同长方形4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形所有区域都变成三角形了；（1）如图①，当长方形内有1个点时，可分得4个三角形；当长方形内有2个点时，可分得6个三角形（不计被分割的三角形）.当长方形内有35个点时，可分得多少三角形？ 1个点 2个点 图① 解决方案：（1）先研究长方形内有3个点、4个点的情形（如图②） 3个点 4个点 4个点 图② 几种简单情形数据如下表，发现规律：长方形内点的个数增加，三角形的个数增加2. 长方形内点的个数1234…三角形个数46810…
在长方形内已经有n个点的情况下，新增的一个点要么在三角形内部，要么在某条线段上。当新增的这个点在某个三角形内部时，连接该点和三角形的顶点，原来的1个三角形分成3个小三角形，三角形的个数增加2；当新增的这个点在某条线段上时，连接该点和它所在的两个三角形的顶点，三角形的个数同样增加2. 因此，当长方形内有35个点时，分得的三角形个数是4+2×34=72（个） 在运用归纳策略寻找规律时，要先在若干简单情形中寻找相应的规律，初步发现规律后，可以通过更多的情形验证，再考虑一般情况。最后，试着给出合理的解释，并用数学语言简洁地表达规律.
当堂训练 1.正整数按如图的规律排列，请写出第15行，第18列的数字是（ ） A．284 B．296 C．303 D．304 2.如图，图①中有5个小圆点，图②中有8个小圆点，图③中有13个小圆点，…根据这个规律，图⑨中小圆点有（ ）个． A．68 B．85 C．104 D.233 3. 观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，…根据上述算式中的规律，请你猜想2100的末尾数字是（ ） A．2 B．4 C．8 D．6 4.如图，将一根绳子对折1次后从中间剪2刀，绳子变成5段；将一根绳子对折2次后从中间剪2刀，绳子变成9段；将一根绳于对折3次后从中间剪2刀，绳子变成17段…现将一根绳子对折10次后从中间剪2刀绳子变成_________ 段．（用含n的代数式表示）
达标测试 1. 观察下列一组图案，每个图案都是若干个“ ”组成，其中图①中共有7个“ ”，图②中共有13个“ ”，图③中共有21个“ ”，图④中共有31个“ ”…，按此规律，图形⑩中的“ ”个数是（ ）
A．113 B．117 C．125 D．133 2.将一列有理数-1，2，-3，4，-5，6…如图所示有序排列，4所在位置为峰1，-9所在位置为峰2…2025应排在A，B，C，D，E中_______的位置上． 3.定义一种新的运算，观察下列各式：
1□2=1+2×3=7；
4□（-1）=4+（-1）×3=1；
（-3）□2=-3+2×3=3；
（-6）□（-4）=-6+（-4）×3=-18；
（1）请你用代数式表示m□n的结果；
（2）小丁说：“（-3n）□（-m）与（3m）□n互为相反数”．小丁的说法正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举例说明． 4.化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，这是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，2个结构式中有2个C和6个H，分子式是C2H6；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是C3H8.按照此规律，回答下列问题：
（1）第6个结构式的分子式是______ ； （2）第n个结构式的分子式是 ______； （3）试通过计算说明分子式C2025H4052的化合物是否属于上述的碳氢化合物？
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☆问题解决策略:归纳
1.使学生初步熟悉并理解归纳策略,学会从几种特殊情形出发,进而找到一般规律的过程,用归纳的思想解决实际问题。
2.使学生增加解决问题的策略意识,获得解决问题的胜利体验,提高学好数学的信念。
重点:感受归纳策略的价值,把握用归纳的策略解决问题的方法。
难点:会用归纳的策略解决问题。
通过探索性练习,引导学生总结归纳出规律,即从几种特殊情形出发,进而找到一般规律。经历观察—分析—归纳—验证的过程,提升学生的分析能力和总结能力。
(一)情境导入
我国宋元时期的数学家杨辉,发现了一个三角形数阵:
它的结构特点是:每行首尾都是1,中间的数正好是它上方两个数的和。请问杨辉三角第2 024行左第3个数字是多少
(二)新知初探
探究 归纳策略
问题 “低多边形风格”是一种数字艺术设计风格。它将整个区域分割为若干三角形,通过把相邻三角形涂上不同颜色,产生立体及光影的效果,随着三角形数量增加,效果更为斑斓绚丽(如图所示)。
将长方形区域分割成三角形的过程是:在长方形内取一定数量的点,连同长方形的4个顶点,逐步连接这些点,保证所有连线不再相交产生新的点,直到长方形内所有区域都变成三角形。
如图所示,当长方形内有1个点时,可分得4个三角形;当长方形内有2个点时,可分得6个三角形(不计被分割的三角形)。
当长方形内有35个点时,可分得多少个三角形
活动1 请同学们根据问题情境先动手画一画,感受分割得到三角形的过程,并回答下面问题:已知条件是什么 目标是什么
活动2 了解问题的已知条件和目标后,如何来解决问题,请思考下面问题:
(1)直接研究“长方形内有35个点”的情形,你遇到了什么困难
(2)哪些情形容易研究 从中你能发现什么规律
(3)你发现的规律正确吗 你能给出合理的解释吗
活动3 根据自己的思考,写出你的解决方案,并说明其中的道理。
活动4 展示问题解决过程。
(1)先研究长方形内有3个点、4个点的情形。
(2)几种简单情形的数据如下表,发现规律:长方形内点的个数增加1,三角形的个数增加2。
长方形内点的个数 1 2 3 4 …
三角形个数 4 6 8 10 …
(3)猜想是合理的。在长方形内已经有n个点的情况下,新增的一个点要么在某个三角形内部,要么在某条线段上。当新增的这个点在某个三角形内部时,连接该点和三角形的顶点,原来的1个三角形分成3个小三角形,三角形的个数增加2;当新增的这个点在某条线段上时,连接该点和它所在两个三角形的顶点,三角形的个数同样增加2。
因此,当长方形内有35个点时,分得的三角形的个数是4+2×34=72.
追问 (1)如果长方形内有100个点呢 一般地,如果长方形内有n个点呢
(2)你还能提出并解决什么问题
(3)从简单的情形开始思考有什么好处 通过简单情形归纳一般性结论,你有哪些经验
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
在运用归纳策略寻找规律时,要先在若干简单情形中寻找相应的规律。初步发现规律后,可以通过更多的情形验证,再考虑一般情况。最后,试着给出合理的解释,并用数学语言简洁地表达规律。
☆问题解决策略:归纳
1.情境导入 3.归纳策略
2.问题解答 4.小结
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第三章 整式及其加减
问题解决策略：归纳
1.使学生初步熟悉并理解归纳策略,学会从几种特殊情形出发,进而找到一般规律的过程,用归纳的思想解决实际问题。
2.使学生增加解决问题的策略意识,获得解决问题的胜利体验,提高学好数学的信念。
学习目标
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
我国宋元时期的数学家杨辉,发现了一个三角形数阵:
它的结构特点是:每行首尾都是1,中间的数正好是它上方两个数的和。请问杨辉三角第2 024行左第3个数字是多少
壹
新知初探
贰
新知初探
探究 归纳策略
贰
“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格。它将整个区域分割为若干三角形,通过把相邻三角形涂上不同颜色,产生立体及光影的效果,随着三角形数量增加,效果更为斑斓绚丽(如图所示)。
新知初探
贰
将长方形区域分割成三角形的过程是:在长方形内取一定数量的点,连同长方形的4个顶点,逐步连接这些点,保证所有连线不再相交产生新的点,直到长方形内所有区域都变成三角形。
如图所示,当长方形内有1个点时,可分得4个三角形;当长方形内有2个点时,可分得6个三角形(不计被分割的三角形)。
当长方形内有35个点时,可分得多少个三角形
新知初探
贰
活动1 请同学们根据问题情境先动手画一画,感受分割得到三角形的过程,并回答下面问题:已知条件是什么 目标是什么
活动3 根据自己的思考,写出你的解决方案,并说明其中的道理。
活动2 了解问题的已知条件和目标后,如何来解决问题,请思考下面问题:
(1)直接研究“长方形内有35个点”的情形,你遇到了什么困难
(2)哪些情形容易研究 从中你能发现什么规律
(3)你发现的规律正确吗 你能给出合理的解释吗
新知初探
贰
活动4 展示问题解决过程。
(1)先研究长方形内有3个点、4个点的情形。
(2)几种简单情形的数据如下表,发现规律:长方形内点的个数增加1,三角形的个数增加2。
新知初探
贰
(3)猜想是合理的。在长方形内已经有n个点的情况下,新增的一个点要么在某个三角形内部,要么在某条线段上。当新增的这个点在某个三角形内部时,连接该点和三角形的顶点,原来的1个三角形分成3个小三角形,三角形的个数增加2;当新增的这个点在某条线段上时,连接该点和它所在两个三角形的顶点,三角形的个数同样增加2。
因此,当长方形内有35个点时,分得的三角形的个数是4+2×34=72.
追问 (1)如果长方形内有100个点呢 一般地,如果长方形内有n个点呢
(3)从简单的情形开始思考有什么好处 通过简单情形归纳一般性结论,你有哪些经验
(2)你还能提出并解决什么问题
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1．如图所示，烷烃中甲烷的化学式是CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，按照此规律．设碳原子（C）的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表
示（ ）
A．CnH2n+2 B．CnH2n C．CnH2n﹣2 D．CnHn+3
A
叁
当堂达标
叁
2．如图所示，图形中都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，第1个图中有1个黑色正方形，第2个图中有3个黑色正方形，第3个图中有5个黑色正方形，第4个图中有8个黑色正方形，…，依此规律，第8个图中黑色正方形的个数是（ ）
A．19 B．24 C．29 D．35
B
叁
当堂达标
叁
3．如图所示，在2×2的网格内各有4个数字，各网格内数字都有相同的规律，根据此规律，c为（ ）
A．990 B．9900 C．985 D．9850
D
叁
课堂小结
肆
课堂小结
肆
在运用归纳策略寻找规律时,要先在若干简单情形中寻找相应的规律。初步发现规律后,可以通过更多的情形验证,再考虑一般情况。最后,试着给出合理的解释,并用数学语言简洁地表达规律。
肆
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,3题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第5题
谢
谢(共16张PPT)
☆问题解决策略:归纳
数学 七年级上册BSD
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“归纳”过程是从几种特殊情形出发,进而找到 的过程。归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种 。
从简单、局部或特殊情况入手,经过提炼、归纳和猜想、探索规律、获得结论。有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件。一般有下列几个类型:
(1)一列数的规律:把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系;
(2)一列等式的规律:用含有字母的代数式总结规律,注意此代数式与序号n之间的关系;
一般规律
重要策略
(3)图形(图表)规律:观察前几个图形,确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n之间的关系;
(4)图形变换的规律:找准循环周期内图形变换的特点,然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期,进而观察商和余数;
(5)数形结合的规律:观察前n项(一般前3项)及利用题中的已知条件,归纳猜想一般性结论。
课堂互动
知识点:运用归纳策略寻找规律
例题 观察下列两行数:
0,2,4,6,8,10,12,14,16,…
0,3,6,9,12,15,18,21,24,…
探究发现:第1个相同的数是0,第2个相同的数是6,…,若第n个相同的数是102,则n的值为 。
18
[方法归纳] 因为第1个相同的数是0=6×(1-1),第2个相同的数是6=6×(2-1),第3个相同的数为12=6×(3-1),…,所以第n个相同的数为6(n-1),所以6(n-1)=102,解得n=18。
基础题
1.(2024重庆B卷)用菱形按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有2个菱形,第②个图案中有5个菱形,第③个图案中有8个菱形,第④个图案中有11个菱形,…,按此规律,则第⑧个图案中,菱形的个数是
( )
A.20 B.21 C.23 D.26
C
2.如图所示的是中国南宋数学家杨辉在详解《九童算法》中出现的三角形状的数列,又称为“杨辉三角”。该三角形中的数据排列有着一定的规律,第21行从左边数第19个数是( )
A.19 B.380
C.210 D.190
D
C
4.某种细胞开始分裂时有两个,1小时后分裂成4个并死去一个,2小时后分裂成6个并死去一个,3小时后分裂成10个并死去一个,…,按此规律,则8小时后细胞存活( )
A.253个 B.255个
C.257个 D.259个
C
中档题
6.(2024重庆A卷)烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物,如图所示是这类物质前四种化合物的分子结构模型图,其中灰球代表碳原子,白球代表氢原子。第1种如图①有4个氢原子,第2种如图②有6个氢原子,第3种如图③有8个氢原子,…,按照这一规律,第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是( )
A.20 B.22 C.24 D.26
B
7.根据图中数字的排列规律,在第⑨个图中,a-b-c的值是( )
A.62 B.254 C.-258 D.256
B
8.有边长为1的等边三角形卡片若干张,使用这些三角形卡片拼出边长分别是2,3,4,…的等边三角形(如图所示),根据图形推断每个等边三角形卡片总数S与边长n的关系式: 。
S=n2(n≥1)
素养题
(1)用此方法,可求得1+2+3+…+20= (直接写结果);
(2)观察下面的点阵图(如图(3)所示),解答问题:
填空:①1+3+5+…+49= ;
②1+3+5+…+(2n+1)= ;
解:(1)210
(2)625 (n+1)2
谢谢观赏！
